Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Но рассматриваемое слагаемое соответствует равно. мерному вращению вокрчг оси фигуры гироскопа, которая, как известно, является одной нз свободных осей вращения, а для равномерного вращения вокруг снободной оси никаких внешних сил не требуется. По той же причине не повлияло бы на величину момента М н последнее слагаемое суммы (64 24), если бы прецессия происходнда вокруг оси, перпендикулярной к оси фигуры гироскопа, а его центр масс С совпадал с точкой опоры О.
Во всех остальных случаяк это не так, Однако при вычислении момента М мы пренебрежем последним слагаемым в (64.24) и вот па какой причине. Л(ы будем предполагать прецессионнае вращение Я очень медленным по сравнению с собственным вращением е н пренебрегать квадратамн малой величины [?. Д последнее слагаемое в (64.24) как раз квадратично по [?. Таким образом, момент М проискоднт лишь от второго слагаемого в сумме (64.24) Разложив соответствующее двойное векторное произведение, умножив его векторно на г и проинтегрирован, получим М = 2 ] ((? г) [ге] дт. й ез) ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАШАЮЩЕйся ЗЕМЛИ 647 для вычисления интеграла введем прямоугольную систему координат.
Ось Х направим вдоль осн фигуры гироскопе, в ось Х рзсаоложим в плоскости, в которой лежат векторы в н П (см. рис. 185). В этой сисшме координат М = — 2Ув() х ) х«г(ш — 2Увй, ) гх г(нг+ 2(в й х ) ху бш + 2(в(), ) рг бш. Все входящие сюда интегрзлы, зз исключением первого, обращаются в яуль из-зз осесимметричного распределения масс, Перный же член может быть записан в виде М = — увпх ) (хз л й«) д и = — г(1 (в() з(п б, где б — угол между векторами в и (), з ( — соответствующий»юмент инерции гироснапз.
В векторной форме (64.26) М=() [Пв! Векторное произведение [()в! есть вектор скорости, с которой при регулярной прецессии движетси конец вектарз в, нензменно связанный с осью фигуры гироскопа. Таким обрезом, вершина гироскопа перемещается нс в направлении приложенной счлы, з в перпендикулярном к ней направлении — в напрввленнн момента М. Это — то, чта кажется более всего удивительным в движении гироскопа.
Если перейти к системе отсчета, врвщзющсйся с угловой скоростью прецессии (), то можно снвзвть, что в этой системе момент внешних сил должен уравновешивать момент сил инерции Кориолнсз. В 65. Уравнение относительного движения материальной точки в гравитационном поле Земли с учетом ее вращения 1. Применим уравнение относительного движения (64.15) к движению тел относительно Земли. Движущуюся систему отсчета 3 свяжем с вращающейся Землей. Речь идет о вращении Земли относительно инерциальной системы отсчета, например системы Коперника.
Начало координат О поместим в центре Земли. Таким образом, под оо следУет понимать скоРость, а поД Ве — УскоРение центРа Земли. Земля вращается практически равномерно, а потому последний член в уравнении (64.15) выпадает. Далее, так как речь будет идти только об относительном движении, условимся опускать в уравнении (64.15) индекс «отн», т.
е. будем полагать о: — о„„, а=а„н. Внешнюю силу представим в виде суммы трех сил газ -г гше + г", где гз — сила гравитационного притяжения Земли, ге — равнодействующая сил гравитационного притяжения Солнца, Луны, планет, звезд и прочих небесных тел, г — геометрическая сумма всех остальных сил, действующих на материальную точку, Сила го слагается, например, из силы сопротивления воздуха, силы трения, силы натяжения нити и пр. В этих обозначениях уравнение (64.15) примет вид та = (ггз + тоРУ () + 2т [ош)+ !о+ (гоо — тое).
(65. ! ) 2. Используем далее фундаментальный физический закон, согласно которому все тела е одном и том же поле тяготения падают Зле движвнив относит. ивинвгц. систем отсчвтя ггл. ~х (65.2) Рз+ тгь'к ~ = ту. Тогда уравнение относительного движения примет вид та = та+ 2т (оы) + Р. (65.3) Величина а' одна и та же для всех тел — она может меняться только при переходе из одной точки пространства в другую. Для установления физического смысла вектора й допустим, что внешних сил нет (Р =- 0), а скорость о материальной точки равна пулю.
Тогда из формулы (65.3) следует и = 5г. Таким обра. с одинаковым ускорением. Этот закон называется обобщенным законом Галилея, так как Галилей был первым, кто установил его справедливость для тел, свободно падающих в поле тяжести Земли. Из этого закона следует, что сила, действующая на тело в гравитационном поле, не зависит от состава тела, а толька от его массы. Она строго пропорциональна массе тела. В этом отношении силы тяготения ведут себя так же, как и силы инерции.
Последние, очевидно, также строго пропорциональны массам тел. 3. Основной вклад в силу Р„ вносят гравитационные поля Солнца и Луны. Эти поля, в особенности гравитационное поле Луны, неоднородны. Они убывают обратно пропорционально квадратам расстояний от Солнца и Луны. Однако размеры Земли очень малы по сравнению с этими расстояниями. При рассмотрении движений вблизи земной поверхности изменениями гравитационных полей Солнца, Луны и всех прочих внешних гравитационных полей на расстояниях порядка диаметра земного шара можно в первом приближении пренебречь, т. е.
считать внешнее гравитационное поле в окрестности Земли однородным, Однородное гравитационное поле сообшает одно и то же ускорение всем телам, независимо от того, в каких точках поля эти тела находятся. Значит, в принятом приближении внешнее гравитационное поле сообшает рассматриваемой материальной точке такое же ускорение, что и центру Земли, т. е. оы Поэтому' Р, — тоь = О. Таким образом, силы гравитационного прит жения Солнца, Луны и всех остальных небесных тел выпадают из уравнений относшпельного движения (65.1), Они полностью компенсируются поступалмльными силами инерции, возникающими из-за ускорения, сообщаемого Земле этими полями.
Этот замечательный результат, как мы видим, является следствием обобщенного закона Галилея. 4. Сила Рз гравитационного притяжения Земли, а с ней и векторная сумма Рз + ты'к~с, вследствие того же закона Галилея, пропорциональны массе материальной точки т. Эта сумма не зависит от относительного движения точки и характеризует только гравитационное поле Земли и ее вращение.
Целесообразно рассматривать эту сумму как единую величину. Для нее мы введем обозначение Вес и ВВВешиВАние тел зом, вектор д есть ускорение свободно падающего тела относительно Земли при условии, что его скорость в рассматриваемый момент равна нулю.
Оговорка относительно скорости тела необходима, так как при наличии скорости ес появляется дополнительное ускорение из-за кориолисовой силы. Мы видим, что ускорение свободного радения состоит из двух слагаемых Й Нсбс+Ю с 3.. (65. 4) 1 Первое из них, й;б, — — Рз есть ускорение, вызванное силой гравитационного притяжения Земли. Такое ускорение мы получили бы, если бы измеряли ускорение свободного падения относительно неподвижной системы отсчета при условии, что, помимо земного гравитационного поля, никаких других полей нет.
Второе слагаемое в'гА есть ускорение, сообщаемое центробежной силой инерции и связанное с вращением Земли. $ 66. Вес и взвешивание тел 1. Весом тела называется приложенная к нему сила Р, равная и противоположно направленная силе, с которой это тело действует на подставку, на которой оно лежит, или тянет за подвес, к которому оно подвешено. При этом предполагается, что тело, подставка и подвес покоятся в той системе отсчета, в которой производится взвешивание. Когда говорят о весе тела, обычно предполагают, что тело, подставка и подвес покоятся относительно Земли. Допустим ради определенности, что тело лежит на подставке. Оно действует на подставку с силой Р, подставка действует на тело с противоположно направленной силой Р.
По смыслу Р и Р суть силы взаимодействия подставки и тела. Оии удовлетворяют третьему закону Ньютона: Р = — Р. Предполагая, что тело на подставке покоится, подставим в формулу (65.3) ю =- О, и = О, Р = — Р. Тогда для Р найдем Р=та'. (66.1) Учитывая (65.4), видим, что Р состоит из двух слагаемых: = тксбс+ ™ГА = РЗ+ тбв с А.
(66. 2) Значит, вес есть геометрическая сумма силы гравитационного притяжения Земли Рз и центробежной силы инерции тю'г1. Если тело подвешено на нити, то рассуждения остаются теми же самыми. В этом случае направление нити определяет направление силы Р, а следовательно, и ускорение свободного падения а. Оно называется направлением отвеса или отвесным направлением. 2. Вектор й',б, характеризует гравитационное поле Земли.
В каждой точке пространства он определяется только размерами 350 движвнив относит. наинавц. систам отсчвтл 1гл. ~х и формой Земли, а также распределением вещества в ней. Если бы Земля была правильным шаром, а вещество внутри нее было распределено сферически-симметрично, то вектор лы, был бы направлен точно к центру Земли. Направление отвеса определяется вектором 8, т. е. диагональю параллелограмма, построенного на векторах и'„.„и ы'г, (рис.
186). Таким образом, если бы даже Земля была строго сферически-симметрична, то направление к ее центру не совпадало бы с направлением отвеса. Различие между этими двумя направлениями для сферически-симметричной Земли обусловлено центробежной силой. Реальная Земля сплюснута вдоль оси вращения, и это является второй причиной различия указанных двух направлений. Впрочем, ввиду СЬги медленности вращения Земли и малости ее сплюснутостн, оба направления отличаются друг от друга г в'г весьма мало.
Для сферически.симмет- ричной Земли угол и между ними Умь ~ определяется формулой д У очаг ! ю'"г Ю з)п и = — — з)п Ю = -- — з)п 26, и з ы (66.3) где б — географическая широта рассматриваемого места (рис. 186). На полюсе и на экваторе угол а обраРис. 186. щается в нуль. Для реальной (несфе- рической) Земли формула (66.3), хотя и приближенна, но достаточно точна.
Проектируя векторы лы, и взт' на направление вектора л' и полагая соз х ==~ 1, ~легко получйть приближенную формулу К=баас щ Гг соз б Кабс — ы Геохи б. (66.4) Ошибка этого расчета порядка сР, Величина и может быть найдена путем взвешивания или из опытов по свободному падению тел. Более точно ее можно найти, измеряя период колебаний оборотного маятника (см. $ 41). Опыты показали, что д зависит от географической широты. На полюсе д = 983,2 см(с', на экваторе й = 978,0 см!с'. Зная д, можно по формуле (66.4) вычислить и д,з,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
