Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Для деллонстрацин можно взять картонную коробку прямоугольной формы, у которой длины всех трех ребер различны. Ось с наибольшим моментом инерции будет, очевидно, параллельна наиболее короткому ребру, с наименьшим моментом инерции — наиболее длинному ребру, с промежуточным— ребру промежуточной длины.
Коробку подбрасывают вверх, сообщая ей быстрое вращение вокруг одной из этих осей. Во время полета ось вращения сохраняется, ссли она является осью с наибольшим илн наименьшим моментом инерции. Если же первоначальное вращение было сообщено вокруг оси с промежуточным значением момента инерции, то мгновенная ось вращения во время полета коробки непрерывно качается, далеко уходя от первоначального направления в теле.
Двилкение коробки приобретает сложный и запутанный характер. 6. Допустим теперь, что твердое тело вращается вокруг какой-то закрепленной или мгновенной оси ОА с постоянной или непостоянной угловой скоростью м. Найдем его момент количества двллгкения Е опюсительно начала координат О, а также кинетическую энергию К. По определению А=1(ги) йт. подставим сюда в = (еэг) и воспользуемся формулой (г (мгВ = глм — (юг) г.
Тогда получим 7 = м ~ глйт — ~ (еэг1 г йт. В проекциях на координатные оси это соотношение записывается так: йх ~ххых+~хуыу+~хгюг йу )ухшх+)ууыу+)угыг (53.9) йг = йгхмх+ !.гуму+ 1-ггыг [ГЛ. УН МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА будем яазывать полюсом точку пересечения Р мгновенной оси с поверхностью эллипсоида инерции. Т е о р е и а !. Радиус.вектор, аждинлющий точку опоры О с полюсом Р, пропорционален мгновенной угловой скорости враи(гнил тела.
Прн доказательстве исходим вз уравнения энергии У й 1уыгщу = 2К == сопз1. ю Возьмем на мгновенной оси точку Я с радиусом-вектором г= .. Тогда из )г 2К уравнения энергии найдем, что координаты точки О должны удонлетворять уравнению 2 2 Уг)х;х1 = !. Это значит, что точка О лежит на поверхности эллнпсонда инерции. Д так как она лежит и яа мгновенной оси, то она совпадает с полюсом Р.
Итак, радиус-вектор полюса Р связан с вектором угловой скорости ш соотношением ю = ф 2Кг. Отсюда и следует доказываемая теорема. Т е о р е м а 2. Касательная плоскость к зллипгоиду инерции в тачке нахозгдгния полюса Р перпендикулярна к вектору Е момента импульса тела относительно точки опоры О. При доказательстве можно воспользоваться уравнением эллипсоида инерции в любой системе координат.
Но праще взять уравяение этой поверхности в системе главных осей эллнпсонда, т. е. 1,х'+ 1вух+ 1ггз =- 1. Левую часть этого уравнения обозначим Р (х, у, г), т. с. запишем само уравнение в виде Р (х, у, г) = 1. Как было показано в 3 29 (пункт 3), вектор др др . др Ф= — 1+- — 1+ — Ф = — йгад Р, дх ду дг направлен по нормали к поверхности эллнпсонда. Иными словами, вектор ДГ перпендикулярен к касательной плоскости, о которой говорится в теореме. Он равен ДГ=2 (1,х(+1, у)+1ггй). На основании предыдущей теоремы его можно представить в виде Й =. Р (1„юл1 + 1ЭЩВ 1+ 1г Югу), т. е.
где р — некоторый скаляр. Это соотношение и доказывает теорему. Ввиду отсутствия моментов внешних снл относительно точки опоры О вектор Е ве меняется во времени. Поэтому ве будет менять свое направление и касательная плоскость к эллипсонду ннерпни, о которой говорятся в теореме. Т е о р е и а 3. Длина перпендикуляра, опуи(гнного из точки опоры О на плоскость. касательную н вллипгоиду инерции в точке нахождения полюса Р, нг меняется с течением времени.
Применим для доказательства уравнение энергии в виде (Ею) = 2К = сопз[, или Еюг = 2К = сопщ, где ю — проекция вектора ю на неизменное направление вектора Е. Так как величины Е н К постоянны, то отсюда следует, что постоянна и проекция ю, По, как было показано прн доказательстве теоремы 1, эта проекция связана с длиной перпендикуляра гг соотношением юг =- ")г' 2Кгт Следовательно, посюяпна н длина г, что н требовалось доказать. Из доказанной теоремы следует, что касательная плоскость к эллипсоиду инерции в пнжнг нахождения полюса неизменна нг только по направлению, но и по аювму положению о проапранствг.
Поэтому эту плоскость часто называют неизменяемой плоскостью. 2. Теперь интерпретация Пуансо напрашивается сама собой. Спязав с движущимся телом его эллипсоид инерции с центром в точке опоры О, проведем в какой-.тибо момент времени касательную плоскость в точкс нахождения полюса 4 Зв) ВРАЩение пО инеРцИИ ВОКРУГ НЕПОдВИЖЯОЙ тОЧКи 299 н этот момент. Это будет неизменяемая плоскость з соответствии с теоремами 2 и 3.
При этом з полюсе Р не может быть скольжения между эллипсоидом инерции н неизменяемой плоскостью, так как через эту точку проходит мгноаенная ось зращеиия тела. Если катить без скольжения зляипсоид инерции тела по неизменяемой плоскости с угловой скоростью, пропорциональной радиусу-вектору тачки касания (т. е. полюса), то а соотаетстнин с теоремой 1 при таком качении будет воспроизведено (а ускоренном или замедленном темпе) вращение твердого тела, связанного с эллипсондом инерции.
3. Полюс Р одновременно находится и на поверхности эллипсонда инерции, и на неизменяемой плоскости. Допустим для наглядности, что неизменяемая плоскость закрашена, например, покрыта сажей. При качении эллипсоида инерции иа его позэрхностн и на неизменяемой плоскости останутся следы, показыаающие, через какие точки проходил полюс. Кривая, которую описывает полюс на поверхности эллипсоида инерции, назызается лолодией.
Плоская же кривая, описываемая тем же полюсом на неизменяемой плоскости, называется герлолодией, Если эллипсоид инерции касается неизменяемой плоскости некоторой точкой, то спустя некоторое время он будет касаться той же плоскости той же точкой, но, вообще гозоря, уже э другом месте. Инь!ми словами, полюс на поверхности эллипсоида инерции Вернется а свое исходное положение. Это показывает, что пояодия явяяетел замкнутой кривой. Что касается герпододии, то она, вообще говоря, не замкнупш.
Соединив прямыми точки полодпи н точки герполодии с точкой опоры О, получим дае конические понерхности. Одна коническая позерхность жестко связана с аращающимся телом. Она называется конусом лояодии. Другая неподзижна а пространстве и назызается конусом герлояодии. Обе поверхности касаются друг друга вдоль прямой, соападаюшей с мгновенной осью Вращения. Поэтому между ними нет скольжения. Движение тела мохгно рассматривать как качение без скольжения конуса лолодии по неподвижному конусу герлояодии с угловой скоростью, пропорциональной радиусу-вектору, проьеденному из точки опоры к полюсу, Эта интерпретация, также предложенная Пуансо, только словесно отли. чается от предыдущей интерпретации. 4.
Допустим, что свободное твердое тело аращается вокруг одной из главных осей центрального эллипсоида инерции. Тогда а интерпретации Пуансо эллипсоид инерции будет опираться на неизменяемую плоскость одной из саоих вершин, причем соответствующая глазная ось будет перпендикулярна к этой плоскости. Полодня и герполодия выродятся н точки, соападающие с полюсом Р, Отсюда видно, что вращение Вокруг главной оси центрального эллипсоида инерции может продолжаться вечно. Это совпадает с доказанным выше утэерждением, что главные оси центрального эллипсоида ннерпнп являются также саободными осями вращения. 5.
С помощью нторой интерпретации Пуансо легко также исследозать зо. прас, вращение зокруг каких снободных осей янляется устой ьизым, а вокруг каких — неустойчнзым. Вопрос этот сводится к отысканию уравнения конуса паладин относительно координатной системы, связанной с телом.
Выберем э качестве тзкозой систему главных осей. Пусть ось Х является осью наибольшего, а ось Л вЂ” наименьшего моментоз инерции. Таким образом, мы полагаем )„! ) )е. (54. 1) В каждый момент времени днижеиие тела есть яршцение аокруг мгноаен. ной оси. Прн вращении сохраняется кинетическая энергия тела: ! .ю„т+! ю,-"+! ю' =2К=-сопз!. (54.2) Кроме того, сохраняется момент количества дэиькепня 5 = — ),<оке+ )вюа!'-',.)еьь„.й.
Возведя зто соотношение п квадрат, получим ! Яеп ! ю +!гамзе=)"=гааз!. (54,3) АГЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. Чг! Умножив уравнение (54.2) на 1В == Ег1(2К) и вычтя его из уравнения (54В), получим однородное уравнение 1х(1х й') гок+1е(l — й') о)ее+!а(1.— йг) юге=О, (54,4) которому должны удовлетворять компоненты вектора углоной скорости ю, Уравнение мгновенной оси можно записать в виде г = — ры, где р — переменный параметр, который может принимать любые значения. Найдя отсюда ых, мо, юг и под.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
