В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Идея этого метода заключается в том, что путем выоора специальной декартовой системы координат на плоскости (для кривых второго порядка) или в пространстве (для поверхностей второго порядка) достигается максимальное упрощение уравнения кривой или поверхности. Затем путем исследования этого уравнения выясняются геометрические свойства кривой или поверхности. Кроме того, перечисление всех возможных типов простейших (канонических) уравнений кривых или поверхностей второго порядка позволяет дать их классификацию. Чтобы использовать этот метод в многомерном случае, мы сначала должны изучить такие преобразования (отображения) п-мерного евклидова пространства, которые представляют собой аналоги преобразований декартовых прямоугольных координат в случае двух и трех измерений.
Такими преобразованиями в и-мерном случае будут параллельные переносы и такие преобразования базисов, при которых ортонормированный базис переходит в новый ортонормированый базис. Точные определения этих преобразований будут даны в следующем пункте. Очевидно, гнперповерхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект пространства Р', не изменяется, если производится преобразование указанного выше вида. Ниже мы убедимся, что для каждого уравнения вида (7.62) (или (7.66)) можно выбрать такое начало координат и выбрать такой ортонормированный базис в ~', что это уравнение, записанное в координатах относительно нового базиса, будет максимально простого вида, и поэтому, как и в случае двух и трех измерений, можно будет указать геометрические характеристики таких поверхностей и дать им классификацию.
2. Параллельные переносы в евклидовом пространстве. Преобразования ортонормированиых базисов в ортонормированные. Параллельным переносом в евклидовом пространстве мы будем назы- 47) 203 ГИПЕРПОВЕЕХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА вать преобразование, задаваемое формулами х=х'+х, (7.68) Отметим, что при параллельном переносе любой фиксированный базис не изменяется. Перейдем теперь к выяснению характеристики преобразования ортонормированного базиса в ортонормированный. Допустим, что ортонормированный базис (еь) преобразуется в новый ортонормированный базис (е' ).
Разложим каждый вектор е'„по векторам (еь). Получим е', = рне! + Рз!ез+ ... + Рп!еп, ез = Р!Ее! + Рзаеа+ + Рп2е (7.70) Еп оп Р!пЕ! + РзпЕ2+ ... + Рп„Еп. Обозначим буквой Р матрицу преобразования (7.70): Р!! Рз! Р ! р Р!2 Р22 Р а Р!и Рж ° ° Р (7. 71) Так как базисы (еь) и (е'„) ортонормированные, то из (7.70) путем скалярного умножения е' на е'„получим Рассмотрим теперь транспонированную матрицу Р', т.е. матрицу, полученную из Р перестановкой строк и столбцов. Очевидно, согласно (7.72), РР' = Р'Р = 7, (7.
73) где 7 — единичная матрица. Равенства (7.73) показывают, что матрица Р' является обратной для матрицы Р, т.е. Р— ! Р! (7. 74) Допустим теперь, что мы рассматриваем преобразование ортонормированного базиса (еь) по формулам (7.70), причем матрица Р этого преобразования удовлетворяет условию (7.73) (или, что то же, (7.74)). о где х — фиксированная точка, называемая новым началом координат. о Пусть точки х, х' и х имеют координаты, соответственно равные (л!, ла... лп), (л!, лз,..., л',,) и (х!, лж ., лп). Тогда в координатах параллельный перенос определяется формулами ль=жь+та, Й=1,2, ...,и. (7.69) (гл.
7 204 БилинеЙные и кВАДРАтичные ФОРмы (7. 75) хп — — рш х1+ рчзхз + + рппх„. / ! 3. Преобразование общего уравнения гиперповерхности второго порядка при параллельном переносе. Рассмотрим параллельный перенос, который определяется как преобразование пространства )/ по формуле (7.68) (или в координатах по формуле (7.69)). Левая часть (7.62) после подстановки вместо х его выражения по формуле (7.68) в силу линейности квадратичной формы по первому и второму аргументу ') и свойств линейной формы примет следующий вид: А(х', х') + 2[А(х', х) + В(х')) + [А(х, х) + 2В(х) + с] = О. Итак, общее уравнение (7.62) гиперповерхности В при параллельном переносе (7.68) запишется в форме А(х', х') + 2В'(х') + с' = О, (7. 76) где линейная форма В'(х') и постоянное число с' определяются соот- ношениями В'(х') = А(х', х) + В(х'), с' = А(х, х) + 2В(х) + с.
Запишем полученные формулы в координатах. (7. 77) (7. 78) ') Квадратичная форма А(х, х) связана с симметричной билинейной формой А(х, у), полярной к форме А(х,х). Билинейная форма А(х, у) линейна по аргументам х н у. Фигурирующее а дальнейшем тексте выражение А(х', х) представляет собой значение формы А(х, у) на векторах х' н х. Тогда, очевидно, элементы р,ь матрицы Р удовлетворяют условию (7.72), что, согласно этим же соотношениям (7.72), эквивалентно условию ортонормированности базиса (еь).
Напомним, что в ~9 гл.5 матрицу Р, удовлетворяющую условию (7.73), мы назвали ортогональной. Итак, для того чтобы преобразование (7.70) было преобразованием ортонормированного базиса в ортонормированный, необходимо и достаточно, чтобы матрица Р этого преобразования была ортогональной. 3 а м е ч а н и е. Обращаясь к формулам (5.14) преобразования координат вектора при преобразовании базиса (см.
п. 1 з 2 гл. 5) и учитывая, что обратная матрица для ортогональной матрицы Р есть матрица Р', получим следующие формулы преобразования координат точки х при переходе от ортонормированого базиса к ортонормированному: х~ = р~~х1 +ршхз+ ° ° + ршх хз = ршх' + рзаи' + ...
+ рз х', 47) 205 ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА А(х', х) = 2' а.ьх'хь у,ь=! (7. 79) (отметим, что коэффициенты ахь = А(еси еь) не меняются, так как не меняются базисные векторы еь). Следовательно, мы можем сделать важный вывод; при параллельном переносе группа старших членов сохраняет свой вид. Займемся теперь формулами (7.77) и (7.78).
Так как и / и и А(х', х) = 2 ~ 2 а ьх~)~х!Г!о В(х') = 2 Ььхь, Ьи! у=! ь=! А(х, х) = 2 аунхухь, В(х) = 2 Ььхю у, ь=! ь=! то формула (7.77) примет вид и и ! и В'(х') = 2 бьхь — — 2 ~ 2 а.ьху+ Ьу, хь, ь=! ь=! з=! (7.80) а формула (7.78) запишется следующим образом: с' = 2 а ьхухь+ 2 2 Ььхь+ с. у, ь=! ь=! (7.81) Таким образом, уравнение (7.76) в координатах будет иметь следующий вид: а ьх'.хь + 2 2 Ььхь + с' = О. (7.82) у,ни! Ьи! Нам понадобится несколько иное, чем (7.81), выражение для с'. Запишем (7.81) в следуюцГей форме: и Г и 1 и с' = '1 ~ 2 а ьх + Ьь~хь+ 2 Ььхн+ с. й=! , ! ь=! (7.83) Учитывая, что коэффициенты Ь'„выражаются, как это следует из (7.80), по формулам Ьь л азьху + Ьь (7.84) у=! мы получим из (7.83) нужное нам выражение для с': с' = 2 (Ь~ь + Ьь)хь + с.
ь=! (7.85) Пусть координаты точек х' и х равны соответственно х'О х',... и ..., хи и х!,хз ...,хи. Так как при параллельном переносе базис Теь) не меняется, то квадратичная форма А(х', х') запишется следующим образом: ( гл. 7 206 БилинеЙные и квлдРлтичные ФОРмы о' ь х' х'я + 2 2 б'ь х'ь + с' = О. у. ь=! ь=! (7.86) Согласно отмеченной выше автономности преобразования группы старших членов, справедливы равенства а'ьх.'хя — — 2 агьхухь, 2 бьхь — — 2 бьхь, с' = с. (7.8Т1 х ь=! у, ь=! ь=! ь=! Обращаясь к первой из формул (7.87), мы видим, что для определения коэффициентов а',ь можно воспользоваться правилом преобразования коэффициентов квадратичной формы при переходе к новому базису.
Именно, если обозначим буквой А' матрицу квадратичной формы А(х, х) в базисе (е'„), то, согласно теореме 7.2 и соотношению Р' = Р ', получим следующую связь между матрицами А и А' формы А(х,х) в базисах (еь) и (еь): А'=Р 'АР (7.88) (напомним, что Р— матрица ортогонального преобразования). Будем рассматривать теперь матрицу А' как матрицу некоторого линейного оператора А в базисе (е'„) '), а матрицу Р ' как матрицу перехода от базиса (ел) к базису (е' ). Тогда, согласно теореме 5.7 (см. п.2 ~2 гл.5), матрицу А можно рассматривать как матрицу этого линейного оператора А в базисе (еь). Иными словами, матрица квадратичной Формы при преобразовании ортонормированного базиса е ортонормироеанньш изменяется как матрица некоторого линейного оператора.
Этот вывод мы используем в следующем пункте. Замечание. Отметим, что оператор А, матрица которого в ортонормированном базисе совпадает с матрицей квадратичной формы А(х, х), самосопряженыь!й. ') Согласно теореме 55 (см, и.! й2 гл.б) любая квадратная матрица из и строк н и столбцов может рассматриваться как матрица некоторого линейного оператора, действующего в и-мерном пространстве. 4. Преобразование общего уравнения гиперповерхности второго порядка прн переходе от ортонормированного базиса к ортонормнрованному. Пусть ортонорьиированный базис (еь) преобразуется в новый ортонормированный базис (е'„) по формулам (7.70) и Р— ортогональная матрица этого преобразования (см. (7.71)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
