Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 79
Текст из файла (страница 79)
По гиперболической. 2. В условиях предыдущей задачи оба осколка разлетаются в перпендикулярных направлениях с одинаковыми скоростями. По каким орбитам они будут двигаться? О т в е т. Оба осколка будут двигаться по параболам. 318 ТЯГОТЕНИЕ !ГЛ. УП! Для эллиптичесного движения формула (58.3) также справедлива, но под К следует понимать среднее по времени значение кинетической энергии планеты. Действительно, эллиптическое движение финитно, и к нему можно применить теорему вириала (й 25, п. 6).
Применительно к движению планеты эта теорема дает К= — — гЕ=-- гР= (. )= — --й. 1 — 1 — 6Мт 11! !— 2 2 2 (г) 2 „!в Вычитая из обеих частей — К и учитывая, что Е = К+ У, получим 2 К= — Е. Это н доказывает наше утверждение. 2.
Найдем теперь длину малой г!Олдоси эллипса Ь. Для этого помимо энергии надо знать еще момент количества движения планеты или ее секториальную скорость о = 5. Большую ось эллипса можно считать известной, поскольку оиа однозначно определяется энергией планеты. Пусть  — одна из точек, в которых малая ось пересекается с эллипсом (рис. 179). Так как сумма'расстояний любой точки эллипса от его фокусов Р! и Рз постоянна и равна 2а, то РхВ = а. Секториальная скорость в точке В равна о= — об, 1 2 (58.4) так как Ь есть длина перпендикуляра ЕтН, опущенного нз фокуса Е! на направление скорости в этой точке.
Скорость и в точке В определится из уравнения энергии. Полагаем в нем г = а и на- ходим ов М вЂ” — 0 — =е. 2 Ь=2о)гу,м ' (58.5) 3. Распространим теперь полученные результаты на случай гиперболического движения. Для этого воспользуемся исяусственным приемом, указанным в п.
4 й 56. По правой ветви гиперболы (рис. 177) движется комета, по левой — соответствующая ей вспомогательная материальная точка. Эти движения описываются одвим и тем же уравнением (57.3). В вершивах гиперболы Р и А радиальная скорость о равна нулю, и мы снова приходим к квадратному уравнению (58.1). Однако теперь энергия Е положительна, так что знаки корней этого уравнения противоположны.
Положительный корень г, соответствует вершине Р, отрицательный ге — вершине А. Сумма обоих корнеи г, + ге отрицательна. По абсолютной велнчйне эта сумма равна расстоянию между вершинами Р и А. Используя для этого расстояния стандартное обозначение АР = 2а, получим 2а = — (г, + гз) = 0 — = 6 — . Мт, М (58.6) Е в ' Подставив сюда выражение для е из (58.2), определим ш После этого найдем Зий ВЫЧИСЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОРБИТЫ э ьз! а=- Ьою ! (58.7) и дает секториальную скорость. При этом величина о определяется фюрмулой (57.4), которую можно записать также в виде о,"- — =е. 2 (58.8) Угол 0 между асимптотами гиперболы можно вычислить по формуле тч Ь Ьохй 2 и ПИ (58.9) 5.
Параметр р для эллипса и гиперболы определяется выражением р = = Ьтга. Подставляя сюда соответствующие значения для Ь и а, в обоих случаях найдем а и ' 4оз (58.! О) Той жс формулой определяется параметр р и для параболы, поскольку парабола является предельной кривой, в которую переходят эллипс и гипербола. Для параболы параметр Р является единственной величиной, определяющей ее форму.
6. Вид траектории планеты, конечно, определяется начальными условиями, т. е. положением и скоростью планеты в некоторый момент времени, который условно можно принять за начальный. Иллюстрируем это следующим примером. Пусть 5 — Солнце, а А — начальное положение планеты (рис, !81). Расстояние А5 обозначим г„. Будем сообщать планете в точке А скорость оо в направлении, перпендикулярном к АЯ, Посмотрим, как будет ме- ИЯтЬСЯ ВИД тРаЕКтОРИИ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ВЕЛИЧИНЫ Ов. ЕСЛИ ПОЛНаЯ Эта формула в точкасти совпала бы с формуяой (58.2), если бы условиться расстояние между вершинами гиперболы считать величиной отрицательной. 4. Найдем теперь аналог формулы (58Л) для гиперболического движения.
Расстояние между фокусами Гтрз принято обо..начать 2с, а под Ь понимать квадратный корень Ь = — ) с" — а'. Проведем через фокус Гз прямую, параллельную одной из асимптот гиперболы (рис. !80). Из фокуса Рт на прямую гзМ опустим ду перпендикуляр Р,М. Длину отрезка Г М г тл можно рассматривать кан разность рассюяний ат фокусов гт и Гэ до бесконечно удаленной гочки, в которой пере- г г сскаются параллельные прямые ЬзМ и ОВ. Поэтому в силу известного свойства гиперболы ГзМ =- 2а. На основании теоремы Пифагора заключаем далее, гю расстояние !',М равна 2Ь. Секториальную Рис. 180. скорость, как величину постоянную, достаточно вычислить для точки, движущейся в бесконечности.
Радиус-вектор такой точки в единицу времени аписывает треугольник с основанием о и высотой Рг — -- Ь. Его площадь зю 1гл. чш Т Я ГОТЕ НИ Е энергия планеты отрицательна, т. е. и, меньше параболической скорости о„, то траекторией планеты будет эллипс, При и, = О эллипс вырождается в прямую, проходящую через Солнце Я. Если о„= о„, то планета будет двигаться по кругу. В этом случае точки А и С равноудалены от Солнца. Расстояние между ними (большая ось) равно 2г,.
При уменьшении энергии большая ось эллипса уменьшается. При оо «-пк она становится меньше 2го. В этом случае Рис. 131. Начальная скорость Траектория планеты по=о ро(пк Прямая, проходящая через Солнце Эллипс с пернгелнем в точке В и афелием в точке А Окружность с центром в точке нахождения Солнца Эллипс с пернгелием в точке А и афелием в точке Р Парабола Гипербола "о= "к рк ~ оо ~ "и ро = пп ро) ра точка А удалена от Солнца 5 дальше (афелий), чем точка В (пери- гелий). При по)о„наоборот, большая ось эллипса больше 2г„ т. е.
перигелием будет точка А, а афелием — точка 0 (или Е). При и = и, = п,)т'2 траекторией будет парабола. При и ) ои она переходит в гиперболу. Все этн результаты представлены в следующей таблице: нчит движяния солнца ЗАДАЧА э зэ) В классических опытах Резерфорда исследовалось рассеяние и-частиц на атомных ядрах различных химических элементов. Считая ядро бесконечно тяже. лым и полагая, что рассеяние вызывается кулоновскими силами отталкивания, показать, что угол отклонения скорости и-частнцы от первоначального направления полета В связан с прицельным расстоянием ь соотношением В тьо 2 27сз где т — масса и-частицы, о — ее скорость ндалн от ядра, 2е — ее заряд, 7е— заряд ядра (е — элементарный заряд, Л вЂ” порядковый номер элемента). П р и м е ч а н и е.
Прицельным расстоянием называется длина перпендикуляра, опущенного из рассеивающего центра (ядра) на исходное направление насателы!ой н траектории, когда рассеиваемая частица находилась в бесконечности. )у!ы воспользуемся формулой (58.1!) в атомной физике при рассмотрении опытов Резерфорда.
$59. Учет движения Солнца 1. При рассмотрении планетных движений мы не учитывали движения Солнца, считая его массу бесконечно большой по сравнению с массой планеты. Для ускорения планеты мы писали тг = там. = Р, (59.1) Мт где Р = — Сг †.„ г — ньютонова сила гравитационного притяжения, действующая на планету со стороны Солнца. Символом а,а, обозначено ускорение планеты относительно какой-то инерциальной системы отсчета, например системы Коперника.
Учтем теперь движение Солнца. Чтобы получить уравнение движения планеты относительно Солнца, надо массу планеты т заменить на приМт веденную массу ы = — (см. З 20). В результате уравнение М+т относительного движения примет вид рг— = раотз = Р. Подставив выражение для р, получим та„, = (1 + — ) Р. (59.2) Формально дело происходит так, как если бы Солнце оставалось неподвижным, но гравитационная постоянная увеличилась в 1+ т!М раз. Поэтому для относительного движения первый и второй законы Кеплера остаются справедливыми.
Зато третий закон должен быть уточнен. Зля этого достаточно в формуле (55.5) постоянную Сг заменить на 6 (1 + т/М). Это приводит к соотношению оз Ух(М+т) чпа' (59.3) 1гл. чп1 Оно показывает, что отношение —, является универсальной ил постоянной, т. е. не зависит ни от масс взаимодействующих тел, ни от расстояния между ними. Таким образом, третий закон Кеплера для относительного движения не вполне точен. То обстоятельство, что для планет Солнечной системы ои выполняется с большой точностью, связано с тем, что масса планеты очень мала по сравнению с массой Сотща. Отметим еще соотношение ион 1 ( ю аабс (59.4) ( ) (т ) =3,298 10'. В действительности, как видно из формулы (59.3), таким путем ~с+ юз находится отношение, Метод дает отношение масс центглз + /п~ ральных тел, вокруг которых вращаются спутники, только тогда, когда масса каждого спутника пренебрежимо мала по сравнению с массой соответствующего центрального тела.
Это условие идеально соблюдается для искусственных спутников. Например, можно найти отношение масс Луны н Земли, если измерить параметры орбит искусственных спутников, обращающихся вокруг них. которое непосредственно следует из сравнения формул (59.1) и (59.2). 2. На формулах (55.5) и (59.3) основано определение масс планет, имеющих спутников, а также масс двойных звезд. Если масса спутника пренебрежимо мала по срввнению с массой планеты, то для движения спутника справедлив третий закон Кеплера в форме (55.5). Постоянную Кеплера Ю можно вычислить, измерив размеры орбиты и время обращения спутника. Зная гравитационную постоянную 6, по формуле (55.5) можно вычислить массу планеты М в абсолютных.
единицах. В астрономии, однако, предпочитают за единицу массы принимать массу Земли. Для определения масс планет в таких единицах не требуется знать численное значение гравитационной постоянной, известное не очень точно. В качестве примера найдем отношение массы Солнца Мс к массе Земли тз. Массу Земли будем считать пренебрежимо малой по сравнению с массой Солнца. Точно так же пренебрежем массой Луны по сравнению с массой Земли. Для земной орбиты имеем аз = 1,496 10" км, Тз =- 365,26 суток, для лунной ал = 3,844.10вкм, Тл = 27,32 суток. По формуле (55.5) получаем ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ И ЗЕМНАЯ ТЯЖЕСТЬ 323 $ 001 ЗДДДЧИ 1. Найти расстояние Тт между компонентами двойной звезды, если их общая масса М, + Ма равна удвоенной массе Солнца Ма, н звезды обращаются по кру- говым орбитам вокруг их центра масс с периодом Т = — 2Т,, где Та — п)аодолжн- тельность земного года. Расстояние от Земли до Солнца йа =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
