Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Вообще, для устойчи/ ности гироскопа необходимо выполне- / ние условия / П в"- — 4а//„соз в ) О. (52.14) / Это условие выполняется всегда, когда центр масс гироскопа лежит ниже я точки опоры. Если же центр масс расположен выше точки опоры, то гнроет скоп должен вращаться достатояно быстро. 0 Допустим, что условие (52.14] выРис. 168. полнено. Тогда квадратное уравнение (52.!2) имеет два вещественных корня. В этом случае регулярная прецессия возможна и притом не одна, а две. Прецессия, которой соответствует меньший по абсолютной величине корень уравнения (52.12), назынается медленной. Процессия, соответствующая другому корню, называется быстрой.
6. Допустим, что выполнено условно Пгое ~ ] 4и/1 ! соз и ' . Тогда для квадратного корня в формуле (52.13) можно написать приближенно 4а/1 соз а Нз 2аГ1, сова 1в 1 — — ~ — 1в и ' 1'.'в', ) н и 1ИьзИ В резульгате получится ар ()ьехл 1 Ивд аыетР (52. 15) (52.16) Формула (52.15) совпадает с йюрмулой (50,4), к которой приводит приближенная теория гироскопа. Таким образом, регулярная прецессия, о которой говорится /' = т)Т.
За положительное направление вектора() примем направление вверх„ т. е. направление, противоположное силе Р (см. рис. 168). Ответ на поставленный вопрос легко получить из уравнения (52.!1). Для этого спроектируем уравнение (52.11) на направление вектора /', . Вершина гироскопа при регулярной прецессии движется со скоростью з = ((Гз] и ускорением з — — — яег, где/ — радиус-вектор, проведенный от оси прецессионного вращения к вершине гироскопа (г.= з з!п и = =- вп а, причем и означает угол между осью фигуры гироскопа н вертикальным направлением). Взяв от ускорения з его составляющую, перпендикулярную к осн фигуры, и выполнив указанное проектирование, получим после сокращения на 51п я: МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ.
УЗ1 в приближенной теории, есть медленная лрелессия. Угловая скорость быстрой прецессии, как видно из формулы (52.16), по порядку величины совпадает с ю Здесь не выполнено основное условие применимости приблизкеиной теории а' ю ~~ ы . Поэтому быструю прецессию нельзя рассматривать в рамках приблиа' женной теории. Регулярная прецессия свободного гироскопа, рассмотренная в 8 49, есть частный случай быстрой прецессии, при котором Р = О. 7. Для того чтобы у читателя не сложилось впечатления, что быстрая прецессия является каким-то чисто умозрительным явлением, рассмотрим тривиальный пример конического маятника, когда ы =- О и ни о каких гироскопических Н эффектах говорить не приходится. Разумеется, в этом случае центр масс должен лежать ниже точки падвеса.
Поэтому угол и целесообразно заменить дополнительным углом () =- п — и, который ось маятника образует с вертикалью, направ ленной вниз. Формула (52.13) переходит в т. е. в известную формулу для круговой частоты конического маятника. 8. Регулярная процессия, как медленная, так и быстрая, является весьма специальным частным случаем движения вершины гироскопа, реализующимся при вполне определенных начзльных условиях. Для исследования общего случая в уравнении (52.7) сделаем замеву з = и„+ пн, Вектор о„определим из условия [Мз]+ 1 оз [зп) = О.
Тогда 11 (э)1 = 1тща [эпв). Величина п„есть скорость вершины гироскопа, с которой она двигалась бы, если бы совершала медленную регулярную прецессню. (Вторая слагающая скорости о„будет описывать нутацию.) Если пренебречь ускорением при такой прецессии, то э = па, а потому 1, о„=1цы, [зон[, (52.17) 1 ()„г !йа1ьгьг, откуда 'и Йа = -! — И)9 (52.18) Таким образом, в общем случае на медленное прецессионное движение вершины гироскопа накладывается равномерное круговое движение с круговой частотой ()н, определяемой уравнением (52.18). Радиус кругового движения равен г = оа о„ 1 †'-'- = †" †. В результате такого наложения траектория вершины гироскопа может быть либо циклоидального типа (рнс.
169, б), либо петлеобразного (рнс. 169, а), либо она будет напоминать синусоиду (рис. 169, в). Какой нз этих случаев осуществляется в каждом конкретном случае, зависит от начальных условий, т. е, от положения вершины гироскопа в начальный момент времени и причем мы опустили у п„значок щ так как слагающня ускореняя вдоль оси фигуры гироскопа сейчас не представляет интереса, и от нее можно отвлечься. Если на правую часть уравнения (52.17) смотреть как на аналог силы, то эта сила будет перпендикулярна к скорости ею а потому она не может производить работы. Поэтому величива скорости ен меняться не может, и уравнение (52.17) описывает равномерное движение по окружности. Если г — радиус такой окружности, а 42а — УглоВаЯ скоРость вРащениЯ, то о„= ()аг, ) П„) = ()заг.
ПРи этом ввндУ перпендикулярности между х и п„из уравнения (52.17) получается б бя1 ОСНОВЪ! ТОЧНОЙ ТЕОРИИ СИММЕТРИЧНОГО ГИРОСКОПА 293 скорости, которая ей была сообщена в тот же момент, Наложением кругового движения на медленную прецессию и объясняются нршачии, о которых говорилось в б 50. Радиус кругового движения и есть не что иное как амплит>да нутационных колебаний. При и = 0 нутаций не будет, и движение вершины перейдет в регулярную прецессию.
П р им е р. В авиагоризонте, рассмотренном в примере б 50, 11= з(з7, и Число нутаций на один прецесснонвый оборот равно г(= —" — — — — =4,77 10э. () 7!. ы1, и Х "и Если начальная скорость вершины гироскопа равна нулю, то пи+ о„= О, а потому г = ои(!)и. Но ои = )1(1„, где )1 — радиус прецессии. Таким образом, г ()и 1 1 Ь' !)и Л' 4,77 !04 ' Зтот пример наглядно показывает, насколько мелким и частым дрожанием являются нутации в быстро вращающихся технических гироскопах. э) Рис. 169.
9. В заключение рассмотрим, как можно качественно объяснить характер траектории вершины гироскопа при наличии нутаций. Мы исходим непосредственно из уравнения движения вершины (52.11). Пусть на рис. 169 ось фигуры гироскопа своим положительным концом направлена в сторону читателя. Пусть в начальный момент времени вершина неподвижна и занимает положение А, (см. рис. 169, б). В этот момент скорость з, а потому и отклоняющая сила! ю (зз) и и равны нулю. Под действием силы тяжести вершина получает скорость, направленную вниз.
Но тогда появляется и боковая отклоняющая сила. Она начинает загибать траекторию вершины влево (если, встав на плоскость рисунка, идти в сторону движения). В положении Вг скорость вершины становится горизонтальной, а отклоняющая сила — вертикальной. По величине отклоняющая сила превосходит силу веса, и вершина гироскопа начинает подвнматься. В верхнем положении Аи скорость вершины обращается в нуль. Зто непосредственно следует нз уравнения энергии, которому формалъно под чиняется движение вершины. Затем движение неограниченно повторяется. Получается траектория цнклоидального типа.
Траектория с петлями (рис. 169, а) получится, если в начальный момент сообпгить вершине скорость в направлении против прецессии. Если же начальная скорость сообщена в направлении прецессии, то получится траектория типа рис. 169, в. В последнем случае скорость можно подобрать такой, что возник. нет регулярная прецесскя без нутаций. (гл. ун механика твврдого твлд В 53. Тенэор и эллипсоид инерции 1. Вычислим момент инерции 1 твердого тела относительно произвольной оси ОА (рис. 170). Без ущерба для общности можно принять, что ось проходит через начало координат О. Координаты будем обозначать либо х, у, г, либо х,, х„ха.
Таким образом, х, =: х, ха:-у, ха.: — г. Разложим радиус-вектор г элемента массы тела г(т на составляющие вдоль оси ОА и перпендикулярную к ней: г = г + г3 . По определению з момента инерции ут 1 -, Г гг гйп — Г (гз гх) Ит, 1 Если з — единичный нектар вдоль оси ОА, то г =(гз) = = хзх -! Угу+ гу,. Кране того, гг =- хг+ уз+ г'. Учтя эти соотаошения, а также саопюшение з'-„'+ з„'+ з' =- 1, получим 1=! за+1,,за+1,зг+21х гг.у +21,гз з.+21 тз,з Рис.
170. ххл гуу ахг (53. 1) 1,„ == 1хг — постоянные, определяемые (53.2) Для этих постоянных будем пользоваться также обозначениями 1ы 1 г, - 1гз. Величины ! „., !уу, 1аю очевидно, имеют смысл моментов инерции тела относительно коордйнатиых осей Х, У, 2 соответственно. Совокугшость девяти величин 1 ух 1ху 1хг 1ух 1уу 1уг 1гх 1гу 1т (53.3) иззывают тгнзарам инерции тула относительно точки О, а сами эти величины— кампангкпшми зтага тгкзара *). Тензар инерции симлмтр!гчск, т.
е. 1,! —— - 1т, Поэтому он полностью определяется заданием шести иом!юнентов. Формулу (53.1) можно записать в более краткой и симметричной форме: з з 1 ~Д ~~ 1; а!аг. (53. 4) г=! 1=1 Если известны для какой-либо координатной системы все шесть компонентов теизора инерции, то по формуле (53.1) нли (53.4) можно вычислить момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через начало координат О.
Момент инерции относительно нсякой другой оси, не проходящей через начало координат, ногино вычислить с помощью теоремы Гюйгенса — Штайнера. 2. Формула (53.4) допускает иаглндную геометрическую интерпретацию. Через начало координат О будем проводить прямые во всевозможных направлениях *) Тензором вообще называют упорядоченную совокупность девяти величин, заданную в каждой системс координат, причем при повороте координатных осей эти величины преобразуются как произведения компонентов двух векторов, где ! „, 1уу, 1гю 1х„ == !у„ !уг --ж 1,у, выражениями 1 х = ~ (У + г ) '!"! 1уу =((аз+ха) дт, 1„=) (ха+у') г(т, ! „1,м ) ху!(т, 1у, —— — 1,у — — ) уг дт, !гх = 1хг = 295 тензОР и эллипсОид инеРции и нз них откладывать отрезки длиной г == 11)г 1. Геометрическим местом концов таких отрезков будет некоторая поверхность.
11апдем ес уравнение. Согласно построению радиус-вектор точки, лежащей на этой поверхности, определяется выражением г = э,')1 1, а координаты той же точни — х; = зд) 1. Исключая с помощью этих соотношений величины е! из (5ЗА), получим уравнение искомой поверхности ЕЕ 1; хх =1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
