Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 85
Текст из файла (страница 85)
~ 24, п. б). ЗАДАЧИ Ь В чем ошибочность следующего Рассуждения: пусть А и  — дае неподвижные матернвльные точки, расстояние между которымн равно г. Состояние покоя точки В иожно рассматривать как реаультат сложения двух вращений с одинаковыми, но противоположно направленными постоянными угловыми око. ростами: +м и — м. При первом вращении возникает цектростремимльное 344 ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТ.
НЕИНЕРИ. СИСТЕМ ОТСЧЕТА (ГЛ. 1Х ускорение аг = гозг, при втором — центростремительное ускорение а, = ( — оз)зг = = ыэг = а,. Результирующее ускорение точки В равно а = а, + а = 2ызг. Следователыю, точка А действует на точку В с силой притяжения Р = 2шшзг, где т — масса точки В, Поскольку ы — величина произвольная, получается абсурдный результат, что точки А и В притягиваются друг к другу с произвольной, наперед заданной силой. Р е ш е н и е. Не учтено кориолисово ускорение. Введем систему отсчета 5, равномерно вращающуюся вохруг точки А с угловой скоростью +ы.
Пусть точка В вращается относительно этой системы с угловой скоростью — ы. Обозначая вектор АВ посредством г, имеем для скоростей и ускорений точки В: пота = (ы~! пота = а„,г, —— — ыег, акор — — 2 (ыеотя) = 2ызг. СЛЕдОВатЕЛЬНО, а„я, = а„в+ а„,р+ а„,р = О. 2. Стрелок и мишень находятся в диаметрально противоположных точках карусели радиуса Р = 5 м, равномерно вращающейся вокруг вертикальной осн.
Период вращения карусели Т =- 1О с, скорость пули о = 300 м!с. Пренебрегая максимальной линейной скоростью вращающейся карусели ый по сравнению со скоростью пули, определить приближенно, под каким углом сг к диаметру кару- сели должен целиться стрелок, чтобы поразить мишень. Задачу рассмотреть как с точки зрения вращающейся, так и с точки зрения неподвижной системы, и срав- нить результаты. 4гЖ О та ет.
а= — =О,ОЮ9 рад=1,2-'. иТ 3. Тонкий стержень длины 1 вращается вокруг одного из концов, описывая круговой конус (физический конический маятник). Найти период движения Т в зависимости от угла прн вершине конуса 2~р. У к а з а н и е. В системе отсчета, вращающейся вместе со стержнем вок- руг вертикальной оси, стержень покоится. Задача сводится к нахождению усло- вия равновесия подвешенного стержня в этой системе под действием силы тяжести и цеатробежной силы.
От не т. Т=2п а, Г21 соз гр Зд 4. Физический маятник, состоящий из шарика, васаженного на конец тон- кого жесткого стержня, может свободно колебаться вокруг горизонтальной оси А, проходящей через верхний конец стержня. Ось А неподвижно закреплена на геометрической оси горизонтального диска, равномерно вращающегося вокруг этой (вертикальной) геометрической оси с угловой скоростью ы. Таким образом, плоскость колебаний маятника вращается вместе с диском с той же угловой сно- ростью ы.
Найти период малых колебаний маятника, если масса стержня пре- небрежимо мала по сравнению с массой шарика. При каком условии нижнее вертикальное положение стержня станет неустойчивым положением равновесия? О т в е т. Т =-2я 1 г, если )гоз<я. При 1ер >й положение равновесия У а — (ш неустойчиво.
5. Представим себе, что в аемном шаре просверлен канал по диаметру в пло- скости экватора. Вычислить силу Р, с которой будет давить на стенку канала тело, падающее по нему с поверхностк Земли, в тот момент, когда оно достигнег центра Земли. Считать, что трения нет, а плотность Земли однородна, О т в е т. Р = -"- 1, — Р— 0,12Р, где Р— вес тела на поверхности Т)г я Земли, Т вЂ” продолжительность звездных суток, Я вЂ” радиус Земли. 6.
(Задача Ньютона.) Какую центральную силу надо прибавить к силе при- тяжения Солнца для того, чтобы орбита планеты, не меняя своего вида, враща- лась вокруг Солнца? ПРОИЗВОЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 345 Р е ш е н и е. Обозначим Рх силу ньютоновского притяжения планеты к Солнцу, гн — дополнительную центральную силу, о которой говорится в условии задачи, ш — угловую скорость вращения орбиты.
Вектор ы перпендикулярен к плоскости орбиты, Полный момент импульса планеты относительно. Солнца 2 слагается из момента импульса относительно движения 6т — — т (гво,н) и момента импульса дополнительного вращения ь = лпзш. Момент ь', очевидно, сохраняется, так как полная действующая сила Рг+ гн является центпальной. Момент Аг тоже сохраняется. Действительно, таким моментом обладала бы планета, если бы вращения орбиты не было, н асе ее движение происходило под действием только одной центральной силы Рь Поэтому должен сохраняться н мо.
мент ьз, а планета должна вращаться с угловой скоростью ы — —— 6з сопз1 (64. 19) шгх гз Вращение орбиты неравномерное за исключением случая, когда орбита круговая. В сиотеме отсчета, вращающейся вместе с орбитой с угловой скоростью м, уравнегние движения планеты, с одной сторойы, имеет вид глао,н = Р, + Рз+ тынг — и (озг) + 2т (во,ны). С другой стороны, по условию, в этой системе планета должна двигаться по обычному кеплеровскому эллипсу, а потому тантк = г',.
Зто дает Рз = — тынг+ т (юг)' — 2т [позою), (64.20) Дифференцируя (64.19) по времени и принимая во внимание, что ьн = сопз1, получим г ьн Г в= — 2 — — = — 2 — ьь тгн г Скорость в,н монгно разложить на две составляющие: вдоль радиуса - г и перотн г пендикулярную к нему. Последняя возникает из-за вращения планеты по кеплерову эллипсу с угловой скоростью ш „,= —. Таким образом, йг шгх Вотн = Г + (Шотн~ ).
Подставив это в (64.20), после простых преобразований получим Рз= — лг (ын+2(вняо,н)) г, (64.21) или (64.22) Отсюда видно, что дополнительная сила Рн дошкна меняться обратно пропорционально кубу расстояния планеты от Солнца. 7. Применить теорему Кориолиса для решения обратной задачи о движе. нни симметричного гироскопа. Прямая задача механики состоит а том, чтобы по заданным силам определить движение механической системы. Обратная задача сводится к определению сил по заданному движению системы. Пусть гироскоп совершает вынужденную регулярную нрецессню. Какие на него должны действовать силы, чтобы эта прецессия имела место? Р е ш е н и е, Пусть гироскоп равномерно вращается вокруг своей оси фигуры с угловой скоростью ш, а ось фигуры вращается также равномерно с уг. лозой скоростью () (вынужденная прецессии).
Перейдем к системе отсчета, 346 движение [зтнОсит. Иеиневц. 6истеи (зтсметл [Г?[. 1х вращающейся с угловой скоростью [?. В этой системе ось фигуры гироскопа неподвижна, твк чта петя —— [ег!, вв,в — — [ггг], авея= [[? [ИгЦ. (64,23) д(ысленно выделим из тела гироскопа элемент массы дт с радиусом-вектором г (см. рис. !86И Обозначим посредством ву'действующую на него (реальную) силу. При использовании формулы (64.9) надо помнить, что теперь угловая скорость вращения системы отсчета обозначена 4? (а не е, как в этой формуле». Примевнв к выделенному элементу массы второй закон Ньютона, использовав формулу (64.9) и выражения (64.23), можем написать г(У'=от [е [егЦ +2йт [Р [егЦ+ зт [[? Ц?гЦ.
(64,24) Поскольку гироскоп предполагается идеально твердым телом, его уравнения движения полностью определяются геометрической суммой Г' внешних снл и их моментов относительна точки опоры О. Лля на- 2 хождения у' проинтегрируем выражение (64.24). Векторы е и Я как постоянные при этом можно вынести из-под знака интеграла.
Кроме того, учтем, что [гат = тгс, где гс — радиус-вектор центра масс гироскопа С. В результате получим У=. т Ие [егс]]+ 2 [(? [егс]]+ [[? [(?гс]][, Первые два слагаемых в правой части этого соотношения раины нулю, так как центр масс С лг лежит на оси фигуры гироскопа, а потому векторы гс и е коллинеарны. Поэтому окончательно г" —... т [[? [[?гс]] (64.25) [ Этот результат, конечно, можно было бы написать сразу на основании теоремы о движении центра масс, поскольку ускорение послезнего происходит только нз-за прецессионного вращеу ння н равно [[?[(?гсЦ (центростремительное усРис.
!85. корвине). Сила у' возникает автоматически как реакция тонки опоры на прецессирующий гироскоп. Перейдем теперь к вычислению момента снл М. Лля этого радиус-вектор г надо векторно умножить на выражение (64.24) и проинтегрировать по т. Но н без вычислений ясно, что прн таком интегрировании слагаемое пт [е [егЦ не внесет никакого вклада в момент М. Лействительно, член, возникающий от интегрирования этого слагаемого, не зависит от того, содержатся в сумме (64.24) другие слагаемые или не содержатся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
