Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Если же точка А лежит внутри сферической полости (рнс. 173, б), то р„„, . = «+ Р, р„„„= « — Л, и интегрирование дает У= — б —. Мт (55.7) На границе полости выражения (55.6) и (55.7) совпадают. Согласно (55.7) потек. циальная энергия материальной тоеси внутри полости не зависит от )т, она постоянна. Сила Р, дейслмующая на мшлериальную точку в этом случае, раааа д(« нулю, так кзк У = сонат, а потому « = — — =О.
~Я 3. Доказать, что дее однородньсе лолые сферы притягиваются друг к другу так, как если бы их массы были сосредоточтвк е их центрах. До к а з а тел ь ство. Как показано в предыдущей задаче, гравитационное поле первой сферы не изменится, если всю массу этой сферы сосредоточить в ее центре. Поэтому ие изменится и сила, с которой это пале действует на вторую сферу. Задача свелась к нахождению силы, с которой точечная масса действует на сферу. Но в предыдущей задаче показано, что эта сила не изменится, если и массу второй сферы сконцентрировать в ее центре. Этим и завершается доказательство.
4. Доказать, что два однородных итра притягиваются друг к другу так, как если бы масса каждого шара была сосредоточена в его центре. Доказать также, что если внутри однородного шара имеетсн сферическая полость, центр которой совпадает с центром шара, то гравитационное ноле внутри такои сферы равно нулю. Показать, что эти результаты справедливы и для шаров с концентрически слоистым распределением масс, т. е. таким, когда плотность вещества р в каждом шаре зависит только от расстояния до его центра, 3(О тягогкыма (гл.
нггг М 4пб )7з б — = — —,р, если г)Й, г' 3 гз и 4п з = -3'- ;=-3 бр гз 3 (55.8) При г = Я оба выражения совпадают. Рис. 174. б. Подсчитать гравитационную энергию 6 шара радиуса Я, равномерно заполненного веществом с обьемной плотностью р. Р е ш е н н е. Гравитационная энергия шара есть потенциальная энергия, обусловленная силами тяготения, действующими между материальными точками, на которые можно мысленно разбить шар.
Она равна взятой с противоположным знаком работе, иоторую должны затратить внешние силы, чтобы привести веще- стао шара в бесконечно разрозненное состояние, когда каждая частица вещества удалена в бесконечность. Эта работа не зависит от способа, каким шар переводится из начального состояния в конечное. Поэтому при вычислении можно поступить следующим образом.
Разобьем мысленно весь шар на бесконечно тонкие концентрические слои и будем последовательно удалять в бесконечность каждый из такид слоев, начиная с самого крайнего. Напряженность поля тяготения в любой точке выделенного слоя, создаваемая веществом, внешним по отношению к этому слою, равна нулю. Поле создается только веществом, которое окружено рассматриваемым слоем. Если т — масса этого вещества, а г(ш — масса слоя, шг(ш то работа, затрачиваемая на удаление слоя в бесконечность, равна г(А = 6 †.
г 7г)а Но для однородного шара т=М ~ — -) где М вЂ” масса всего шара. Поэтому М' г(А=36 — га г(г. Учитывая, что г(А = — Лу и интегрируя, получим рв л 6Мэ г 3 6Мз 6 — 3 — ~ гаг(г= — — —. 5 77 о (55.9) За нуль потенциальной энергии мы приняли энергию шара в бесконечно разрозненном состоянии. Интересны астрофизические применения формулы (55.9). Физиков давно интересовал вопрос об источниках энергии, излучаемой Солнцем и звездами.
В прошлом веке Гельмгольц (!821 †18) и Вильям Томсон (1824 †19) выдвинули гипотезу, согласно которой Солнце непрерывно сжимается под действием гравитационных сил. Выделяющееся при этом тепло и идет на излучение Солнца. Максимальная энергия, которая могкет выделиться в процессе гравитационного сжатия Солнца, соответствует начальному состоянию, в котором вещество Солнца 5. Рассчитать напряженность гравитационного поля, т. е. гнлу, действующую на единицу массы, внутри и вие шара радиуса )7, заполненного веществом с постоянной объемной плотностью р. М Р е ш е н и е.
Поле вне шара равно я= б —,;, где М вЂ” масса шара. Для гз вычисления поля в точке А (рис. 174), лежащей внутри шара на расстоянии г от центра, проведем через эту точку вспомогательную сферу с центром в точке б. Вещество шара, расположенное вие вспомогательной сферы, не влияет на поле внутри нее. В частности, оно не влияет на поле в точке А. Гравитационное поле а точке А создается только веществом, сосредоточенным внутри вспомогательной ш сферы. Оно равно б —, где и — масса вещества, огра- га' ниченного вспомогательной сферой.
Таким образом, УСКОРЕНИЕ ПлйНЕТ И КОМЕТ 3П было равномерно распределено по всему бесконечному пространству, Будем считать, по в конечном состоянии плотность солнечного вещества одинакова по всему его объему. В действительности она, конечно, возрастает к центру Солнца, Однако для оценок яаше предположение не является очень грубым.
Приняв его, можно воспользоваться формулой (55.9). Масса Солнца М = 2 19«з г, радиус !г = 7 10ш см. Используя зти данные, получаем для выделившейся энергии 3 ОМ> Е=. — — =2,28 1О'в зрг. 5 77 В настоящее время скорость излучения энергии Солнца составляет 3,8б 1()м эрг7с. Если считать (при грубых опенках это допустимо), что эта скорость была постоянна во времени, то для возраста Солнца получится величина 2,28 . 10«в = — 5,9 19>« с 1,9 10' лет. Есле воспользоваться распределением плотности вещества, соответствующим принятым в настоящее время моделям Солила, то время ( возрастет примерно до б 19> лет. Но н эта величина слишком мала, Возраст Земли по геологическим оцен- кам составляет около 4 — 4,5 !О' лет.
Возраст Солнца не меньше. Это показывает, что гравитационное сжатие является слишком слабым источником, чтобы покрыть потери энергии Солнца на излучение. В действительности источником солнечной энергии, равно квк н энергии, излучаемой звездами, являютг ся ядерные реакции, идущие в недрах Солнца и l звезд.
Конечным итогом этих реакций является превращение водорода в гелий. Следует, однако, заметить, что гравитационное сжатие становится основным источником энергии иа более поздних стадиях эволюции звезд (белые карлики, нейтронные звезды, или пульсары, коллапсары, илн «черные дыры>).
7. В сплошном однородном шаре с плотностью вещества р сделана сферическая полость, центр которой О, смещен относительно центра шара 0 (рис. 175). Найти гравитацион- ное поле в такой полости. Р е ш е н и е. Вообразим, что полость заполнена веществом, плотность ко- торого равна плотности шара.. Тогда искомое гравитационное поле К предста- вится разностью гравитационных полей двух сплошных шаров с центрами в О и О, соответственно. Точка наблюдения А расположена внутри каждого из этих шаров.
Е!озтому можно воспользоваться формулой (55.8) и написать 4л 7 4л ) 4л хг= — — — брг — ~ — — '- брг,~ = — - '- бр)7, 3 ~ 3 '~= 3 ~ле )7 — радиус-вектор, проведенный из центра шара О к центру полости О,. Поле однородно, т. е. во всех точках полости одинаково по величине и направлению. 9 56. Ускорение планет и комет прн движении по коническим сечениям 1. Замена эл.лнптическнх орбит круговымн была произведена в предыдущем параграфе исключительно в целях упрощения вычислений. Рассмотрим теперь задачу более строго, не прибегая к такому упрощению.
Наши вычисления будут справелливы не только для планет, но и для комет. Последние, как Показывают наблюдения, движутся по гиперболам и параболам с фокусом в точке 312 ТЯГОТЕНИЕ !ГЛ. Ч!11 (см, 6 46). Величина 1 а = — гзф 2 нахождения Солнца, причем это движение подчиняется второму закону Кеп.
лера. Третий закон Кеплера для гиперболических и параболических движений, конечно, теряет смысл. Однако для вычисления ускорения планеты или кометы он и не нужен, Действительно, при заданной траектории второй закон Кеплера определяет скорость планеты или кометы на этой траектории. Этого достаточно, чтобы полностью описать двигкение тела, т. е. указать его положение и скорость в любой момент времени. Зная это, можно вычислить ускорение тела в любой точке траектории. Приведем это элементарное вычисление. 2.
Введем полярную систему координат с полюсом в фокусе Р,, где находится Солнце, и полярной осью РА, направленной вдоль большой оси эллипса или гиперболы (рис. 176). Ускорение движущегося тела разложим на радиальную составляющую а„направленную вдоль радиуса г, и аэимутальную составляющую а, перпендикулярную к радиусу. Они определяются выражениями а„=д — ф'г, а, = — — (гзф) (56.1) ! г с(1 (56.2) Рис. !76. есть секториальная скорость, т. е. площадь, описываемая радиусом-вектором планеты или кометы в единицу времени. По второму 1 закону Кеплера она постоянна, а потому ач — — — — (2а)=0.
Значит, ускорег г(1 ние рассматриваелгого небесного тела не имеет азнмутальной составляющей, т, е. направлено к Солнцу, Зтот результат был уже получен в $31 иным путем, Чтобы найти радиальное ускорение а„надо вычислить производные г и (р. Производная ф определяется формулой (56.2). Для вычисления производной г воспользуемся уравнением конического сечения в полярной системе координат г(1 — е соя ср) =р, (56.3) илн после умножения на г с учетом соотношений (56.2) и (56.3) рг+2аг з!п гр=0. Вторичное дифференцирование дает ря+ 2ае соз гр ° ф = О.
2а Подставляя сюда ф = —, е соз ф =! — —, пол)'чим Р 4аз ),гз После этого из первой формулы 4аз 4 аз + — = — — +ф'г. ргз (56.1) находим 4оз аг = — —, ргз ' (56.4) где р н е — постоянные величины, из которых первая называется параметром эглилса, а вторая — его эксг(еигприсишешом. Пе нарушая общности, обе эти величины можно считать неотрицательными. Для эллипса с к' 1, для параболы е = 1, для гиперболы е > 1. В предельных случаях е =- О и е =- ьь получаются круг и прямая линия. Дифференцируя уравнение (56.3) по времени, получим г (1 — е сов гр)+егф з(п гр=О, 313 УСКОРЕНИЕ ПЛАНЕТ И КОМЕТ 4 661 Таким образом, из первь>х двух законов Д тлеуа вытекает, что ускорение планеты али кометы обратно пропорционально квадрату ее расстояния от Солнца.
3. Третий закон Кеплера позволяет доказать, что коэффициент пропорцио. нальности 4оз)р — один и тот >ке для всех планет. Донажем это. Площадь эллипса равна яаЬ, где а и Ь вЂ” длины большой и малой полуосей его. Так как секторнальпая скорость и постоянна, то и = яоЫТ, где Т вЂ” период обращения планеты по ее орбите Воспользуемся еще формулой аналитической геометрии р =- Ьь)а. Тогда нз (56.4) получим 4язаз 1 а г ув гз' (56.5) (При равномерном вращении по окружности эта форь>ула переходит в извест4пь ную формулу а = — —,.) Вводя постоянную Кеплера (55.1), получим 4пзЮ не= —— >.л (56.6) Этот результат совпадает с прежней формулой (55.2), ио при его выводе здесь были использованы только эмпирические законы Кеплера без привлечения каких бы то ни было дополнительных соображений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
