В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Для координат тензора А~™ и) используется обозначение, аналогичное обозначению (8.39) координат тензора А< Операция альтеряирования тензора А по нижним индексам с номерами т и и производится следующим образом. ') Напомним, что при перестановке индексов у координат теизора, мы получаем координаты, вообще говоря, другого теизора. йз) 23! ОПЕРАЦИИ В ТЕНЗОРНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ У каждой координаты тензора А переставляются нижние индексы с номерами тп и п и затем строится тензор А! „! с координатами — (А,'"'г',, — А,'";',, ) . (8.40) Операция построения тензора А! „! называется операцией альтернирования тензора А по нижним индексам с номерами т и п.
Координаты (8.40) тензора А! „1 обычно обозначаются символами (8.41) Очевидно, для тензора А! „! выполняется условие кососимметрии (8.37) по нижним индексам т и 1„. Операция альтернирования тензора по верхним индексам 1 и 1„ определяется аналогично. Построенный тензор обозначается символом А1™ и!. Для координат тензора А' й используется обозначение, аналогичное обозначению (8.41) координат тензора А! В заключение отметим очевидное равенство '4!т, и! + '1!т, и! В 3. Метрический тензор. Основные операции векторной алгебры в тензорных обозначениях 1. Понятие метрического теизора в евклидовом пространстве.
В 3 2 гл.7 говорилось о том, что скалярное произведение в конечномерном линейном пространстве может быть задано с помощью билинейной формы, полярной некоторой положительно определенной квадратичной форме. В этом параграфе мы будем считать, что в рассматриваемом КОНЕЧНОМЕрНОМ ЕВКЛИдОВОМ ПрОСтраНСтВЕ Гчи СКаЛярНОЕ ПрОИЗВЕЛЕНИЕ задано такого типа билинейной формой А(х, у). В п.2 предыдущего параграфа (пример 3) мы убедились, что коэффициенты матрицы билинейной формы могут рассматриваться как координаты тензора. Эти коэффициенты для билинейной формы А(х, у), с помощью которой задается скалярное умножение в гд", мы обозначим через 8ч,. Таким образом, е! — координаты некоторого тензора С в базисе е!,ез,...,е„.
Этот тензор типа (2, О) называется метрическим тензором пространства ед". Напомним, что координаты К;, тензора С определяются соотношениями ео = А(е;, е,) (8.42) (см. формулу (8.23)). Заметим также, что так как форма А(х, у) симметрична (А(х, у) = = А(у, х)), то, согласно (8.42), еч = 8,О т. е. метрический тензор С симметричен по нижним индексам т и у. Пусть х и у — произвольные векторы в Е", х' и уз — координаты этих векторов в базисе е!, ез,..., е„. Скалярное произведение (х, у) векторов х и у равно А(х, у).
Обра!цаясь к выражению (8.24) для билинейной формы в данном базисе (гл. 8 232 тензОРЫ и используя равенство (х, у) = А(х, у), получим следующую формулу для скалярного произведения (х, у) векторов х и у: (х, У) = 8;Зл'У~. (8.43) В частности, скалярные произведения (е,,е.) базисных векторов е, и е анны Обозначая д'~ = А(е', ез), получим следующее выражение для (х, у): (8.45) (х, у) = д'ы л;у .
(8.46) Как и в п.2 предыдущего параграфа (см. пример 3), легко убедиться, что уы представляют собой координаты тензора типа (О, 2), симметричного по индексам г и ~. Этот тензор типа (О, 2) также называется метрическим тензором пространства Е". Мы будем обозначать его тем же символом С, что и введенный выше метрический тензор типа (2, 0): в следующем пункте мы выясним, что координаты д, и ды можно рассматривать как ковариантные и контравариантные координаты одного и того же тензора. В дальнейшем эти координаты у; и уы мы так и будем называть ковариантными и контравариантными координатами тензора С. В конце п.2 э 1 этой главы, исследуя вопрос о построении взаимных базисов, мы ввели величины 8,3 и уы по формулам (8.10).
Сравнивая эти формулы с формулами (8.42) и (8.45), мы приходим к выводу, что этн величины представляют собой ковариантные и контравариантные координаты метрического тензора С. В этом же п.2 э1 мы доказали, что матрицы, элементами которых являются координаты д,. и 8", взаимно обратные. Это означает, что справедливо соотношение 8" ууь = б„'.
(8.47) Таким образом, координаты 8"У тензора С могут быть построены по координатам я;, и наоборот (для этого надо обратиться к известному способу построения элементов обратной матрицы). 2. Операция поднятия н опускания индексов с помощью метрического тензора. Метрический тензор С используется для операции поднятия и опускания ичдексое у координат данного тензора А. Эта операция заключается в следующем.
(еь еу) = я.ы (8.44) (это следует из равенства (е,, е,) = А(еь е,) и из формулы (8.42); впрочем, формулу (8.44) легко получить и непосредственно из (8.43)). Рассмотрим теперь, наряду с базисом ен ез,...,е„, взаимный базис е', е,..., е". Пусть х = л,е' и у = у,е' — разложения векторов х и у по векторам взаимного базиса. Тогда для скалярного произведения (х, у) получим следующую формулу: (х, у) = А(х, у) = А(л,е', у,ез) = А(е', е')ану,. 43) 233 ОПЕРАЦИИ В ТЕНЗОРНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ Пусть А — тензор типа (р, д) с координатами А,, ";.
'. Для приме- М ьгзвр ра покажем, каким образом проводится операция поднятия индекса гы Свернем тензоры С и А по верхнему индексу у у первого тензора и по нижнему индексу 11 у второго тензора, т.е. построим тензор гп Мер ым с координатами ~г"А ,.';: ' и у координат полученного тензора индекс г обозначим через г1. Затем эти координаты обозначим символами А,", ', '"' '.
Таким образом, 1нмь звр Ирг ~егьг..ер гг ..гр 8 ьи..гр (8.48) Замечание 1. Так как порядок расположения индексов у координат тензора определяет «нумерациюр его координат, то, вообще говоря, при поднятии индекса нужно отмечать место среди верхних индексов, на которое будет поднят данный нижний индекс. Иногда в ряду нижних индексов нужно отметить место поднимаемого нижнего индекса. Это делается с помощью точки, которая ставится на место поднятого индекса. Поэтому координаты тензора в левой части (8.48) г ~ "' "г -.Ьр следовало бы записать следующим образом: А ', ','" '.
К примеру, если первый нижний индекс поднимается на второе место среди верхних индексов, то в результате мы получим тензор с координатами А,, "~ гч ~".. Ер Замечание 2. Операция опускания индекса с помощью метрического тензора С определяется аналогично. Например, координаты тензора, полученного путем опускания у тензора А индекса кч на последнее место в ряду нижних индексов, имеют следующий вид: А' " '=я А.'" " '".
рг..грвр — р гг...г, яь рг 3 а м е ч а н и е 3. Операцию поднятия или опускания индекса можно применять несколько раз, причем каждый раз по отношению к различным индексам данного тензора. Рассмотрим примеры поднятия и опускания индексов у тензоров. Пусть х — вектор, л; и л" — соответственно его ковариантные и контравариантные координаты (напомним, что вектор представляет собой тензор ранга 1). Поднимем у координат л, индекс г с помощью метрического тензора С. В результате получим тензор с координатами 8Я л„.
Так как л„ = (х, е ), то д' м„ = я' (х, е„) = (х, ф' е ). Согласно (8.11) ~г е„= е', а (х, е') = л'. Поэтому ф'"х = х'. Таким образом, контравариантные координаты л' вектора х можно получить как результат операции поднятия индекса у ковариантных координат л, этого вектора. Ковариантные координаты л, могут быть получены как результат операции опускания индекса у контравариантных координат л( Выясним результат двукратного применения операции поднятия индекса у ковариантных координат я:г, метрического тензора С с по- (гл.
8 234 тензогы мощью контравариантных координат К" этого же тензора. Иными словами, выясним, что представляет собой тензор с координатами (8.49) Используя симметрию тензора С по нижним индексам и соотношение (8.47), найдем КздК д = КэдКд = б'„. Подставляя найденное выражение для КтдК,чз в (8.49) и используя свойства символа Кронекера д~, получим Совершенно аналогично можно убедиться в справедливости равенства К~оК1ЗК = К0.
с а (х, у) = К, х'ут. Известно, что с помощью преобразования базиса матрицу билинейной формы Кмл'ут можно привести к диагональному виду. При этом, в силу положительной определенности матрицы, после приведения матрицы (К0) к диагональному виду координаты метрического тензора будут равны нулю при г ф у' и единице при 1 = ~. Обозначая эти координаты прежним символом К0, получим (О при гфу, (1 при г = з. (8.50) Базис е„ в котором координаты К„ метрического тензора удовле- творяют условию (8.50), является ортонормнрованным.
Действительно, так как (о,, о~) = Км (см. (8.44)), то, согласно (8.50), ~ 0 при г ~ т, 1! при г = т, а это и означает, что е, — ортонормированный базис. В гл.4 мы выяснили, что в ортонормированном базисе скалярное произведение (х, у) векторов х и у с координатами л' и уз может быть вычислено по формуле (х, у) = ~ х'у, а=! (8.51) Последние две фоРмУлы еще Раз подчеРкивают, что Км и К" естественно рассматривать как коварнантные и контравариантные координаты метрического тензора С. 3. Ортоиормнрованиые базисы в Е". Мы уже выяснили, что скалярное произведение (х, у) в Е" может быть задано с помощью метрического тензора С, координаты К0 которого представляют собой элементы симметричной положительно определенной матрицы (К,.). Именно, согласно (8.43), ОПЕРАЦИИ В ТЕНЗОРНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ 235 а квадрат длины (х, х) вектора х — по формуле И (х, х) = 2 '(х') .
(8.52) г=1 Обратимся к так называемым ортогональным линейнгям преобразованиям, т.е. к таким линейным преобразованиям, при которых ортонормированный базис переходит в ортонормированный. Иными словами, если Š— ортогональное преобразование и е; — ортонормированный базис, то Ее, также образует ортонормированный базис. Исследуем действие преобразования ! на произвольный вектор х = х'е,. Обозначим через Х результат действия Е на х; Х=!х. Используя свойство линейности Т,, найдем Х = Ех'е, = х'Т,ео Так как Ее; базис, то из последнего соотношения вытекает, что вектор Х имеет в базисе Ее, такие же координаты, как и вектор х в базисе ен т.е.
при ортогональном преобразовании сохраняют свое значение координаты вектора. Поскольку Ье, ортонормированный базис, то скалярное произведение (Х, Ъ') векторов Х = Ех и Ъ' = Т,у может быть найдено по формуле (8.51), а квадрат длины (Х, Х) вектора Х = 1х — по формуле (8.52). Мы выяснили, что при ортогональных преобразованиях сохраняют свое значение координаты векторов. Отсюда и из соотношений (8.51) и (8.52) получаем (Х, Ъ ) = (х, у), (Х, Х) = (х, х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
