Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Поэтому переходя к проекциям, получим е = — д( — — ьтзг'йт созз бт (67,9) х — = з„„= — СВГВ8' соз д, (67. 10) 1 у = з,„, = — СВВ(сй з[п 20, (67.1!) где д — угол географической !Пироты рассматриваемого места. Второе слагаемое в формуле (67.9) есть только малая поправка к нулевому приближению и не меняет Рис. !83, качественно характер явления. Это слагаемое можно отбросить и находить время падения по формуле нулевого приближения (67.12) Иное дело, когда речь идет о формулах (67.10) и (67.11). Здесь в нулевом приближении х =- у =-- О.
Вращение Земли сказывается в появлении двух новых эффектов: отклонении свободно падающих тел к востоку и к экватору от направления отвеса (а не от направления к центру Зел!ли, как это иногда ошибочно утверждают). Выражение для восточного отклонения можно записать в виде Вост 3 7' 2 Ал ! 3 (67.13) где й — высота падения, а Т = 2пlсэ — период суточного вращения Земли. Отклонение з„.„ очень мало, так как в формулу (67.13) входит малый множитель 1)Т. Так, при й =- 100 м г' = 4,6 с, и для широты Москвы (О =- 66О) получаем з„„= 1,2 см. Прн падении В БТ! ОТКЛОНЕНИЕ ПАДАЮЩИХ ТЕЛ ОТ НАПРАВЛЕНИЯ ОТВЕСА 355 356 движения относит.
нвинвгн, систвм отсчвтл (гл. 1х с высоты Ь = 500 м получилось бы эв„, = 13,8 см. Несмотря на малость эффекта, его с уверенностью удалось наблюдать в опытах с падением тел в глубоких шахтах уже в середине Х1Х века. Экваториальное отклонение связано с восточным соотношением: ют а(п 0 Эввв 2 Эваст. (67. 14) Из-за наличия малого множителя ю( = 2я()Т отклонение к эква- тору очень мало и по этой причине недоступно наблюдению. ЗАДАЧИ 1. Из ружья произведен выстрел строга вверх (т. е. параллельно линии отвеса).
Начальная скорость пули а, = 100 мlс, географическая широта места д = 60'. Учитывая осевое вращение Земли, определить приближенно, насколько восточнее или западнее от места выстрела упадет пуля. Сапро1ивлени . павлуха ве принимать во внимание. О т в е т. Пуля отклонится к западу на расстояние 4 вгвю к, = — — всоз0=51 см. ввп= 3 авв а= . в сааб~2,45.10 ' рад 0,85' 51".
=3 3. Из орудия, установленного в тачхе вемной поверхности с географической широтой 0 = 30', производится выстрел в направлении на восток. Начальная скорость снаряда г„=- 500 м/с, угол вылета снаряда (т. е. угол наклона касательной в начальной точке траехтории к плоскости ~оризонта) и — — 60'. Пренебрегая сопротивлением воздуха и учитывая вращение Земли. определить приближенно отклонение у точки падения снаряда от плоскости стрельбы. Какое это будет отклонение: к югу или к северу? (Плоскостью стрельбы называется плоскость, проходящая через направление касательной в пачалыюй точке траектории н направление отвеса в той же точке.) 4сю,', яп осела япв св Ответ.
К югу, (г= " --„' =71 м. Ы Результат может показаться неожиданным. При двиясении вверх нориолисова сила отклоняет брошенное тело к западу от направления отвеса, при движении вниз она отклоняет его к востоку. На первый взгляд кажется, что отклонение н западу должно компенсироваться последующим отклонением к востоху. На самом деле это не так. Когда тело движется вверх, его боковая начальная сиорзсть равна нулю. В наивысшую точку тело приходит, однако, с западной составляющей скорости, которую опо приобретает под действием корнолисавой силы. Поэтому обратное падение тела начинается с начальной скоростью, направленной на запад.
При этом тело не только смешается к востоку под действием изменившей направление кориолисовай силы, но и продолжает по инерции двигаться па аапад. В результате опьчонение к западу оказывается больше, чем отклонение к востоку. 2. Под каким углом и к вертикали надо произвести выстрел вверх, чтобы пуля упала обратно в точку, из нагорай был произведен выстрел? Использовать данные предыдущей задачи.
О т в е т. Ствол ружья надо наклонить к востоку под углом » б») маятник фуко й 88. Маятник Фуко 1. Опыты по отклонению к востоку свободно падающих тел в принципе могли бы служить экспериментальным доказательством неинерциальности земной системы отсчета и приближенной инерциальности системы Коперника. Однако постановка таких опытов затруднительна, а их точность невелика. Для этой цели более подходящим является маятник Фуко. Так называется массивный шар, подвешенный на достаточно длинной нити и совершающий малые колебания около положения равновесия.
Отклоним маятник из положения равновесия, а затем предоставим его самому себе. Если бы Земля была инерциальной системой отсчета, то на маятник действовали бы только «настоящие силы»: сила веса пгд и сила натяжения вити Г (силами трения и со)противления воздуха пренебрегаем). Обе эти силы лежат в вертикальной плоскости.
Поэтому если маятнику не сообщен толчок в боковом направлении, то он все время будет колебаться в одной и той же вертикальной плоскости, неподвижной относительно Земли. Опыты показали, что это не так— плоскость качаний маятника в земной системе отсчета медленно поворачивается вокруг вертикали рассматриваемого места и притом в том же направлении, в каком совершают суточное вращение Солнце и звезды на небесной сфере. Это доказывает, что земная система отсчета не является инерцнальной.
Чтобы объяснить вращение плоскости качаний маятника, предположим, что Земля равномерно вращается относительно неизвестной иам инерциальной системы отсчета с угловой скоростью а». В земной системе отсчета к «настоящим силам», действующим на маятник, добавятся еще силы инерции: центробежная и кориолисова.
Движение маятника будет описываться уравнением (65.3). Кориолисова сила 2 т (п»а) перпендикулярна к плоскости качаний маятника. Она-то и вызывает вращение этой плоскости. 2. Допустим сначала, что опыт произведен на полюсе Земли. Тогда в уравнении (65.3) вектор ы будет направлен вдоль вертикали. Но результат легко предсказать, если рассмотреть качания маятника в инерциальной системе отсчета. В этой системе нет никакихсил инерции — действуют только сила веса тд и сила натяжения нити Р, Поэтому в инерциальной системе плоскость качаний маятника будет сохранять неизменное положение. Земля же будет вращаться относительно этой неподвижной плоскости с угловой скоростью «».
Иными словами, плоскость качаний маятника будет вращаться относительно Земли с той же угловой скоростью «», но в противоположном направлении. Разумеется, результат предсказания не может зависеть от способа рассмотрения (если только способ правильный). Поэтому к тому жс результату мы пришли бы, если бы с самого начала рассматривали задачу в земной системе отсчета с помогцыо уравнения относительного движения (65.3). Это замечание позволяет ззз движение ОтнОсит.
неинеРц. систем ОтсчетА [гл. 1х р .ю легко разобраться в вопросе, как будет вести себя плоскость качаний маятника, если опыт произведен в любом месте земной поверхности (а не только на полюсе). 3. Допустим, что опыт произведен в точке земной поверхности 1 с географической широтой д, Разложим вектор угловой скорости е( на две составляющие: вертикальную е„и горизонтальную е„:~ е = е„+ е„. Горизонтальную составляющую в свою очередь раз-1 ложим на две составляю1цие: е и е, из которых е лежит в плоскости качаний маятника, а ез к ней перпендикулярна (рис. 189).
Тогда уравнение (65.3) представится в виде та = тй + 2т [ое„]+ 2т [т/е,]+ 2т [т/е,,]+ Р. Составляющая силы Кориолиса 2т Ье 1 направлена вдоль нити маятника, Она слегка меняет натяжение нити, а с ним и период колебаний маятника. На положение плоскости качаний / / т маятника эта составляющая / / не оказывает влияния. В за/ даче о вращении плоскости качаний маятника ее можно / отбросить. Вторая составляю/ щая силы Кориолиса 2т [Ое„[ в нашей задаче наиболее важна.
Она перпендикулярна к плоскости качаний маятника и вызывает вращение этой плоскости. Третья составляющая 2т [т/е, [ тоже перпендикулярна к плоскости качаний маятника, а потому она также оказывает влияние на эту плоскость. Однако при малых колебаниях маятника эта составля/ощая мала в силу малости угла ц. Кроме того, при колебаниях маятника она периодически меняет направление.
Когда маятник движется от центра О вправо или влево, составляющая 2т [Оез[ направлена за плоскость рисунка (рис. 189). Когда маятник из крайних положений приближается к центру О, оиа направлена противоположно, т. е. к читателю. Поэтому сила 2т [е/е, [ не приводит к систематическому вращению плоскости колебаний маятника, а вызывает лишь малые колебания ее относительно среднего положения. Эту силу можно также отбросить. В результате уравнение относительного движения примет вид та = тг/+ 2т [Ое„]+ Р.
(68.1) Из уравнения выпала горизонтальная составляющая угловой скорости е. Уравнение приняло такой же вид, как и на полюсе. Вся разница только в том, что вместо полной угловой скорости 959 маятник Фуко в него вошла ее вертикальная составляющая юч. Значит, маятник будет вести себя так же, как и на полюсе. 1-1о плоскость качаний его будет вращаться с меньшей угловой скоростью ю, = ю з(п д. (68.2) Полный оборот плоскость качаний маятника совершит за время т= —, 2я 'Г (68.3) юзьчб япб ' где Т вЂ” период вращения Земли относительно инерпиальной системы отсчета.
Реальный опыт впервые был произведен Фуко в Парижской обсерватории в 1850 году и повторен в 1851 году в Пантеоне. Маятник имел длину 67 метров и состоял из металлического шара массы пт == =- 28 кг. Опыт показал, что относительно Земли плоскость качаний маятника вращается вокруг вертикали рассматриваемого места в соответствии с формулами (68.2) и (68.3), если только вращение самой Земли относить к системе Коперника. Это доказывает, что земная система отсчета не инерциальна, а система Коперника— инерциальна. Конечно, последнее заключение не может быть столь же категоричным, каким является первое.
Лучше сказать, что опыт Фуко не противоречит предположению об инерциальности коперниковой системы отсчета. 4. Исследуем более детально форму траектории маятника Фуко при его колебаниях относительно земной системы отсчета. Как уже выяснено, можно отвлечься от горизонтальной составляющей угловой скорости ю и считать, что Земля вращается вокруг вертикали с угловой скоростью ю,. Иначе говоря, можно б) Рис.
!90. рассуждать так, хак если бы опыт Фуко был произведен на полюсе, но Земли вращалась с меньшей угловой скоростью ю,. Пусть вектор угловой скорости го, направлен перпендикулярно к плоскости рисунка к читателю (рис. 190). Корнолисова сила 2гп1оюз), действующая на маятник при его колебаниях, перпендикулярна к его траектории и направлена вправо по ходу движения маятника. 360 ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТ. НЕИНЕПЦ. СИСТЕМ ОТСЧЕТА (ГД. 1Х Зта сила искривляет траекторию маятника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
