В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 49
Текст из файла (страница 49)
аз)х'. Заметим, ') В формуле для у' индекс суммирования мы обозначим через 6'. Согласно формуле (8.28) последнее соотношение можно переписать Следовательно, коэффициенты агу матрицы билинейной формы преобразуются по закону (8.19) преобразования координат тензора типа (2, 0), и поэтому могут рассматриваться как координаты тензора такого типа. 4'. Каждому линейному оператору, заданному в конечномерном пространстве Е" и действующему в то же пространство, можно поставить в соответствие некоторый тензор типа (1, 1), причем этот тензор будет вполне определять указанный оператор. Пусть у = йх — линейный оператор, заданный в Е" и еп еа, ... ..., е„— базис в Е".
Так как х = х'е,, а у = у'е и й — линейный опе ато, то (8.26) Основные ОпеРлцни нлд тензОРлми 227 что уй б~~, = уз . Поэтому уз = (6,',6~ аз)х' . Сравнивая это выражение для уз с выражением для уз по формуле (8.28), получим следующее тождество, справедливое для любых векторов х (для любых координат х' ): азах' = (Ь„',Ь~ аз)х' . Отсюда и из произвольности х' следует, что коэффициенты а', матрицы линейного оператора преобразуются по закону а,', = (Ь,',Ь' а',). Итак, коэффициенты аз преобразуются по закону (8.19) преобразования координат тензора типа (1, 1) и поэтому представляют такой тензор. 3. Основные операции над тензорвми.
Основными операциями над тензорами называются операции сложения и вычитания тензоров, операция умножения тензора на число, операция умножения тензоров, операция свертывания гпензоров, операция перестановки индексов, операции симметрировония и альтернировония тензоров. Перейдем к определению этих операций.
!'. Сложение и вычитание те из оров. Операции сложения и вычитания определяются для тензоров одинакового типа. Пусть А и  — два тензора типа (р, д), А,.'"; ' и В,'"; ' одноименные координаты этих тензоров в базисе е,. Суммой А+ В (разностью А — В) этих тензоров называется тензор, имеющий в базисе е, координаты А '"' '+ В,.'"' ' (А " ' — В '"', ') .
гг гр и...гр 1 г...гр г~ .. р / Чтобы данное определение операций сложения и вычитания тензоров было корректным, необходимо проверить, преобразуются ли координаты суммы (разности) тензоров по закону (8.!9) преобразования координат тензора. Для этого представим себе, что наряду с формулами (8.19) преобразования координат тензора А записаны аналогичные формулы преобразования координат тензора В. Тогда путем сложения (вычитания) таких двух формул преобразования координат тензоров А и В мы убедимся, что координаты суммы (разности) преобразуются по закону преобразования координат тензора.
2'. Умножение те изара на число. Пусть А — тензор тий(...й па (р, г!), имеющий в базисе е, координаты А,. ";. ', и о — произвольное вещественное число. Произведением ОА тензора А на число о называется тензор, й, ...йг имеющий в базисе е; координаты ОА, "", '. г~...ы й~ ...йг То, что координаты ОАП "', ' преобразуются по тензорному закону, непосредственно следует из формул (8.!9). 3'. Умножение те из оров. Операция умножения тензоров определяется для тензоров произвольного типа. Пусть А тензор типа (р, г!), имеющий в данном базисе е, кой~ ...йг ординаты А„'", ', а  — тензор типа (т, з), имеюгдий в этом же (гл. 8 228 тензОРЫ базисе координаты В, '; '.
Для определения произведения Р = АВ тензоров А и В составляются всевозможные произведения координат тензора А на координаты тензора В. В каждом таком произведении индексы 1ы,,., 1, и ты ..., т, у координат тензора В заменяются новыми индексами. Именно, полагают 1~ = урги ..., 1„= г„ч, и т~ = 'сыч-1 ''' ™В 'сч-гб' Произведением Р = АВ тензоров А и В называется тензор типа (р+ г, о+ з), имеющий в базисе е; координаты Ры- ~Ам ."ч+ 1"пзмВ~~;-~ ."~+ П.. „0-,-~..0-г П. 0 В-гь..Ь-г. (8.30) Чтобы убедиться, что координаты Р,,'",;. '+,',: "+", определенные соотношением (8.30), преобразуются при переходе к другому базису по закону преобразования координат тензора, т.е.
действительно представляют собой координаты тензора, достаточно записать формулы преобразования (8.19) для координат А,,'"; ' и В,",'",. '+' тензоров А и В и перемножить правые и левые части этих формул. В результате, обращаясь к соотношению (8.30), легко получить нужные формулы преобразования для координат Р,',; '~', ' '. 3 а м е ч а н и е.
Операция умножения тензоров не обладает свойством перестановочности: вообще говоря, АВ ~ ВА. Это объясняется тем, что порядок следования индексов у координат тензора определяет «номера этой координаты. Таким образом, хотя численные значения выражений А '"' 'В,.'+'"з '+' П . ы *'~ы -.2Р-г и Вь' "";""+' А,.' ". ' г>ы,, ч '~ ..г, А'"'": '. п...г ...Йр Произведем суммирование (свертывание) координат теизора с одинаковымн выделенными индексами. Эта операция и дает следующие координаты тензора, полученного свертыванием по верхнему и нижне- одинаковы, порядок следования индексов у этих выражений различен, и поэтому они отвечают координатам с различными «номерами». Это и означает, что АВ ~ ВА.
4'. Свертывание те н вор а. Операция свертывания применяется к тензору типа (р, 4), у которого р у1 0 и 4 ф 0 (т.е. к тензору, у которого имеется по крайней мере один верхний и один нижний индекс). Пусть А — тензор указанного выше типа. Перейдем к описанию операции свертывания.
Свертывание тензора А производится по каким-либо отмеченным верхнему и нижнему индексам. При этом в результате свертывания получается тензор типа (р — 1, 4 — 1). Пусть, например, у каждой координаты тензора А отмечен верхний индекс с номером т и нижний индекс с номером пз 229 основныя опгглции нлд твнзоглми му индексам с номерами т и и: А"" '"' н .. а...»р (8.31) (в выражении (8.31) мы использовали соглашение о суммировании). Проверим, что величины (8.31) действительно образуют координаты тензора типа (р — 1, д — !).
Для этого обратимся к формулам (8.19). Перепишем эти формулы в следующем виде, выделив интересующие нас индексы (эти индексы мы подчеркнем): Произведем теперь суммирование в правой и левой частях (8.32) по выделенным индексам й' и 1',. Для этого достаточно положить эти индексы равными о' и воспользоваться соглашением о суммировании. В результате мы получим некоторое равенство. Найдем выражения в левой и правой частях этого равенства. В левой части мы получим, очевидно, выражение (8.33) В правой же части произведение Ь„ на Ь'", равно Ь„'", т.е.
равно единице при !с = 1„ = о и равно нулю при к ~ 1„. Таким образом, в правой части мы получим следующее выражение: Ь ' ...6 '" 'Ь ' ...Ь;Ь'.1 ..,6'.у 'Ь'.у" ...61",А '"' "' '. (8.34) л»»>''' »' >»'»>''' «' »ь..а..» Сравнив выражения (8.33) и (8.34), мы убедимся, что величины А, '"„'", преобразуются при переходе к новому базису по закону ь~ -'«-.ь» преобразования координат тензора.
Очевидно, этот тензор будет типа (р — 1, д — !). Замечание. Термин «свертывание тензоров«употребляется еще и в следующем смысле. Рассмотрим два тензора А и В, у координат первого из которых имеется по крайней мере один верхний индекс к, а у координат второго — по крайней мере один нижний индекс»,'. Составим произведение АВ этих тензоров и затем проведем операцию свертывания тензора АВ по верхнему индексу 6 и нижнему индексу 1.
Для этой операции обычно употребляется терминология: »свертывание тензоров А и В по индексам 6 и 1». 5'. Перестановка индексов. Эта операция заключается в том, что в любом базисе индексы у каждой координаты тензора подвергаются одной и той же перестановке. Это означает, что мы иным образом »нумеруем» координаты данного тензора.
Читателю предлагается проверить, что в результате получается тензор, отличный, вообще говоря, от данного. б'. Симметри рован ие и альтерни рова ние. Предварительно введем понятия симметричного и кососимметричного тензоров, (гл. 8 230 тензОРы Тензор А с координатами и...Ф ...3 ...ы (8.35) называется симметричньгм по нижним индексам т' и („, если при перестановке этих индексов ') координаты тензора А не меняют своего значения, т.е.
(8.36) Соотношение (8.36) называется условием симмеглрии тензора А по нижним индексам с номерами т и п. Тензор А называется кососимметричньсм по нижним индексам г и г„, если при перестановке зтих индексов справедливо соотношение А '"' ' = — А '"'.' а 1 ...
т , . т .. л р г 1 ... г ,.и , т р ' (8.37) Соотношение (8.37) называется условием косооилсиетрии тензора А по нижним индексам с номерами ги и п. Аналогично вводится понятие симметрии и кососимметрии тензора по двум верхним индексам. 3 а м е ч а н и е. Если условие симметрии (кососимметрии) по нижним индексам г' и т'„выполняется для тензора А в данной системе координат, то оно выполняется и в любой другой системе координат. Перейдем теперь к описанию операции си ялгегприроваяия. Пусть А тензор типа (р, о) с координатами (8.35).
Переставим у каждой координаты нижние индексы с номерами пг и и н затем построим тензор А~ „~ с координатами () ~-. а + ~м.. ч ) (8.38) Операция построения тензора А~ „~ называется операцией симлгетрирования тензора А по нижним индексам с номерами т и и. Отметим, что координаты (8.38) тензора А~ „0 обычно обозначаются символами А,' <,' (8.39) Очевидно, для теизора А~ „~ выполняется условие симметрии (8.36) по нижним индексам с номерами пг и и, Операция симметрирования тензора по верхним индексам с номерами т и п определяется аналогично. Построенный тензор обозначается символом А(™ и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
