Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Таким образом, формула (55,2) оказалась точной, Этого и следовало ожидать, так как в соответствии с основными положениями механики Ньютона ускорение планеты должно определяться только взаим- и ным расположением Солнца и планеты и не может зависеть от вида траектории н ска- д рости планеты. По той же причине фор- е >) Р 7г мула (56.6) может служить и для вычисления ускорений комет, хотя третий закон Кеплера для них и не имеет смысла. В этом случае численное значение постоянной ейГ будет тем же самым, но она не мо- рис. 177.
жег быть выражена через параметры орбиты кометы формулами, аналогичными (55.!). 4. Движение по параболе можно рассматривать как предельный случай движения по эллипсу, один из фокусов которого удален в бесконечность. Движе. ние по гиперболе нуждается, однако, в некоторых пояснениях. Гипербола состоит из двух не связанных между собою ветвей.
Чтобы обе ветви представлялись единым уравнением (56.3), надо допустит>ч чтобы расстояние г могло принимать не только положительные, но н отрацательньи значения. Пусть б — уюл, определяемый условием соз б = 1/е. Он определяет направления аоилттот гиперболы (рис.
177). Если ( ц> ( > 6, ю г положительно. Этому соответствует правая ветвь гиперболы. Если же ~ ц> ~ ( 6, то г отрицательно. Тогда точку кривой надо искать не в направлении полупрямой, проведенной под углом ц>, а в прямо противоположном направлении. Получится левая ветвь гиперболы. Конечно, движущаяся точка не может перескочить с одной ветви гиперболы на другую, Если на нее действует сила притяжения, то траектория должна быть обращена вогнутостью к силовому центру. Например, если силовой центр (Солнце) находится в фокусе г>, то возможно движение только по правой ветви гиперболы. Однако чтобы подметить общие закономерности движений по коническим сечениям, а не только по эллипсам, имеет смысл чисто формально ввести вспомогательную материальную точку, движущуюся по левой ветви гиперболы под действием силы отталкивания, исходящей из того же силового центра Ьн Потенциальная энергия вспомогательной точки представляется выражением (l 314 тяГОтение 1гл.
уп< Ми< =+ 6 —,, Она положительна, поскольку силы являются силами отталкива. ния. Но так как на левой ветви гиперболы величины г отрицательны, то это Мт выражение можно записать в виде с< = — 6 —. Эта формула в точности саапаг дает с формулой, которой выражается потенциальная энергия действительной точки, движущейся па правой ветви гиперболы. Поэтому если энергия и момент количества движения вспомогательной точки относительно фокуса Р< равны соответствующим величинам для действительной точки, то днижения обеих точек будут описываться одних<и и теми иге уравнениями. В математи <вских же расчетах имеет значение не то, что движется, а то, какими уравнениями движение описывается. Формально математически дело происходит так, как если бы имелась всего одна материальная точка, обладающая способностью перескакивать с одной ветни гиперболы на другую.
Целесообразность такого искусственного подхода будет проиллюстрирована на одном примере в й 58. Гравитационных сил отталкинания не существует. Но умозрительно их вводить можно. Кроме того, силы отталкивания возникают при электрических взаимодействиях одноименно заряженных частиц. Они, как и силы тяготения, убывают обратно пропорционально квкдрату расстояния. Поэтому движение под действием сил отталкивания представляет не только умозрительный, но и физический интерес. й 57.
Условия эллиптического, параболического и гиперболического движений 1. Когда траектория эллиптическая, движение планеты финитно, т. е. планета движется в ограниченной области пространства, не уходя в бесконечность. Напротив, в случае гиперболических и параболических траекторий движение инфинитно — движение планеты не стеснено определенной областью пространства, она может удаляться в бесконечность. Таким образом, задача сводится к нахождению условий финитности и инфинитности движения планеты. Если Š— полная энергия планеты, то тих М <и — — б — = Е = — сопз(. 2 (57.!) Кинетическую энергию Солнца мы не учитываем, считая, что она пренебрежимо мала по сравнению с кинетической энергией планеты.
Это справедливо ввиду малости массы планеты по сравнению с массой Солнца. Аналогично, если Ь вЂ” момент импульса планеты относительно Солнца, то тг'<р = Е = сопз!. (57.2) Исключим из этих уравнений угловую скорость <р. С этой целью разложим полную скорость о на радиальную составляющую о, и азимутальную составляющую г<р.
Тогда ищл <и л и< л.в и< — = -- о',+ — -г'<р = — — о,'+— 2 2 2 2 2тг' ' и уравнение (57.!) примет вид -- о) — 6 — + —,, =Е=сопз!. (57.3) » 57ь ДВИЖЕНИЯ ПО ЭЛЛИПСУ, ПАРАБОЛЕ И ГИПЕРБОЛЕ 315 Это уравнение содержит только одну неизвестную — радиальную скорость о,. Формально оно может рассматриваться как уравнение энергии для одномерного — радиального — движения точки. Роль потенциальной энергии играет функция Мвь «+ 2ььь«» ' 2.
Задача свелась к нахождению условий финитности и инфинитиости одномерного движения с потенциальной энергией У(«). Этот вопрос был исследован в 2 25. Наиболее удобен для решения задачи графический метод. На рис. 178 пунктирные кривые представляют соответственно графики функций Мт Уь («) = — 6— г ьь 2м«' ' причем предполагается, что е г Е чь О. Интересуюшая иас кривая 1' («) найдется сложением ординат этих двух графиков. При «-~ О функция У, («) быстрее стремится к бесконечности, чем функция У, («).
Поэтому при малых «функция У («) =- 1', («) + + У, («) положительна и асимптотически стремится к + Оо, когда « - О, Наоборот, при « - сО функция Уь («) медленнее приближается к нулю, чем У, («). Поэтому при больших «функция У («) отрицательна и асимптотически приближается к нулю, когда «-» ОО. График этой функции представлен на рис.
178 сплошной линией. Кривая 1«(«) имеет вид «потенциальной ямы». Если Е = О, то У («) = У, («), минимум на кривой смещается в начало координат и уходит в — Оь. Это соответствует случаю, когда планета движется вдоль прямой, проходящей через центр Солнца. Так как величина ь,ь, тоь не может быть отрицательной, то из уравнения (5?.3) следует, что область, в которой может находиться планета, определяется условием У («) =- Е. Проведем горизонтальную прямую У = Е = — сопз1. Участки кривой У («), лежащие выше этой прямой, соответствуют точкам пространства, которые не могут быть достигнуты планетой с энергией Е.
Если Е ( О, то указанная прямая пересечет кривую У = У («) в двух точках А и В. Пусть А' и В' — их проекции на горизонтальнуюось. Планета может совершать движение только в области между А' и В', в[а ТЯГОТЕНИЕ [ГЛ. Ч1П Е= — о »1 2 Отсюда следует, что при гиперболическом движении материальная точка приходит в бесконечность с конечной скоростью о, при параболическом движении — с нулевой скоростью. Начальная скорость о„, которую надо сообщить материальной точке, чтобы она стала двигаться по параболе, называется параболической скоростью.
Параболическую скорость можно определить из уравнения (57.1), подставив в него Е = О. Если г, — начальное значение радиусаг, то откуда о„= )/ 26— (57.5) Параболическая скорость связана простым соотнощением с «круговой» скоростью о„. Так называется скорость, которой должна обладать планета, чтобы под действием гравитационной силы Солнца двигаться вокруг него по кругу радиуса г,. Она найдется, если центростремительное ускорение о,'-'/г, приравнять гравита- М ционной силе Π—,, действующей на единицу массы. Это дает го (57.6) Таким образом, с„=с„)г 2.
(57.7) она будет «локализована в потенциальной яме» (Г = У (г). В этом случае движение планеты финитно, и траектория будет эллиптической, Если Е ) О, то прямая пересечет кривую [г (г) только в одной точке С, проекцией которой на горизонтальную ось является точка С'. Если планета двигалась справа налево, то в точке С' она переменит направление движения на противоположное и начнет двигаться вправо, монотонно удаляясь в бесконечность. Ее движение инфинитно, а траектория — гиперболическая. Наконец, при Е = О движение также инфинитио. Этому промежуточному случаю между эллиптическим и гиперболическим движениями соответствует движение по параболе.
Таким образом, при Е ) О движение гиперболическое, при Е - Π— эллиптическое, при Е = Π— параболическое. В случае сил отталкивания энергия Е всегда положшпельна, а потому движение в этом случае всегда гиперболическое (в частности, прямолинейное). Так как при г — ~- оо функция [г(г) обращается в нуль, то (57.4) Э!7 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОРБИТЫ ЗАДАЧИ э аа] 8 58. Вычисление параметров орбиты !. Длины большой и малой осей эллиптической орбиты планеты можно рассчитать с помощью законов сохранения энергии и момента импульса. В перигелии Р и в офелии А (рис.
!79) радиальная скорость планеты равна нулю. Поэтому, полагая в уравнении (57.3) ог = О, получим для этих точек «'+ 6 — г — — = О. Мш Ез Е 2шЕ (58А) При Е О это квадратное уравнение имеет два вещественных положительных корня г, и «,. Один из корней соответствует пери- гелию Р, другой — афелию А.
Сумма корней г, + г, дает длину большой оси эллипса. Пользуясь для этой длины стандартным обозначением 2а, получим 2а = г, + г, = — 6 — = — 6 —, (58.2) Р Мш М Е в д где е = Е!т — полная энергия, приходящаяся на единицу массы планеты. Так как для движения по эллипсу в - О, то выражение (58,2) существенно поРис. 179. ложительно, как это и должно быть.
Круговые траектории являются вырожденными случаями эллиптических. Условие движения по круговой орбите найдется из уравнения (58.2), если в нем положить «, = г, = г. Тогда полуМш чится 2Е = — 6 —, или 2Е = (7. Записав это в виде Е = (7 — Е г и воспользовавшись соотношением Е = К + К получим (58.3) Таким образом, при круговом движении сумма полной и кинетиче- ской энергий равна нулю. Нетрудно показать, что это условие снова приводит к формуле (57.5). 1. Допустим, что в результате взрыва астероид, двигавшийся по круговой орбите вокруг Солнца, распался на два осколка одинаковой массы. Один осколок непосредственно после взрыва остановился, другой продолжал движение. По какой траектории будет двигаться второй осколок: эллиптической, гиперболической или параболической? О т в е т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
