Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Маятником служит тяжелая дуга 14, плоскость котоРой перпендикулярна к плоскости внутРеннего кольца, а значит, параллельна плоскости маховичка гироскопа (рис. 163). Г!ринцип действия прибора чрезвычайно прост. Допустим, что ось наружного кольца 0'0 ) станоилена вертикально, а плоскость внутреннего кольца вместе с осью гироскопа А'А — горизонтально. В этом положении на гироскоп не действуют никакие моменты сил. Ось фигуры гироскопа А'А, если ее напраиить на какую-либо заезду, начнет двигаться вместе с ней. Допустим, что ось фигуры гироскопа отклонена от полуденной линии, например, к востоку (рис.
164). Звезда, на которую направлена зта ось, будет подниматься. Вместе с ней начнет подниматься и положитель. ный конец оси фигуры гироскопа А. Но тогда начнет поаорачиааться вокруг оси В'В и дуга й. Момент силы тяжести кольца М относительно точки О будет стремиться опустить точку А и вызовет прецессию гироскопа вокруг вертикальной оси В'О, в результате которой ось фигуры гироскопа будет поворачиваться к полуденной линии, стремясь установиться одноименно параллельно с ней.
То же самое произойдет, если первоначально положительный конец оси фигуры А был отклонен от полуденной линии к западу. 10. В заключение рассмотрим идею однорельсовой железной дороги, Вагон, катящийся по одному рельсу, неустойчив. Для стабилизации его движения можно применить массивный гироскоп с тремя степеннми свободы, установленный внутри 288 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 1Гл. чн вагона, как указано па рис. 165, а. Роль наружного кольца карданова подвеса выполняют стенки вагона. ))опустим, что вагон накренился вправо. Сила тяжести еще бел~ шс будет стремиться опрокинуть вагон в ту же сторону. Оиа создает вращающий момент, направленный за плоскость рисунка параллелг но продольной оси вагона.
Через подшипники этот момент передастся гироскопу. Гироскоп начнет прецесснровать, что вызовет наклон внутренней рамы (рис. 165, б). Если а) Рис. 165. каким-либо способом ускорить эту прецсссию, ю возрастет вращающий момент сил противодействия со сюроны гироскопа (см. ьз 50, пп. 9 и 10). Центр тюкссти вагона начнет подниматься, и вагон вернется в вертикальное положение. Такое вынужденное ускорение прецессионного движения рамы должно выполняться автоматически. В устройстве соответствующего автомата и заключается вся трудность практического осуществления идеи однорельсоаой дороги.
й 52. Основы точной теории симметричного гироскопа ео (52.!) 1. Точная теория симметричного гироскопа учитывает различие направлений мгновенной осв вращения, оси фигуры и момента импульса гироскопа относительно его точки опоры. Опа справедлива при любых соотношениях между угловыь~и скоростями о~ и ы,, с которыми гироскоп вращаетсв вокруг оси своей фигуры и перпендикулярной к ней оз х л оси. Однако наиболее важные гироскопические эффекты, которым гироскоп обвзав сноими научными и техническими применениями, проявляются лишь при соблюдении условия «й )) ы~.
Отложим от точки опоры О в положительном направлении оси фигуры гироскопа единичный нектар в грнс. 166). Конечная точка Рис. 166. Рис. 167. этого вектора называется вершиной гироскопа. Производная з имеет смысл линейной скорости движения вершины гироскопа, а потому может быть представлена в виде з = — )ыз) =- )ю 'з). Три вектора з, еа! и з взаимно перпендикулярны н образуют правовинтовую систему, как указано на рнс. 167. Из этого рисунка видно, что ы) =- )зь). Поэтому к=)!ый+)хюь=)йыйз+)х Гзз)' З аз) ОСНОВЫ ТОЧНОЙ теОРИИ СиммеТРИЧНОГО ГИРОСКОПА 289 Подставив это выражение в уравнение (49.3), получим 1аю,з+ 1аы з+! [зз ] = М, (52.2) Зто — основное уравнение точной теории симметричного гироскопа. Его удобно разделить на два ураввення.
Первое уравнение получается иэ (52.2) скалярным умножением на з. С учетом соотношения (зз) = О такое умножение дает 1йюй=мГ, (52.3) где М ив в (Мз) — проекция вектора М на ось фигуры гироскопа. Второе уравне. ние найдем также из (52.2),но векторным умножением на з. Учитывая при этом тождество [з [зз]] = — з'з Ф (зз) з = — з+ (зз) з, получим !йюй [зз] — 1 „з -)-1 (за) з= [зМ]. Дифференцируя соотношение (зз) = О, найдем (зз) .Р з' = О, С учетом этого преобразуем последнее уравнение к виду 1х з = [Мз]+1(1ый [зз) — 1„з 3. (52.4) 1,з =7» где введено обозначение 1= [Мз]+!дыр [зз] — 1,ьдз.
(52.5) (52.6) В этом виде уравнение (52.5) формачьно совпадает с уравнением Ньютона. Роль массы играет величина 11, роль силы — вектор !. Вершина гироскопа движется по поверхности неподвижной сферы единичного радиуса з» = 1. Ее ускорение слагается иэ ускорения (з), направленного по касательной к этой сфере, и 3 « радиального, или центростремительного, ускорения (з)й = — — з = — з ю т, е. з = (з) — з«з.
Подставив это выражение в уравнение (52.5), видим, что центростремительное ускорение иэ него выпэдаст. Уравненнс принимает вид 1 (3) = [Мз]+19ю [зз1 (52.7) Следовательно, уравнение (52.5) нли эквивалентное ему уравнение (52.7) определяют не полное ускорение вершины гироскопа з, а только его составляющую (з)1 насательную к поверхности единичной сферы за = 1. Этого достаточно для нахождения движения вершины по начальным условиям (например, по начальному положению и началыюй скорости вершины гироскопа).
Действительно, движение вершины гироскопа аналогично движению не свободной, а связанной материальной точки, выну»кденной находиться на заданной поверхности.. Воображаемую материальную точку, масса которой равна 1 , помещенную в вершине гироскопа, мы иногда будем называть иэобраасаюл)ей точкой. На правую часть в уравнении (52.7) можно смотреть как на некоторую «силу», сообшающую ускорение изображаощей точке.
Первое слагаемое в втой «силе» связано 2. Уравнение (52,3) определяет изменение во времени угловой скорости вращения гироскопа ю1 вокруг оси фигуры. Оно совпадает с соответствующим уравпением вращения твердого тела вокруг закрепленной оси. Уравнение (52А) определяет ускорение з, с которым движется вершина гироскопа. Запишем его в виде МЕХАИИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА (ГЛ. ЧИ с действием реальных спл, возникающих при взаимодействиях гироскопа с окружающими телами.
Его мы будем называть реальной силой Усе»»л = [Мз! (52.8) Второе слагаемое 1 ы [зз! к взаимодействию тел не имеет отношения. Это есть а л фиктивная «сила», возникающая прн вращении гироскопа вокруг осн фигуры. Она называется отклоняющий силой: =. 1,ю [зз) (52.9) Отклоняющая сила отлична от нуля талька тогда, когда изобра»кающая точка движется. Она перпендикулярна как к оси фигуры гироскопа, так и к скороши движения изображающей точки. Эта сила стремится отклонить вершину гироскопа вбок от направления ее движения. Действиеи отклоняющей силы объясняются все характерные гироскопические эффекты.
Таким образом, основное уравнение движения симметричного гироскопа может быль записано в виде 1 х ( з) л =.Гр +У (52.10) 3. Приближенная теория гироскопа рассматривает такие дннжения его, при которых ускорением (з) ~ в уравнении (52.10) можно пренебречь. Действительно, в этом случае Урала+ латал = 0 или 1« ы,! [зз)+ [Мз) = О. Так как оба вектора з и М не имеют составляющих вдоль оси фигуры, то отсюда получаем 1,ы,з=М, а это и есть основное уравнение приближенной теории гироскопа.
4. К движению изображающей точки, поскольку оно описывается упавнением (52.10), формально можно применять все теоремы механики точки, например уравнение сохранения энергии. При этом надо только иметь в виду, что отклоняющая сила как перпендикулярная к скорости з работы не производит. Работа производится только реальной силой д' „,. 5.
На основе точного ураннения двйжелния симметричного гироскопа можно, конечно, исследовать движение свободного гироскопа. Поскольку, однако, относящиеся сюда результаты уже были получены в з 49, мы не будем заниматься этим исследованием, а рассмотрим на основе точной теории вынужденную прецес. ,сию и нутации симметричного гироскопа. Допустим, что действующая сила с постояана и приложена в одной из точек аси фигуры гироскопа (рис.
168). Радиус-вектор этой точки, проведенный ич ,точки опоры, обозначим а. Если точка опоры О не совпадает с центром масс гироскопа, то роль силы с" может выполнять вес самого гироскопа. Момент силы»и равен М = [ас! =[ас'! [, где с" с — слагающая этой силы, перпендикулярная к оси фигуры гироскопа. Следовательно, драла — — [Мз! = [[ас', ! з[ = п)сА, так как векторы а и з коллинеарны. Таким образом, уравнение (52.10) примет вид 1, (з),=ар„+1,!ы,[[зз!. (52. 1 1) Теперь поставим вопрос, можно ли вершине гироскопа сообщить такую начальную скорость, чтобы ана совершала регулярную прецессию, т. е. равномерно вращалась вокруг аси, параллельной направлению действующей силы с и проходящей через точку опоры гироскопа О.
Угловую скорость такого враше. ния обозначим (). Конкретно под силой с будем понимать вес самого гироскопа: У Эз! ОСНОВЫ ТОЧНОЙ ТЕОРИИ СИММЕТРИЧНОГО ГИРОСКОПА 291 1 ()зсемсс — 1 в,Г)+а/=О, И (52.12) откуда 1. в! .е- ]/ 1~1,в*, — 4а/1 з соз а ()— 21 „соз а (52.13) Если центр масс гироскопа лежит вылив точки опоры, то угол и — острый (см. рнс. 168). В этом случае при недостаточно быстром собственном вращении гироскопа подкоренное выражение в формуле (52,13) может оказаться отри- Я цательным. Тогда рассматриваемая аг регулярная прецессня становится невозможной, а положение гироскопа— неустойчивым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
