Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Векторы»«, »«„к в каждый момент времени связаны соотношением Я=Я,+к. (63.2) Дважды дифференцируя зто соотношение по времени, получим !4 = !4»+ У (63.3) Я=Я,+г. (63.4) Чтобы лучше выявить идейную сторону вопроса, рассмотрим сначала частный случай, когда система 5 движется относительно Р «З1 ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 335 неподвижной системы 5, поступательно.
Вектор К очевидно, всегда дает абсолютную скорость О„е„а вектор л« вЂ” абсолютное ускорение а,р, движущейся точки М. Вектор Оо = л«о есть абсолютная скорость, а а, = л«о — абсолютное ускорение начала координат О системы 3. При поступательном движении зги величины совпадают соответственно со скоростью и ускорением любой точки системы 5. Таким образом, О, и а, должны быть интерпретированы как переносные скорость и ускорение. Точно так же при поступательном движении р н хч дают соответственно Относительную скорость и Оглносительнсе ускорение, т.
е. значения этих величин в движущейся системе отсчета 5. Итак, при поступательном дви- жении (63.5) (63.6) теабе = Ооан + Онер аабе = иоан + ааере причем а„„=- ам пн,р «ра. 4. Подставим теперь выражение (63.6) в уравнение (63.1) н перенесем член, содержащий а„р, в правую часть.
Получим та„а = л. — та,. (63,7) Это н есть уравнение относительного движения материальной точки. Иа правую часть этого уравнения формально можно смотреть как на некоторую «силу», действующую на материальную точку в движущейся системе отсчета. Таким образом, в каждой системе отсчета сила определяется как вектор, равный произведению массы материальной точки на ее ускорение в этой системе отсчета.
Не обязательно, чтобы «сила» в таком смысле была результатом взаимодействия тел. Однако необходимо располагать какимто независимым способом, позволяющим выразить «снлу» через координаты и скорости движущейся точки. Только при этом условии мы в состоянии написать уравнение движения типа (63.7), а к этому в конце концов сводится реальное содержание законов механики. «Сила» л. — тао слагается из двух существенно различных составляющих.
Первая составляющая Р есть «настоящая сила» в том смысле, что она является результатом взаимодействия тел. Она зависит только от разностей координат и разностей скоростей взаимодействующих материальных точек. В нерелятивистской кинематике все эти разности не меняются при переходе от одной системы отсчета к другой, произвольно движущейся системе. Поэтому не меняется и сила Р. Она инвариантна относительно такого перехода. Совсем иной характер имеет составляющая — та,. Эта составлякяцая вознинает не из-за взаимодействия тел, а из-за ускоренного движения системы отсчета. Оиа называется силой ингур)ии, зза ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТ.
НЕИНЕРЦ. СИСТЕМ ОТСЧЕТА 1ГЛ, 1Х точнее поступательной силой инерции, поскольку сейчас мы ограничиваемся лишь поступательными движениями систем отсчета. При переходе к другой ускоренной системе отсчета меняются н силы инерции, Онн не инвариантны относительно такого перехода. Этим силы инерции отличаются от «настоящих сил», возникающих при взаимодействии тел.
Второе отличие состоит в том, что силы инерции не подчиняются закону равенства действия и противодействия. Если на какое-либо тело действует сила инерции, то не существует противодействующей силы, приложенной к другому телу. Движение тел под действием снл инерции аналогично, таким образом, движению во внешних силовых полях. Силы инерции всегда являются внешними по втношеншо к любой движущейся системе материальных п1ел. 5. Реальны или фиктивны силы инерции? Ответ на этот вопрос зависит от смысла, который вкладывается в слова «реальный» и «фиктивный».
Если придерживаться ньютоновской механики, согласно которой все силы должны быть результатом взаимодействия тел, то на силы инерции надо смотреть как на фиктивные силы, исчезающие в инерцнальных системах отсчета. Однако такая точка зрения не обязательна. Все взаимодействия осуществляются посредством силовых полей и передаются с конечными скоростями. И на силы инерции можно смотреть как на действия, которым подвергаются тела со стороны каких-то реальных силовых полей. Правда, эти поля определенным образом преобразуются при переходе от рассматриваемой системы отсчета к другой системе, движущейся относительно нее ускоренно.
Но это не является основанием считать эти силы фиктивными. Ведь электрические и магнитные силы также преобразуются при переходе к другой системе отсчета (даже от инерциальной к инерциальной). И тем пе менее никто не сомневается в реальном существовании электромагнитных полей. Е!езавнсимо от того, какую из этих точек зрения мы примем, сущесгвует много явлений, которые могут быть интерпретированы как проявление сил инерции. Когда поезд набирает скорость, пассажир в вагоне испытывает действие силы, направленной против движения поезда. Если пассажир сидит по ходу поезда, то эта сила прижимает его к спинке сиденья. Это и есть сила инерции.
При торможении поезда сила инерции меняет направление и стремится отделить тело пассажира от стенки сиденья. Если в ускоренно движущемся вагоне висит маятник, то сила инерции стремится отклонить его в сторону, противоположную ускорению. В состоянии равновесия сила инерции уравновешивается силами тяжести и натяжением нити подвеса. Особо заметно проявляются силы инерции при внезапном быстром торможении поезда.
Силы инерции вызывают перегрузки, действующие на летчика или космонавта при больших ускорениях самолета илн при запуске и торможении космического корабля. ПРОИЗВОЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА ззт » 641 Конечно, все эти явления можно понять, не пользуясь представлением о силах инерции, а рассматривая движения относительно инерцнальиой системы отсчета. Так, в примере с маятником маятник движется ускоренно относительно инерциальной системы отсчета. Маятник должен отклониться назад, чтобы возникла сила натяжения с горизонтальной составляющей, направленной вперед.
Эта составляющая и сообшает маятнику ускорение. Однако во многих случаях бывает проще рассматривать явления непосредственно в движущейся системе отсчета, не переходя к инерциальной. Кроме того, иногда затруднительно разделить полную силу, действующую в неинерциальной системе отсчета, на <реальную» силу, возникающую из-за взаимодействия тел, и «фиктивную» силу инерции, связанную с ускоренным движением системы отсчета.
й 64. Силы инерции при произвольном ускоренном движении системы отсчета 1. Допустим теперь, что система отсчета 5 (см. рис. 182) движется относительно неподвижной системы 84 соверп4енно произвольно. Это движение можно разложить на два: пост11пательное движение со скоростью Т4„равной скорости движения начала координат О, и вращап4гльное движение вокруг мгновенной оси, проходящей через это начало. Угловую скорость этого вращения обозначим ь». Она может меняться как по величине, так и по направлению. Пусть 1, ~, 1г — единичные векторы (орты) координатных осей системы координат 5, которую мы будем предполагать прямоугольной. Длины этих векторов, поскольку они единичные, остаются неизменными.
Но их направления с течением времени могут изменяться. Это — переменные векторы. Каждый из них вращается с угловой скоростью ь». Их производные по времени определяются формулами (46.1!). Выпишем эти формулы еще раз: -„~ = [ь»11, .~ = [ЫЯ, „= [в«1<1. Ход рассуждений остается в точности таким же, как и в предыдущем параграфе. Усложняются только вычисления. Формулы (63.2), (63.3) и (63.4), разумеется, остаются без изменения.
Остается неизменной и интерпретация слагаемых 1«» и 1«». Первое есть абсолютная скорость п„а второе — абсолютное ускорение а« начала координат О. Меняются только слагаемые х и г, которые мы и должны найти. 2. Пусть х, 14, г — координаты движущейся точки М в движущейся системе Э. Тогда х= х)+у~'+ г)г. (64.2) заа движение ОтнОсит. неинерп. систем отсчвтл тгл. ~х Дифференцируя это выражение, получим Г ='Хо+ Ц)+ гй)+~х +У +2 В первой скобке дифференцируются только координаты х, д, г, как если бы единичные векторы г, ~', й, а с ними и система отсчета 5 были неподвижными. Такую операцию должен был бы выполнить наблюдатель, покоящийся в системе 5, если бы он поставил перед собой задачу найти скорость точки М в этой системе, т.
е. НО нашей терминологии относительную скорость и „. Таким образом, И~~о — — хо + я+ гй. (64.3) Используя далее формулы (64.1), получим х ~ + у -- + г = х [т]+ р [аоЯ + 2 [бой] = [то (хг+у/+ гй)] = [боГ]. су е(( ета Таким образом Г = о„„+ [оРГ]. Окончательно для абсолютной скорости можно Фебе = Эоео+ обере т. е. выражение, совпадающее с (63.5). Однако скорость дается выражением (64.4) написать (64.5) теперь переносная где (64.8) а„„= хг+ Я/+ гй. Ф ер = тео+ [отГ]. Эта величина есть абсолютная скорость, которую имела бы точка М, если бы она покоилась в движущейся системе отсчета 5.
Поэтомуто она и называется переносной скоростью. Переносная скорость слагается из двух частей: скорости оо, с которой движется начало координат О, и скорости (ооГ), возникающей из-за вращения системы 5 вокруг этого начала, 3. Несколько сложнее обстоит дело с абсолютным ускорением. Для вычисления абсолютного ускорения продифференцируем выражение (64.5) по времени. С учетом соотношения (64.6) находим а.б — = О б =Об +Оо+[ОЗЕ1+[баГ!. Производная те,„, найдется дифференцированием выражения (64.3).
При этом, разумеется, надо диффе[оенцировать не только компоненты относительной скорости х, у, г, но и координатные орты г, т', й. Зто делается в точности так же, как и дифференцирование выражения (64.2). Поэтому по аналогии с формулой (64.4) можно написать Е.,„= а.,„+ [ып.,о], (64.7) $64) ПРОИЗВОЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА ззй Последнее выражение дает относительное ускорение. Для его нахождения надо дважды дифференцировать координаты х, у, г, считая координатные орты т',.7', Ф неподвижными.
Именно так поступал бы наблюдатель, изучающий движение относительно системы отсчета 5 и не подозревающий о ее движении. Потому-то величина (64.8) и называется относительным ускорением. Слагаемое !вг! преобразуем, подставив н него выражение (64.6) для г: [в'1=[ -1+[ [ И Окончательно для абсолютного ускорения найдем ами = а„„+2 [вт4„„!+ О,+ [в [вг!!+ [вг!. (64.9) Этому результату можно придать вид (64.10) аабс = аотн + акр+ аждар где а„= 2 [ве„„), а„,р — — ер+ [в [вг11+ [вг!. (64.11) (64.12) Вектор а„,р зависит только от движения системы отсчета 5 относи~ельно неподвижной системы 5,. Только такое ускорение испытывала бы точка, если бы она покоилась в системе 5.
Поэтому вектор а„,р называется переносным ускорением. Наконец, слагаемое а„,р —— - 2 (ве,т„! зависит как от относительного, так и от переносного движений. Оно называется кориолисоеым ускорением по имени французского ученого Кориолиса (1792 — 1843), который впервые ввел это понятие в механику. Равенство (64.10) вместе с Выражениями для отдельных слагаемых, стоящих в его правой части, выражает так называемую теорему Кориолиса.
Согласно этой теореме абсолютное ускорение яшлется векторной суммой относительного, кориолисоеа и переносного ускорений. Исследуем структуру переносного ускорения. Для этого воспользуемся формулой (64.12). Слагаемое юр есть переносное ускорение, вызванное поступательным ускоренным движением системы 5, тождественным с движением начала координат О. Остальные два слагаемых вызываются вращением системы 5.
Из них !вр! есть часть переносного ускорения, вызванная неравномерностью вращения. Прн равномерном вращении (в = сопз1) это слагаемое пропадает. Другое слагаемое !в!вг)), обозначаемое в дальнейшем а„, есть центростремительное ускорение, направленное к мгновенной оси вращения. Действительно, представим радиус-вектор в виде р = р л + пю где г„и гь — компоненты этого радиуса-вектора, 34О движвнив относит. няинярц. систем отсчвтл [гл. гх направленные вдоль оси вращения и перпендикулярно к ней соответственно. Так как [еаза[ = О, то ап = [е [ег]] = [е[ет Д. Раскрыв по известной формуле двойное векторное произведение и приняв во внимание, что (ет'3) = О, получим ан = — езгь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
