Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 73
Текст из файла (страница 73)
(53.6) 1 ха+1 уз+1 гг 1 Е 1гх1! = — 1. (53.7) Тензор инерции приводится к диагональному виду 1 0 0 0 1„0 0 0 1е, (53.8) причем диагональные элементы тензора мы обозначили с помощью одного индекса. Второй индекс в системе главных осей эллипсоида инерции опущен как излишний. Твним образом, для всякого твердого тела, где бы ни было выбрано начало координат О, существуют гари взаимно перпендикулярные оси, совпадающие с главными осями эллилсоида инерции тела относительно точки О, для которых нгдиатнальные элементы тензора инерции обращаются е нуль. Эти оси называются также г тонами осями тензора инерции.
Они, очевидно, жестко связаны с телом. Точно так же жестко связан с твердым телом и эллипсоид инерции. Если известно положение эллипсоида инерции, то в тот же момент будет изнестно и положение вгего тела. Поэтому задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки сводится к задаче о вращении его эллнпсоида инерции вокруг той же точки.
Этим воспользовался Пуансо (1777 — 1859) для наглядной геометрической интерпретапии иращения твердого тела вокруг неподвижной тачки. Она будет рассмотрена в следующем параграфе. Главные осн центрального эллипсоида инерции называют также глазными осчми самого тела.
Направление главных осей тела часто можно определить, пользуясь соображениями симметрии. Так, например„главные оси однородного прямоугольного параллелепипеда парачлельны его ребрам, Если тело обладает симметрией вращения вокруг некоторой оси, то его эллипсоид инерции обладает тэкой же симметрией. К телам такого рода относится, например, цилиндр. В этом случае моменты инерции тела относительно нсех осей, перпендикулярных к оси симметрии, одинаковы. Одной из главных осей тела является его ось симметрии. Эта поверхность второго порядка, очевидно, является эллипсоидом, так как момент инерции 1, а с ним и длина радиуса-вектора г имеют конечйые значения, каково бы ни было направление оси э.
Она называется зллипсоидом инерции тела относительно точки О, являющейся его центром. При перемещении начала координат О относительна тела будет меняться и эллипсоид инерции тела. Если в качестве О взят центр масс тела, то соответствующий эллипсоид называется центральным. 3. Как и всякий тензор, тензор инерции зависит от выбора начала координат и направления координатных осей. При изменении координатной системы ме. няются и значения компонентов тензора инерции тела.
Существенно, однако, что какова бы ни была координатная система, всегда могут быть найдены все шесть номпоиентов тенаора инерции, хотя бы sо формулам (53.2). В частности, координатные оси можно направить вдоль главных осей эллипсоида инерции. В этой координатной системе в уравнении (53.5) пропадиот члены, содержащие произведения координат, и это уравнение примет вид МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. НН Всякая прямая, к пей перпендикулярная, также будет главной осью тела. Таким образом, существует бесконечное множество троек взаимно перпендикулярных главных осей тела, у которых одна ось, а именно ось симметрии, будет общей. Для шара эллипсоиды инерции относительно всех осей, проходящих через центр шара, одинаковы.
В этом случае любая ось будет главной осью тела. Для динамики вращательного движения твердого тела существенна симметия не самого тела, а симметрия соответствующего ему эллипсоида инерции. се тела с одинаковыми зллююоидани инерции динамически эквившггнтны. Чтобы эллипсоид инерции обладал симметрией вращения, не обязательно, чтобы само тело обладало той же симметрией. Возьмем, например, однородный параллелепипед с квадратным основанием. Поместим начало координат О в любой точке геометрической оси параллелепипеда.
Тогда нетрудно поназать, что эллипсоид инерции будет эллипсоидом вращения, ось симметрии которого совпадает с геометрической осью параллелепипеда. В динамическом отношении движение такого параллелепипеда описывается такими же уравнениями, что и движение однородного цилиндра. Если параллелепипед вырождается в куб, а начало координат помещено в его центре, то эллипсоид инерции вырождается в сферу. В динамическом отношении однородный куб ведет себя так же, как однородный шар.
Я. Допустим теперь, что твердое тело равномерно вращается вокруг закрепленной оси, например, оси, проходящей через неподвижные подшипники, Со стороны подшипников тело подвергается действию снл. Пусть это единственные внешние силы, действующие на тело. Их равнодействующая р найдется по теореме о движении центра масс. Она равна р оно г с где г — радиус.нектар центра масс тела, пронеденный от оси вращения перпен- С дикулярно к ней. Момент внешних сил относительно начала координат равен М= — ~ [гызг ) йт=ыз) [г г [йт. Примем ось вращения за координатную ось Х, тогда г = хг, ГА = у/+ гй. Учтя соотношения [(У[ = Ф, [гй] = — Г', получим М = ыа!' ) гх дт — ызй ) ху йт, или (Гхвй г гхл). Уберем подшипники н спросим себя, при каких условиях днижеиие тела не изменится, т.
е. останется вращением вокруг прежней оси Х. Для этого необходимо, чтобы х" = М =- О. Следоэательно, ось вращения должна проходить через центр масс и, кроме того, должно быть г,х = ! „== О. Последнее условие означает, что ось вращения должна быть однои из главных осей тела. Найденные условия являются и достаточными.
Это следует из того, что при их выполнении удаление подшипников не меняет уравнения движения центра масс и уравнения моментов относительно центра масс. Эти же уравнения (при заданных начальных условиях) однозначно определяют движение твердого тела. б. Итак, во всяком твердом теле сущсстауют три взаимно перпендикулярные оси, совпадающие с главными осями центрального вллипсоида инерции тела, вокруг которых тело может вращаться без воздействия внешних сил.
Такие оси называются поэтому свободными или перманентными осями вращения, Последним термином хотят подчеркнуть, что вращение твердого тела по инерции в отсутствие возмущений может продолжаться сколь угодно долго, Иное дело, будет ли это вращение устойчииым по отношению к малым возмущениям, с которыми в реальных условиях всегда надо считаться. Если при наличии таковых характер движения тела меняется мало, т, е. мгновенная ось вращения хотя и непрерывно цзменяет свое положение н теле и пространстве, но все время проходит очень близко от соответствующей свободной оси, то вращение вокруг последней будет устойчивым, Если же сколь угодно малое возмущение существенно меняет ха- 1 В41 вилщвннп по ннвинии надул'и ндпОДвнжнОН тОЧКН 297 или короче— з Ел= ~ 14)го! (4=1, 2, 3).
(53. го» 1=! Таким образом, компоненты гектора моглента количестеа движения яелтотся линейными однороднымлг функциями комиоиешиое гектора угловой скорости. В системе главных осей формулы (53.9) упрощаются и принимают вид Е =уныл, ).у=)уы, (53. 11) Формулы ясно показывают, что в общем случае направления векторов й и ы не совпадают. Кинетическую энергию вращающегося твердого теяа легко найти по формуле (47.2). Она равна ! ! кчът К = — (3-") = — ХХ)голый = 2 =2 7.Л, (53.12) 9 54.
Вращение твердого тела по инерции вокруг неподвижной точки 1. Пуансо дал простую и наглядную интерпретацию движения твердогб тела по инерции вокруг неподвижной точки опоры О. С твердым телом связыватся его эллипсоид инерции с центром в точке опоры О. Движение тела заменяется дви>кением этого эллипсоида (см. предыдущий параграф, и. 3). В основе интерпретации Пуансо лежат три теоремы, которые мы и докажем. Для краткости рактер движения тела, т. е.
далеко уводит мгновенную ось от исходного напри. аления, вокруг которого первоначально вращалось тело, то это вращение называется неустойчивым. В следующем параграфе будет покааано, что вращение вокруг оси с наибольшим или наименьшим моментом инерции является устойчивым, а вращение вокруг оси с лромежуиииным значением момента инерции— неустойчивым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
