Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 82
Текст из файла (страница 82)
6. Космический корабль без начальной скорости свабодво падает на Землю из удаленной точки. В хаком месте следует повернуть направление скорости корабля на 90' (без изменения ее величины), чтобы он стал двигаться вокруг Земли по круговой траектории? О т в е т, Посередине между центроы Земли и нача.чьным положением корабля. 7. Космичесхий корабль движется вахруг Земли по эллиптической орбите. В каков точке орбиты следует изменить нвпрввленне скорости корабчя (без изменения ее величины), чтобы корабль стал двигаться па круговой орбите? Р е ш е н и е. Так как энергия корабля зависит толька ат длины 2а большой аси его орбиты, то переход иа круговую орбиту произойдет' на расстоянии а, т. е. в точке пересечения эллипса с его малой осью.
Направление скорости корабля надо повернуть на такой угол, чтобы оно оказалось перпендииулярны»« и линии, соединяющей корабль с центром Земли. й. касмичесиий корабль движется вокруг земли па эллиптической орбита. В точке пересечения эллипса с егд маЛОЙ осьЮ включается даигагель. Кая надо изменить скорость нарабля в зтай тачке, чтобы ои ~)ерешел на параболическую орбиту? О т в е т. Увеличить в г'2 раз. 9. Квяую перегрузну испытывает при старте космонавт в космическом корабле на самом начальном участке полета, когда корабль вместе с ракетой.
носителем поднимается аертинально вверх с постоянным ускорениеы и эа время т = 4 с набирает скорость о = с«осю где о« вЂ” первая космическая скорость, а с» = 0,03? (Перегрузкой называется отношение л = (Р— Р»)IР», где Р» — вес космонавта на земле, а Р— «аес», который наказали бы пружинные весы прн навешивании касмоиавта в корабле.) Р и и! е и и е.
Примем за положительное направление вверх. «Вес» космонавта в корабле будет Ло Р=Р,+т Л! Считая ни начальном участие величину Р постоянной, находим скорость коРабля через время ул Р— Р, а =~он= гп Отсюда Р— Р» аа «» Г)? » — ⻠— »г — - 6. й ВЬ|ВОД ЗАКОНОВ ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТ и 62. Вывод законов движения планет нз закона всемирного тяготения Ньютона 1 — тяф=а, 2 (62. 2) где М вЂ” масса Солнца, е — полная энергия планеты, приходящаяся на единицу ее массы, а — секториальная скорость, остающаяся постоянной во время движения.
Для нахождения уравнения траектории планеты исключим время. Г(Г Считая г функцией ф, имеем Р= — ф, Подставляя это значение в уравнение (62.1) йф и исключая ф с помощью уравнения (62.2), получим (62.3) 1 1 Введем нову|о переменную р= — — + —, где Р— постоянная, значение ко. Г Р' торой будет установлено ниже. Тогда уравнение [62.3) перендет в (й)'+( -И'=-:-+ й~-"!-) Подберем постоянную р так, чтобы в этом уравнении исчезли члены, содержащие первые степени р.
Для этого надо положить 4ои Р= — ° бМ ' (62.4) При таком выборе постоянной Р получим 'Г(Р тз в 1 (--~ =--.+ — — р'. , Ьр) га р 1 е Поскольку слева стоит неотрицательная величина, постоянная —, + — также ра газ неотрнцательна, и ее можно обозначить посредством Аа А = — + —,. Р (62.5) В результате получим ! =,4з рз, (-- -— г(р тг (62.6) Очевидно Аз~ рз, а потому можно положить р!А = сов 8, где 8 — новая В предыдущих параграфах три закона Кеплера были приняты за исходные. Пользуясь нни, мы пришли к закону всемирного тяготения Ньютона.
Теаерь поступим наоборот. Примем, что на планету со стороны Солнца действует сила' тяготения, подчиняющаяся закону Ньютона. Найдем движение планеты под действием такой силы. Массу Солнца будем считать бесконечно большой по срав. нению с массой планеты. К такому случаю сводится и общий случай, когда это условие не выполняется (см.
6 59). Возьмем полярную систему координат (Г, ф), полюс которой поместим в центре Солнца. Скорость планеты о можно разложить на радиальную скорость о, = Г и перпендикулярную к ней азнмутальную скорость пе =. Гф. Очевидно, оз = Га+ г'фз. Законы сохранения ввергни и момента импульса планеты запишем в виде 1 ., М - -(гз+Гзфл) — 6 — =в„ (62.1) Г 882 (гл. угн ТЯГОТЕНИЕ неизвестная. Тогда где / грэ / бзоэ е=рА =1/ 1+ — = з/ !+ —, 2аз г/ ОзМэ ' (62.8) Без ограничения общности можно положить фа =- О.
Зго означает просто, что отсчет углов ф ведется от такого положения радиуса.нектора планеты, когда его длина равна р/ (1 — е). При таком отсчете уравнение (62.7) принимает вид Р г= 1 — е сов гр' (62.9) Зто — уравнение конического сечения с зкспентриситетом е и параметром р. Если е < О, то е < 1 (эллипс); если е = О, то е = 1 (парабола); если е ) О, то е ~ 1 (гипербола). Мы пришли к результатам, полученным в $57 иным путем. Нетрудно теперь вычислить остальные параметры орбиты и в случае эллиптического движения получить третий занон Кеплера. Однако все эти вычисления уже были проделаны ранее, и в новых вычислениях нет необходимости.
А' — р'=АзяпзВ, —. = — А з1п 8 —. ~1р Й~ ~Ю Подставляя в (62.6) и сокращая на А ып 6, получим — = -ь 1, откуда 9 = дф = -~-ф+ р,. Следовательно, р = — А сов (ьф+ фц) = А соз (ф.+ фэ). В последнем выражении двойной знак перед ф, сохранять не ймеет смысла, поскольку фе есть постоянная интегрирования. Возвращаясь к прежним обозначениям, получим — = — [1 — е сов (ф+ гре)), 1 1 (62.7) г р ГЛАВА 1Х ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ОТСЧЕТА й 63. Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета 1. До сих пор мы относили движение к какой-либо одной из бесчисленного множества инерциальных систем отсчета. В такой системе отсчета основным уравнением движения материальной точки является уравнение, выражающее второй закон Ньюпюна.
Запишем здесь это уравнение в виде та«ба (63.1) снабдив ускорение и индексом «абс», смысл которого выяснится в дальнейшем. Поставим теперь задачу найти уравнения движения в неинерциальных системах отсчета, т. е. таких системах, которые движутся ускоренно относительно ннерциальных систем.
Задача сводится к установлению законов преобразования сил и ускорений при переходе от инерцнальной системы к любой неинерциальной системе отсчета. Дорелятивистская физика считала этот вопрос чисто кинематическим и решала его на основе следующих двух допущений: 1) время абсолютно, т. е. промежутки времени между любыми двумя событиями одинаковы во всех системах отсчета; 2) пространство абсолютно, т.
е. расстояния между любыми двумя точками 1материальными телами) также одинаковы во всех системах отсчета. Таким образом, в дорелятивистской физике считалось, что расстояния и промежутки времени инвариантны по отношению к переходу от одной системы отсчета к любой другой, произвольно движущейся системе отсчета. Оба допущения казались настолько самоочевидными, что даже явно не формулировались. И только глубокий анализ проблемы пространства и времени в теории относительности выявил постулативный характер этих допущений. При этом оказалось, что оба допущения приближенно верны лишь для медленных движений.
При быстрых движениях они становятся неверными. Ограничимся сейчас нерелятивистским рассмотрением, т. е. будем предполагать, что все скорости, в пюм числе и относительные скорости самих систем отсчета, малы по сравнению со скоростью света в вакууме. 2. Условимся называть неподвижной какую-либо произвольно выбранную инерциальную систему отсчета, а движение относи- 334 ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТ. НЕИНЕРЦ. СИСТЕМ ОТСЧЕТА !ГЛ.
!Х тельно нее — абсолютным. В формуле (63.!) речь идет об ускорении при абсолютном движении именно в таком смысле. Не следует вкладывать в понятия «неподвижная система отсчета» и «абсолютное движение» что-лнбо большее по сравнению с тем, что содержится в приведенном определении. Оба понятия чисто условны и не противоречат утверждению, что всякое движение относительно.
Тело, покоящееся в движущеися системе отсчета, увлекается последней в ее движении относительно неподвижной системы отсчета. Такое движение тела называется переносным. Абсолютное движение тела складывается из его относительного и переносного движений. Цель настоящей главы — изучить относительное движение. Для зтого прежде всего следует установить уравнения относптель- Х ного движения. Под уравнениями движения мы понимаем соотношения, которыми определякхпся ускорения всех материальных (почвк механической системы в той системе отсчета, отпор! Н сительно которой рассматривается Рр движение.
Когда система отсчета движется относительно неподвижной системы отсчета прямолинейно и равномерно, она сама является инерциаль- Х ной системой отсчета. В атом случае Р . !33. уравнения относительного движения совпадают с уравнениями абсолютного движения, т. е. даются законами Ньютона. Позтому достаточно ограничиться рассмотрением только тех случаев, когда рассматриваемая система отсчета движется относительно неподвижной системы отсчета с ускорением.
3. Возьмем две системы отсчета: неподвижную систему 5! с началом координат в точке О, и движущуюся систему 5 с началом координат в точке 0 (рис. )82). Обозначим л«ь радиус-вектор 0,0, проведенный из неподвижного начала О, к движущемуся началу О. Пусть М вЂ” какая-либо материальная точна. Ее положение в неподвижной системе отсчета определяется радиусом-вектором»«, а в движущейся — радиусом-вектором к = ОМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
