В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 42
Текст из файла (страница 42)
3'. Необходимое и достаточное условие квазизнакоопределен- ности квадратичной формы. Справедливо следующее утверждение. Для того чтобы форма А(х, х) была квазизнакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы вьтолнялись соотношения: либо р<п, 9=0,либор=О, д<п. Доказательство. Мы рассмотрим случай положительно ква- зизнакоопределенной формы. Случай отрицательно квазизнакоопреде- ленной формы рассматривается аналогично.
!) Необходимость. Пусть форма А(х, х) положительно ква- зизнакоопределенная. Тогда, очевидно, д = О и р < и (если бы р = и, то форма была бы положительно определенной), 2) Дос таточ ность. Если р < и, у = О, то А(х, х) > О и для ненулевого вектора х с координатами г!1 = О, т!э = О, ..., г!р = О, г!рч1 т= = О, ..., г!„у'= О имеем А(х, х) = О, т.е. А(х, х) — положительно квазизнакоопределенная форма. !93 злкон инеРции квлдРлтичных ФОРМ 3.
Критерий Сильвестра ') знакоопределенности квадратичной формы. Пусть форма А(х, х) в базисе е = (ег, ег,..., е„) определяется матрицей А(е) = (а0): А(х, х) = 2 аеа6Дач су=! ап ... а! и пусть а."а! = агг, саг = " '-, ..., гз„= ............ — угловые аа! аг! а„! ... а„ миноры и определитель матрицы (а,.).
Справедливо следующее утверждение. Теорема 7.6 (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма А(х, х) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнень! неравенства дг! > О, саг > О, ..., йг„ > О. Для того чтобы квадратичная форма бьгла отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем Ь! < О. Дока з а т е л ь с т в о. ! ) Н е о б х о д и м о с т ь. Докажем сначала, что из условия знакоопределенности квадратичной формы А(х,х) следует гх! ф О, а = 1, 2,..., и. Убедимся, что предположение гаь = 0 ведет к противоречию при этом предположении существует ненулевой вектор х, для которого А(х, х) = О, что противоречит знакоопределенности формы.
Итак, пусть гаа = О. Рассмотрим следующую квадратную однородную систему линейных уравнений: аг!с! + аггсг+... + агась = О, ам 6! + аггчег + .. + агьчь = О, (7.36) аа,ч! + аьгбг+ ... + аььсь = О. Так как ааь .— определитель этой системы и саа = О, то система имеет ненулевое решение гг, бг, ..., ~ь (не все 6! равны 0). Умножим первое из уравнений (7.36) на (!, второе на ~г, ..., последнее на бь и сложим полученные соотношения.
В результате получим рая венство 2 ' а,а~!Ел = О, левая часть которого представляет собой !.у=! значение квадратичной формы А(х, х) для ненулевого вектора х с координатами (б1, бг,..., 6ь, О,..., 0). Это значение равно нулю, что противоречит знакоопределенности формы. Итак,мы убедились, что Ь! ~ О, а = 1, 2,...,п. Поэтому мы можем применить метод Якоби приведения формы А(х,х) к сумме квадратов (см. теорему 7А) и воспользоваться формулами (7.27) для канонических коэффициентов йн Если А(х,х) — положительно определенная форма, то все канонические коэффициенты положительны.
Но тогда ')Джемс Джозеф Сильвестр (1814-1897) — английский математик. 7 Лапейааа алгебра (гл. 7 194 БилинеЙные и кВАДРАтичные ФОРмы из соотношений (7.27) следует, что !з! > О, Ья > О, ..., Ь„> О. Если же А(х,х) отрицательно определенная форма, то все канонические коэффициенты отрицательны. Но тогда из формул (7.27) следует, что знаки угловых миноров чередуются, причем Ь! < О.
2) Достаточность. Пусть выполнены условия, наложенные на угловые миноры астр в формулировке теоремы. Так как Ь! ~ О, ! = = 1, 2, ..., и, то форму А можно привести к сумме квадратов методом Якоби (см, теорему 7.4), причем канонические коэффициенты Л; могут быть найдены по формулам (7.27). Если Ь! > О, Ьз > О, ..., Ь„> О, то из соотношений (7.27) следует, что все Л; > О, т.е. форма А(х, х) положительно определенная.
Если же знаки Ь! чередуются и Ь! < О, то из соотношений (7.27) следует, что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана. ф 5. Полилинейные формы Определение. Полилинейной формой А(х!, ха,..., хр) р векторных аргументов называется числовая функция, определенная на всевозможных векторах х!, хш ..., хр линейного пространства Т, и линейная по каждому из аргументов, прн фиксированных значениях остальных аргументов. Простейшим примером полилинейной формы может служить произведение линейных форм А(х!) А(хз)... А(хр).
Полилинейная форма А(х!, хз,..., х ) называется симметричной (кососимметричной), если для каждых двух ее аргументов хь и х! и для любых значений этих аргументов выполняется соотношение А(х!, ..., хь,..., х!, ..., хр) = А(х!,..., х!, ..., хги ..., хр) (А(х!,..., хю ..., х!,..., хр) = — А(х!, ..., х!, ..., хю..., хр)). Пусть полилинейная форма А(х!, ха,..., х„) задана в конечномернол! линейном пространстве Ти и пусть е!, еа,,.., еи — базис в !.. Обратимся к разложению каждого вектора х! по базисным векторам е!, ея, ..., еи: х, = б,!е! + б!зев + ...
+ б,„е„= 2 ' с! е, ! = 1, 2, ..., р. (7 37) з=! Подставляя выражения для х, по формулам (7.37) в полилинейную форму А(х!, хш ..., хр) и используя свойство линейности этой формы по каждому аргументу, получим и и и А(х!, хя,..., х„) = А~ 2 (!Ие„, 2' бз,,еан ..., 2' бр,.„е,„ л=! ар — — ! б!Фсз, ... бр А(е,, его ..., е. ). (7.38) зин,—.,з',=! !95 96) ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Таким образом, значения полилинейной формы А(х1,хз,...,хр) в конечномерном пространстве с выделенным базисом е1, ез,..., е„ определяются всевозможными значениями А(ез,, е,,„.,., е,„) этой формы на векторах ез,, е „..., е Докажем следующее утверждение.
Теорема 7.7. Любая полилинейная кососимметринная форма А(х1, хз,..., х„), заданная в и-мерном линейном пространстве 7, с выделенным базисом е1, ез, ..., е„, может быть представле- на в виде бп 412 " 41 й21 й22 ° ° С2 А(х1, хз,..., х„) = а (7.39) 41 42 где а = А(ен ез,..., еи), а (411, 412,..., 41„) — кооРдинаты вектора х, в базисе е1, ез, ..., е„. Доказательство. Так как форма А(х1, хз,..., х„) является кососимметричной, то для произвольной перестановки (~1, 72, ..., 7„) индексов (1, 2,..., п) имеем А(е,, е.„..., е, ) = ( — !)~!2и2""'2" 2А(е1, ез,..., е„) = = ( — 1)н12'22" "2" 1а, (7.40) где Х(~1, уз,..., уи) — число беспорядков в перестановке (ун уз, ... зи).
В силу кососимметричности формы для двух одинаковых индексов ув и 11 (йв = у1) значение А(ез, ..., е „,..., е „..., е „) равно нулю. Отсюда и из соотношения (7.40) следует, что для рассматриваемого случая соотношение (7.38) примет вид п А(х1, хщ..,, х„) = а 2 ( — 1) ВЛ 21""2"1б12.,~223 С„,:„. (741) 21,22-"2 =1 Сравнивая формулу (7.41) с формулой (1.28) гл. 1 для определителя порядка п, мы убедимся в справедливости соотношения (7.39).
Теорема доказана. 96. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве В предыдущих параграфах мы изучали билинейные и квадратичные формы в произвольном (не обязательно евклидовом) вещественном линейном пространстве Г.. В этом параграфе мы получим ряд сведений о билинейных и квадратичных формах, заданных в вещественном евклидовом пространстве. При этом мы будем широко пользоваться результатами 99 гл. 5, посвященного линейным операторам.
В п.3 настоящего параграфа будет показано, каким образом теория евклидовых пространств может быть применена для получения (гл. 7 196 БилинеЙные и квлдРлтичные ФОРмы (Ах, у) = (х, А'у). (7.42) Оператор А называется самосопряженным, если А = А*, т.е. для всех х 6 'г' и у 6 $' (Ах, у) = (х, Ау). (7.43) Рассмотрим билинейную форму В(х, у), заданную в евклидовом пространстве Р'.
В гл.5 было установлено, что каждой такой форме В(х, у) однозначно соответствует линейный оператор такой, что справедливо равенство В(х, у) = (Ах, у). (7.44) Кроме того, в теореме 5.33 было доказано, что билинейная форма В(х, у) является симметричной тогда и только тогда, когда оператор А, фигурирующий в (7.44), является самосопряженным. Напомним также, что в теореме 5.35 для любого самосопряженного оператора А было доказано существование ортонормированного базиса из собственных векторов. Это означает, что существуют ортонормированная система ен еа,..., е„и вещественные числа Лн Ла,..., Л„ такие, что (7.45) Аеь = Льеь. Отметим, что в базисе (ел) матрица оператора А имеет диагональный вид.
2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов в ортогональном базисе. Пусть В(х, у) — симметричная билинейная форма, заданная в вещественном евклидовом пространстве Р', а В(х, х)— определяемая ею квадратичная форма. Докажем следующую теорему о приведении квадратичной формы В(х, х) к сумме квадратов. Теорема 7.8. Пусть В(х, у) — симметричная билинейнал форма, заданная в евклидовом пространстве Р'. Тогда в пространстве 1l существует такой ортонормированный базис (еь) и можно указать такие вещественные числа Ль, что для любого х Е 'Р' квадратичная форма В(х, х) может быть представлена в виде следующей суммгя квадратов координат бь вектора х в базисе (еь): В(х, х) = 2 ' Льбл~. я=1 (7.46) содержательных результатов в произвольных линейных пространствах. В частности, нами будет получено независимое доказательство теоремы о том, что каждая квадратичная форма в линейном пространстве может быть приведена к каноническому виду.
1. Предварительные замечания. В этом пункте мы напомним некоторые понятия теории линейных операторов. Пусть 1' — и;мерное вещественное евклидова пространство и А— линейный оператор, действующий из Р' в Р'. Оператор А* называется сопряженным к А, если для всех х 6 'Р' и у 6 'Р' выполняется равенство 96) !97 ФОРмы В еВклидОВОм пРООТРйнстве Доказательство. Так как В(х, у) — симметричная билинейная форма, то существует самосопряженный оператор А такой, что В(х, у) = (Ах, у).
(?.47) По теореме 5.35 для оператора А можно указать ортонормированный базис (ей) из собственных векторов этого оператора; пусть Лй— собственные значения, отвечающие ей. Пусть вектор х имеет в базисе ей координаты сй! и х = 2 бйей. й=! (7.48) Тогда, очевидно, поскольку ей -- собственные векторы оператора А: и Ах = 2 Лйсйей. й=! (7.49) Из соотношений (7.48) и (7.49) вследствие ортонормированности базиса (ей) получаем следующее выражение для скалярного произведения А(х, х): А(х, х) = 2 Лйб~~. (7.50) й=! и А(х, х) = 2 ' Лй(йз, й=! В(х, х) = 2' ей~, й=! (7.51) (7.52) где бй — координаты вектора х в базисе (ей). Доказательство. Согласно замечанию в конце 92 этой главы скалярное произведение в конечномерном вещественном пространстве может быть задано с помощью билинейной формы В(х, у), полярной к положительно определенной квадратичной форме В(х,х).
Отсюда и из соотношения (7.47) получаем (7.46). Теорема доказана. 3. Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме квадратов в линейном пространстве. Докажем теперь важную теорему об одновременном приведении двух квадратичных форм к сумме квадратов в произвольном (не обязательно евклидовом) вещественном линейном пространстве. Теорема 7.9. Пусть А(х, у) и В(х, у) — симметричнь!е билинейные формы, определенные в веи!ественном линейном пространстве Р'. Допустим далее, что для всех х я И, х ~ О, справедливо неравенство В(х, х) > 0 (т, е. квадратичная форма В(х, х) — положительно определенная). Тогда в пространстве !' можно указать базис (ей) такой, что квадратичнь!е формы А(х, х) и В(х, х) могут быть представлены в виде (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
