В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Таким образом, произведение матриц (д0) и (80) представляет собой единичную матрицу. Следовательно, матрицы ( 0) и (у;.) взаимно обратны. 3. Преобразования базиса и координат. Пусть е; и е' — заданные взаимные базисы, а е, и е' некоторые новые взаимные базисы, элементы которых мы обозначим штрихованными индексами.Фактически это означает, что мы вводим новый натуральный ряд 1', 2', 3', ... ... и считаем, что индекс г' принимает значения 1', 2',...,и'. Таким образом, индексы ! и з' независимо принимают различные значения: 1=1,2,...,и, г'=!',2',...,и'. Используя введенное в предыдущем пункте соглашение о суммировании, запишем формулы преобразования базисных векторов.
В результате получим: !) формулы перехода от старого базиса е, к новому базису еа и формулы обратного перехода еа=6,'ео е;=6,'еа, 1=1,2,...,и, г'=!',2',...,и', (8.12) 2) формулы перехода от старого базиса е' к новому е' и формулы обратного перехода е' =6,'е', е'=6',,е', 1=1,2,...,и, г'=!',2',...,и'. (8.13) (гл.
8 222 тензОРы Так как преобразования (8.12) (равно как и преобразования (8.13)) взаимно обратны, то матрицы (Ь,',) и (Ь, ') (равно как и матрицы (Ь,',) н (Ь,'. )) взаимно обратны. Докажем, что матрицы (Ь',,) (6',,) тождественны. Тем самым будет доказана тождественность и матриц (Ь, ') н (Ь,'. ). Для доказательства умножим скалярно первое из равенств (8.12) на е", а второе из равенств (8.13) — на еь . Учитывая соотношения (8.2), получим (еьч е") = Ь,',(е„еь) = 6,',бц = 6ь, (е', еь ) = 6,',(е', еь ) = Ь,',Я., = 6ь,. Из этих соотношений при 6 = 1, 6' = Р получим 6,',, = (ее, е'), (8.!4) Ь,', = (еи, е'). (8.!5) Поскольку правые части соотношений (8.14) и (8.15) равны, то равны и левые части.
Иными словами, Ь,', = Ь,',„а это и означает тождественность матриц (Ь',,) и (Ь,',). Отметим, что элементы Ь,', матрицы (6,',) могут быть вычислены по формулам (8.14). Итак, справедливо следующее утверждение. Для перехода от базиса е, (или е') к базису е, (или к е' ) достаточно знать лишь матрицу (Ь,',) перехода от базиса е, к базису еи (матрица (6', ) вычисляется по матрице (6,',)). Приведем полную сводку формул преобразований базисных векторов: е, = 6, 'е, (8.16) Перейдем к выводу формул преобразования координат вектора х при переходе к новому базису.
Пусть ха — ковариантные координаты х в базисе еи. Тогда, согласно (8.7), имеем хп = (х, е; ). Подставляя в правую часть этого соотношения выражение для е, нз формул (8.16), найдем щ, = (х, 6,',е;) = = Ь,',(х, е;) = Ь,',х,. Мы приходим к следующему выводу: формулы преобразования ковариантнгях координат вектора х при переходе к новому базису имеют вид (8.17) Следовательно, при переходе к новому базису ковариантные координаты вектора х преобразуются с помогцью матрицы (Ь,',) прямого перехода от старого базиса к новому. Это согласование преобразований и объясняет наименование ковариантные ) координаты вектора, ') Ковариантный — согласованно изменяющийся.
ОснОВные ОпеРлции нлд тензОРлми Рассмотрим теперь преобразование контравариантных координат вектора х. Подставляя в правую часть соотношения х' = (х, е' ) выражение для е' из формул (8.16), получим после преобразований (8.18) Мы видим, что при переходе к новому базису контравариаптные координаты вектора х преобразуются с помощью матриг1ы (6, ') обратного перехода от нового базиса к старому. Это несогласование преобразований и объясняет термин контравариантпые ') координаты вектора. 9 2. Понятие тензора. Основные операции над тензорами 1. Понятие тензора. В этом параграфе мы рассматриваем произвольное (не обязательно евклидова) вещественное и-мерное линейное пространство Т,".
Определение. Тензором А типа (р, у) (р раз коварнантны м и у раз контравариантным) называется геометрический объект, который: 1) в каждом базисе е, линейного пространства Ь" определяется пР+д координатами А, "; (индексы 1П ..., 1 „, йн ..., 6д независимо принийы йд 3 ! ... $ р мают значения 1, 2, ..., и); 2) обладает тем свойством, что его коордий,...й„ й, йд наты А,,"",," в базисе ее связаны с координатами А,.''", ' в базисе е, соотношенйями (8.19) в которых 6',, элементы матрицы (6',,) перехода от базиса е, к базису еи, а 6," — элементы матрицы обратного перехода от ее к е;.
Число г = р + у называется рангом тензора. Замечание 1. Формулы (8.19) называют формулами преобразования координат тензора при преобразовании базиса. Отметим, что ковариантные и контравариантные координаты вектора преобразуются по формулам (8.!9) (при р = 1 и у = О в первом случае и при р = О и у = ! во втором, см. П.З З 1 этой главы). Поэтомувектор представляет собой те~вор ранга 1 (! раз ковариантный либо 1 раз контравариантный — в зависимости от выбора координат этого вектора). Отметим, что рассматривают также тензоры ранга О.
Это тензоры, имеющие лишь одну координату, причем эта координата не снабжена индексами и имеет одно и то же значение во всех системах координат. Тензоры ранга О обычно называются инвариантами. 3 а м е ч а н и е 2. Индексы 1н..., (р называются ковариантными, а )дн ..., кд — контравариантными. Наименование объясняется тем, что ') Контравариантный — противоположно изменяющийся. (гл. 8 224 тензогы по каждому из упомянутых индексов преобразование координат тензора производится в полной аналогии с преобразованиями ковариантных и контравариантных координат вектора (см.
формулы (8.17) и (8.18)). Для того чтобы определение тензора было корректным, нужно убедиться, что последовательные переходы от базиса е; к базису еп, а затем от базиса еп к базису еч приводят к такому же преобразованию координат тензора, что и при непосредственном переходе от е; к е; . Пусть (Ь,',), (Ь,'„) и (Ь,'.„) — соответственно матрицы перехода от базиса е; к базису еп, от базиса еп к е,.
и от базиса е; к е; Так как при последовательных переходах матрицы преобразований перемножаются, то очевидны соотношения Ь,'„= Ь,'„Ь,'.„Ь,'. = 6',, Ь, '. (8.20) После сделанных замечаний убедимся в корректности определения тензора. Пусть А,'"',', А,,'"',,', А,,',";.„' — координаты тензора А в базисах е,, еи и е; соответственно. По формулам (8.19), переходя последовательно от е; к еп, а затем к е;, получим (8.21) а',...а'„б ''' а'„м ''' ьц п...ч, ' (8.22) Подставляя в правую часть (8.22) выражения координат А,' ",' из ю', г'„ (8.21) и учитывая соотношения (8.20), получим Аг .'Р' = (6,' Ьч)" (6,.96;") (Ь~~' Ь"„,')~" (Ьи'Ь~') А~,.;~' = 1 м Йц ч ~р Таким образом, последовательные переходы от базиса е; к базису е,, а затем к базису е, приводят к такому же преобразованию координат тензора, как и при непосредственном переходе от е, к еп .
Корректность определения тензора установлена. 3 а м е ч а н и е 3. Любая система и" гч чисел А.' "' " может раси ...ар сматриваться в данном базисе еч как координаты некоторого тензора А типа (р, г1). Чтобы убедиться в этом, определим в произвольном ь,(...ь; базисе еп с помощью формул (8.19) систему чисел А,,'";.,', которые будем рассматривать как координаты искомого тензора А в базисе еп. Очевидно, что при переходе от базиса е, к базису е, эти координаты преобразуются по формулам (8.!9). Как и выше, легко убедиться, что последовательные переходы от базиса е; к базису еп, а затем к базису еп приводят к такому же преобразованию полученных координат, как и при непосредственном переходе от е; к е, .
Следовательно, система чисел действительно представляет собой координаты некоторого тензора А типа (р, д). 225 основныв опррлции над твнзорйми А(х, у) = А(л'ен уте ) = А(е,, е )л'уа. Обозначим А(е„е,.) через а;,.: а, = А(е„е ). Тогда форма А(х, у) может быть записана следующим образом: (8.23) А(х, у) = аоа'уа. (8.24) Убедимся, что коэффициенты а;,. матрицы формы А(х, у) при переходе к новому базису преобразуются по закону (8.19) преобразования координат тензора типа (2, О), т.е. представляют собой тензор типа (2, О).
Рассмотрим произвольный базис егн егч ..., е„. Запишем в этом базисе форму А(х, у) в виде (8.24) А(х, у) = аеа ал у', причем ан = А(ен, е. ). (8.25) Перейдем от базиса еы еа, ..,, е„к новому базису е|, еач ..., е„. Обозначая матрицу перехода от базиса е; к базису ен через Ь;'„ получим ен = Ь,',е,, ез = Ьа,е . Подставляя эти выражения для е; и е в правую часть (8.25) и используя линейное свойство формы А(х, у) по каждому аргументу, найдем ан = А(Ь,',е;, Ь, 'е,.) = Ь,',Ь, 'А(е,, е,.). 8 Лапейааа алгебра 2. Примеры тензоров. 1'. Нуль-тензор.
Среди тензоров типа (р, д) следует выделить так называемый нуль-тензор. Это тензор, координаты которого в любом базисе равны нулю. Очевидно, соотношения (8.19) выполняются. Отметим, что если координаты тензора А равны нулю в каком- либо базисе, то, согласно (8.19), они равны нулю в любом базисе, и, следовательно, А — нуль-тензор. 2'. Силгвол Кронекера. Убедимся, что гензор А типа (1, 1), имеющий в базисе е, координаты б,", будет иметь в базисе ен координаты ба. Итак, пусть А — тензор, имеющий в данном базисе е; координаты бь.
Для того чтобы найти координаты этого тензора в базисе ен, надо воспользоваться формулами (8.19), т.е. координаты тензора А в базисе ен равны Ьуь Ь,',б,". Используя свойства символа Кронекера, Итак, в новом базисе е, координаты тензора А действительно равны б,", . Поэтому символ Кронекера можно рассматривать как тензор типа (1, 1). 3'. Пусть А(х, у) — билинейная форма, заданная в конечномерном евклидовом пространстве Е", а ен ез,..., е„ какой-либо базис в этом пространстве. Тогда векторы х и у могут быть представлены в виде х = а'е„у = узе.. Используя линейное свойство формы А(х, у) по каждому аргументу, мы можем записать (гл. 8 226 тензОРы р р у'е, = х'й(е,), Разложим вектор Це;) по базису еы ез, ..., е„: Це)=а(е. Подставляя полученное выражение для Це,) в (8.26) и используя единственность разложения по базису, получим уз = азх', у = 1, 2,..., а.
(8.27) Напомним, что соотношения (8.27) можно рассматривать как координатный способ задания линейного оператора. При этом матрицу (а',.) коэффициентов а', называют матрипей линейного оператора. Убедимся, что коэффициенты этой матрицы при переходе к новому базису преобразуются по закону (8.!9) преобразования координат тензора типа (1, !) и поэтому представляют собой тензор типа (1, !).
Рассмотрим произвольный базис епо его ...,е„.. Запишем в этом базисе линейный оператор 7, в виде (8.27) (8.28) Перейдем теперь от базиса еы еа, ..., е„к базису еп, егп ..., е„. Обозначая матрицу перехода (Ь,',) (или, что то же самое, (6,',)), получим ') (см. и. 3 э 1 этой главы) х' = Ь;*,х*, у~ = Ь~~,у Подставим эти выражения для х' и у' в (8.27). Получим следующие соотношения: у~ Ьзь, = азЬ;',х', у = 1, 2, ..., п. (8.29) Нам нужно получить из (8.29) выражение для у'. Для этой цели умножим обе части (8.29) на 6~ и просуммируем по у' от 1 до п. Учитывая, что Ьзь,Ь~ = б~~„получим у" У, = (6,',Ь'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
