Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 81
Текст из файла (страница 81)
течение всего времени, которое он затрачивает для выхода из зоны действия земного тяготения '). Будем обозначать малыми буквами (И о>о оч) скорости корабля относительно Земли. Все скорости относительна Солнца будем обозначать бальшимн буквами (У, У, У,). Пока корабль движется в поле земного тяготения, его движение удобнее от>>осить к системе отсчета, в которой Земля неподвижна. Считая массу Земли М бесконечно большой но сравнению с массой корабля т, запишем уравнение энергии в виде тп! Мт гпэ — — 6 — = —, 2 г где о — скорость корабля в тот момент, когда он практически выходит яз зоны действия земного тяготения.
Вводя круговую скорость а'„- =. СМ>г, получим = аэ 2о„', После того как корабль выйдет из зоны действия земного тяго- тения, будем относить его «эижение к системе отсчета, в которой неподвижно Солнце. В момент выхода из зоны земного тяготения скорость корабля У в этой системе равна векторной сумме скорости а и скорости кругового движения Земли У„.
Если корабль выходит нз зоны земного тяготения под углом б, то та«ай же угад будет между скоростями и и У. Значит, Ук +о(ч+2Ука сааб. Третья космическая скорость оа найдется из условия 1' =- 1'ч: — У 2 У„. Под- ставляя это значение для У в предыдущее соотношение, получим квадратное уравнение для о , из котарага найдем а .=()>Г+ сааа Ю вЂ” саад) У, (Положительный знак перед квадратным корнем выбран потому, что величина э по своему смыслу существенно положительна.) После этого получим а', "=()'1+ совий — созб) Уй+2о~».
(61.4) Минимальное значение третьей космической скорости получится при Ф = Р (запуск в направлении орбитального движения Земли), а максимальное прн д = и (запуск в направлении против орбитального движения Земли). Для этих значений формула (61.4) дает ом"" = )' Р>!71Уй+2ок ею!6,7 кмус, (61.5) азаке ~/5 828Ук +2ок 72,7 кмус, Вычислим теперь приближенно чепииртую космическую скороешь ом Так называется минимальная скорость, которую надо сообщить ракете, чтобы она могла упасть в заданную точку Солнца.
Такая скорость зависит от положения этой точки на поверхности Солнца. На старте ракета движется вокруг Солнца вместе с Землей со скоростью У,. Чтобы ракета упала на Солнце, ее движение ч) Более подробное рассмотрение показывает (см. $65), что в действитель. ности при таком расчете мы пренебрегаем не полем тяготения Солнца, а лищь его кеодкородкосп>ью в той области пространства, где преоб!адающим является поле тяжести Земли. Однородная составляющая поля тяготения Солнца компенсируегся силамн инерции, вознниающнми нз-за свободнога падении Земли на Солнце.
Поэтому ошибка, которую мы делаем при вычислении третьей космической скорости, ничтожна. 328 тяготение (гл, унт надо затормозить. Как и ранее, находим, что при выходе из зоны земного притяжения скорость ракеты будет У= — У+ о (относительно Солнца). Наименьшая энергии, которую нужно затратить для замедления, получится тогда, когда скорости У и о направлены противоположно. В этом случае У = У, — о (все скорости положительны), а энергия, приходящаяся на единицу массы ракеты, равна =Ч (1/ — о )3 — бМф=г/~(У» +21/ о — о~ ) где )с = С/) — расстояние ракеты до центра Солнца при ее максимальном удалении (рис.
181а). Если е < О, то траекторией ракеты будет эллипс с большой осью / ОМ Уз +21/ о о/ Один из фокусов эллипса находится в центре Солнца. Обозначим через х = СР расстояние от центра Солнца до ближайшей вершины этого эллипса. РасРис. 181 а. стояние х однознзчно определяет форму эллипса, а с ней и линию на поверхности Солнца, на которой будет лежать точка падения. Большая ось эллипса 2а = )! + х. Подставив это значение в предыдущее уравнение, придем н квадратному уравнению для о . Меньший корень этого уравнения равен Четвертая космическая скорость о4 ракеты определится из соотношения от = = о- "+ 2э', или ох= Ук (1 — ~~ — ) +2ок.
)с+х) Она зависит от параметра х, определяющего место падения. При х = 0 (прямолинейное движение по направлению к центру Солнца) скорость о4 максимальна и равна о"'"'=(У» -1-2ох)'/' =31,8 км(с. Ракета упадет в передней точке Солнца. При х =- / (/ — радиус Солнца) ра. кета упадет в задней точке Солнца, двигаясь по касательной к его поверхности. В этом случае скорость минимальна н равна / 2/ 1з 1"/а оман Укк 1 — ~// — ~ +2ох ~ (Ук(1 — ) 2и) -1-2ох) А 29,2 кмус, где а = 4,65 !О а рад — средний угловой радиус Солнца, ЗАДА Ч И 1.
Искусственный спутник Земли вращается по круговой орбите радиуса й/ с периодом Т,. В некоторый момент на очень короткое время был включен реактивный двигатель, увеличивший скорость спутнина в сс раз, и спутник стал вращаться по эллиптической орбите.
Двигатель сообщал ускорение спутнику все время в направлении движения. Определить максимальное расстояние спутника от центра Земли, которого он достигнет после выключения двигателя. Найти также период Т, обращения спутника по новой (эллиптической) орбите, 4 бц кОсмические скОРООТИ Р е ш е н и е. Обозначим Е„полную энергию спутника при движении по круговой орбите. Согласно (58.3) Е, = — К, Е/.= — 2К.
После того как отра- ботал двигатель, скорость спутника возросла ва раз, а кинетическая энергия К— в ао раз. Потенциальная энергия не изменилась, так как за время работы дви- гателя спутник переместился пренебрежимо мало. Таким образом, полная энергия спутника па эллиптической орбите будет Ею=аоК+Е/=(сна-2) К=(2 — око) Е„. Большие оси эллиптических орбит обратно пропорциональны полным энергиям (см. формулу (58.2)).
Поэтому а 1 /7 а= —. )7 2 — ао' 2 — ао' Орбита будет эллиптической, если иа '. 2. Максимальное расстояние спутника от центра Земли (в апогее) ао/7 Й „=2а — /7=— макс 2 — ао' Период обращения Т, найдется из третьего закона Кеплера и равен Т, Та= (2- мо) ц ' 2. Найти такой радиус /7 круговой орбиты спутника Земли, движущегося в направлении ее вращения в плоскости земного экватора, чтобы он все время оставался неподвижным относительно Земли.
(Такой спутник называется спьа- ционарным). / а 'ьь/ь О т в е т. /7=~ — ~ /(о — 6,50/7о. Здесь /7о — экваториальный радиус М /ььо Земли, ма/7о — центростремительное ускорение на экваторе, обусловленное осевым вращением Земли, 8 — ускорение свободного падения. На экваторе мо/7о/а=1/288. 3. Силы приливного трения, вызываемые лунными приливами, замедляют осевое вращение Земли. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока не сделаются равными у~левые скорости осевого вращения Земли и орбиталь- ного движения Луны вокруг Земли.
Определить общую угловую скорость м обоих вращений, продолжительность земных суток Т и радиус лунной орбиты а после того, как это произойдет, В настоящее время угловая скорость осевого вращения Земли равна ма — — 7,29 1О ' рад/с, момент количества движения Земли относительно своей оси Ез —— 5,91 1О" г.сма/с, момент инерции Земли относительно той же оси 13 — — 8,!! ° 1бм г смь, радиус лунной орбиты ао = = — 3,84 10ьо см, период обращения Луны яокруг Земли (относительно звезд) Тл — — 27,3 сут, масса Луны ьп = 7,35 10о г. Лля упрощения расчета считать, что земная ось перпендикулярна к плоскости лунной орбиты.
Р е ш е н и е. Используя приведенные данные, находим: момент инерции Луны относительно оси вращения Земли 1л =- лио =. 1,08 10ь? г.сма (моментом инерции Луны относительно ее собственвой оси пренебрегаем), угловая скорость орбитального вращения Луны вокруг Земли мл = 2,57 !О ' рад/с, момент коли- чества движения Луны относительно Земли / ьь = !лыл = 28,9 10'о г смо/с, полный момент количества движения системы Земля — Луна Е = Е + 1.„= 3 л = 34,8 10ьо г смо/с. По закову сохранения момента количества движения (1 + тао) ы =- Е, или, пренебрегая /з, аьаою = Е.
По третьему закону Кеплера ааыа = асман. Из этих двух уравнений можно найти неизвестные а и еь В ука- занном приближении Еа г!.ьз а= —,, ао= ~- — 1 ао-145 по=5,58 10ь' см, "ь Ь ('л/ ы/мл = (ььо/ьь) ' = 0,573, Т 27,3/0,573 = 47,7 сут. 339 ТЯГОТЕНИИ (гл, уи! 4. Космический корабль подходит к Луне по параболической траектории, почти яасающейся поверхности Луны. Чтобы перейти на стелящуюся круговую орбиту, в мамент наибольшего сближения включают тормозной двигатель, выбрасынающий газы со сноростью и 4 кмис относительно корабля в направлении ега движеии»!.
Какую часть обшей массы системы будет составлять горючее, использованное для торможения корабля? Средний радиус Луны )? =(738 км, уснорение свободного падения на поверхность Луны я= (62 см с'-'. Ответ. ' =()г2 — !) ~ =.О,!7. т» ь 5. Искусственный спутник движется вокруг Земли в разрекенной атмосфере по круговой (или почти круговой) орбите. Как влияег сопротивление среды на скорость движения спутника и его момен~ количества движения относительно центра Земли? Р е ш е и н е. Согласно (58.3) прн круговом движении Е = — К. Трение уменьшает полную энергию Е. Поэтому кинетическая энергия К возрастает (спутник приближается к Земле).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
