В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Упрощение уравнения центральной гиперповерхности второго порядка. Классификация центральных гиперповерхностей. Выводы, сделанные в предыдущих двух пунктах, позволяют решить вопрос о классификации всех центральных гиперповерхностей второго порядка. Решение этого вопроса мы проведем по следующей схеме. Во-первых, путем переноса начала координат в центр гиперповерхности (?.66) мы приведем ее уравнение к виду (7.96). После этого произведем стандартное упрощение уравнения (7.96).
В результате, очевидно, мы получим, согласно (7.98), следующее уравнение центральной поверхности второго порядка: ( .99) с1е1 А в котором Ль — собственные числа матрицы А квадратичной формы А(х, х) в уравнении (7.62), а ль' — координаты точки х в окончательном ортонормированном базисе (е'„). Отметим, во-первых, что все собственные числа Ль, й = 1, 2,...
..., п, отличны от нуля. ') Напомним, что прн переходе от ортонормированного базиса к ортонормированному свободный член с в уравнении поверхности Я не меняется (см. третью из формул (7.87)). (гл. 7 212 БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Л! ~ О Л2 ~ 0 Лр ) 0 Лр ! 2 ( 0 Лр! 2 ( 0 Ле ( 0 Введем теперь следующие обозначения: лет В если зкп — ф О, то положим сне! А ее!А 1 Ль= —., прий=!,2,...,р, де! В (7. 100) де!А ! ЛА=- — —, прий=! Ф1,...,п; де! В 2(еь В если зкп = О, то положим сне! А 1 Ль = —, 2 аь при й=1,2, .,р, (7.
101) 1 Ль = — —, 2 аь при й=р+1,..., п. Тогда, очевидно, уравнение (7.99) может быть переписано следующим образом (при этом мы заменим обозначение координат х" на хь): з Уравнение (7.102) называется каноническим уравнением иентральной гиперповеркности второго порядка. Величины аь, й = 1, 2, ..., п, называются полуосями 2(ентральной гиперповерхности второго порядка. Они могут быть вычислены по формулам (7.100) и (7.101). С помощью канонического уравнения (7.102) дадим следующую классификацию центральных гиперповерхностей. се! В !'.
р = п, здп — '— — = — 1. В этом случае гиперповерхность о назыде! А вается (п — 1)-мерным эллипсоидом. Канонические уравнение такого эллипсоида обычно записывают в виде 2 х( х„ — +...+ —,=1. 2 ''' З еч а„ (7. 103) Если а! = аз = ... = а„= й, то (и — 1)-мерный эллипсоид представляет собой сферу радиуса й в и-мерном пространстве.
Действительно, подсчитывая де!А для уравнения (7.99), получим г(етА = Л!Лз... Л„, а так как для центральной поверхности де! А у'. -О, то очевидно, что все Ль ~ О. Договоримся далее все положительные собственные числа матрицы А нумеровать первыми индексами, а отрицательные — последую2цими. Таким образом, найдется такой номер р, что 47) 213 гипепповепхности ВТОРОГО пОРядкл (7.104) с1е! А = О. Произведем стандартное упрощение уравнения (7.62). В результате это уравнение примет вид (7.98). Подсчитаем де!А, используя (7.98) (это возможно, так как бес А — инвариант).
Получим, учитывая (7.104), с1ет А = Л! Ля... Л„= О. Таким образом, по крайней мере одно собственное значение Ль матрицы А равно нулю. Подчеркнем, что не все собственные значения равны нулю, ибо иначе квадратичная форма А(х,х) была бы тождественно равной нулю, ьиы же предполагаем (см. п. ! ~ ! этой главы), что эта форма ненулевая. Оставим в выражении (7.98) лишь те слагаемые в первой сумме, которые отвечают ненулевым собственным значениям, а затем произведем такую перенумерапию базисных векторов, чтобы первым р базисным векторам еп..., е' отвечали все ненулевые собственные значения Л!, Лз, ..., Лр (отметим, что р = гаппА).
Очевидно, после этого уравнение (7.98) может быть переписано следующим образом: Р з Р сс ) Льхь +2 ~ Ььиь+2 ~ Ь',,та+с = 0 ь=! ь=! ь=рэ! (7.105) (здесь 0 < р < и,, Л! ~ О, ..., Лр 7': 0; кроме того, мы специально выделили первые р слагаемых второй суммы в уравнении (7.98)). Проведем теперь следующие преобразования. с1ет В Замечание 1. В случае р = О, вкп = 1 мы также получаем бес А (и — !)-мерный эллипсоид. Очевидно, в этом случае уравнение (?.102) может быть записано в виде (7.103).
с1ес В 2'. р = и, зкп = 1. Гиперповерхность является мнимой и надет А зывается мнимым эллипсоидом. с1ес В Замечание 2. Очевидно, в случае р = О, вкп = — ! мы бес А также получаем мнимый эллипсоид. с1ес В 3'. 0 < р < п, вкп у: О. Центральные гиперповерхности назыдсс А ваются в этом случае гиперболоидами. Геометрические характеристики гиперболоида зависят от соотношес1ес В ния чисел р и и и значения вйп сне! А бес В 4'. зкп = О. Центральные гиперповерхности называются дес, А в этом случае вырожденными.
Среди вырожденных гиперповерхностей отметим так называемый вьсрожденньсй эллипсоид, отвечающий значениям р = 0 и р = п. 9. Упрощение уравнения нецентральной гнперповерхностн второго порядка. Классификация нецентральных гнперповерхностей. Пусть гиперповерхность Я, заданная уравнением (7.62), не является центральной, т е. )гл.
7 214 БилинеЙные и кВАДРАтичные ФОРмы 1'. Для каждого номера !с, 1 < 6 < р, объединим слагаемые с этим номером из первой и второй суммы в (7.!05) и затем проделаем следующие преобразования (при этом мы учитываем, что Лй ф- 0): Ф2 , 2 ! , Г , 2 6й , 6й ! 6й Лйхй +26йх!, — — Л2, хй +2 — хй+ —, Л'„ / Очевидно, после этих преобразований (7.105) запишется следующим образом: я Лй ~ хй+ — ") +2 2 Ьйхй+ с' = О, (7.10б) й=! Лй) й=р-!-! где постоянная с' определяется равенством ьй с =с — 2 (7. 107) Осуществим теперь параллельный перенос по формулам х'„'=х'„+ — ", й= 1,2,..., р; х';,'=хй, й=р+1,..., и.
Лй' В результате уравнение (7.106) перейдет в уравнение р П Лйх'й +2 ~ 61х'й'+ с' = О, й=! й=рй! (7. 108) причем с' определяется по формуле (7.107). 2'. Будем искать теперь такое преобразование ортонормированного базиса (е!й), при котором первые р базисных векторов ен ...,е' не меняются, за счет же изменения базисных векторов е~э!,..., е„ попытаемся преобразовать слагаемое 2 2 ' 6'„х'„' к виду 21йх'„", где й=р'! х,",' — и-я координата в новом базисе Отметим, что при такого видя преобразованиях свободный член с' не меняется. Заметим, во-первых, что если все коэффициенты Ьй в (7.108) равны нулю, то цель преобразования п.2' достигнута — слагаемое 2 2 6'х'„' имеет вид 21йх'„", где г! = О.
й=рй! Итак, будем считать, что по крайней мере один из коэффициентов 6'„ в сумме 2 6'„х" отличен от нуля. Тогда мы можем рассматй=рй! ривать эту сумму как некоторую линейную форму Вп (х), заданную в подпространстве $'", которое представляет собой линейную оболочку 2!5 971 ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА векторов едучи..., е'„. Согласно лемме и. 1 94 гл.5 эта форма в указанном подпространстве может быть представлена в виде Вп (х) = = (Ь, х), где Ь вЂ” некоторый вектор подпространства Г'. Если мы теперь в подпространстве р™ направим единичный вектор е'„' по вектору Ь, так что Ь = ре'„', а векторы е'„'„ н ..., е'„' 1 выберем так, чтобы система ептн ..., е'„',, е'„' была базисом в )г", то, очевидно, в этом базисе В '(х) = (Ь,х) = р(е'„',х) = рх'„", поскольку (е'„'„ х) = = х'„".
Таким образом, выбирая в $'и базис описанным выше способом, и мы преобразуем ') У~ха' к виду рх",,'. Ь=РЭ! Итак, можно указать такое преобразование базиса еи ..., е'„ в ортонормированный базис е",,..., е'„' (при этом преобразовании векторы е',,..., е'„ остаются неизменными), что уравнение (7.108) примет следующий вид (при этом мы заменим обозначение координат х'и на хь): ~ Льхь+2рх„+ с' = О. (7.109) я=1 Отметим, что в уравнении (7.109) не исключается случай р = О. Уравнение (7.!09) называется каноническим уравнением нецентральной гипврповерхности второго порядка. С помощью канонического уравнения (7.109) дадим следующую классификацию нецентральных гиперповерхностей.
Возможны следующие случаи. !'. р ~ О, р = гани А = п — 1. В этом случае последние два слагаемых в уравнении (7.109) запишем в виде 2рх„+ с = 2р х„+ — и сделаем параллельный пере2р( иос по направлению оси х„на величину — с'/2р. Чтобы не осложнять запись, не будем при этом менять обозначение координат. В результате каноническое уравнение (7.109) примет вид Л~х1+...
+ Л„|х~ 1+ 2рхи = О. (7.110) Гиперповерхности второго порядка, каноническое уравнение которых имеет вид (7.110), называются параболоидами. 2'. р = О, р = гапн А < п. В этом случае каноническое уравнение (7.109) перепишется так: (7.111) Л|х| + + Лрхп + с 0 Очевидно, в подпространстве, являющемся линейной оболочкой векторов еы .,., е'„, уравнение (7.!11) представляет собой каноническое уравнение центральной поверхности Я' второго порядка. Чтобы получить представление о гиперповерхности Я во всем пространстве, нужно в каждой точке поверхности Я' поместить плоскость, параллельную плоскости )гп (линейная оболочка векторов е' „,,..., е'„). Геометрическое место таких плоскостей образует поверхность Я.
(гл. 7 216 Билинеиные и КВАДРАтичные ФОРмы Таким образом, поверхность Я представляет собой центральный цилиндр с направляющей поверхностью Я', определяемой уравнением (7.111), и образующими плоскостями, параллельными плоскости (г". 3'. гг ~ О, р = тапи А < и — 1. Поступая так же, как и в случае 1; мы приведем каноническое уравнение (7. !09) к виду Л1х1, + ... + Лях~ + 27гх„= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
