Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 84
Текст из файла (страница 84)
(б4. 13) Эта формула и доказывает наше утверждение. 4. Можно было бы теперь перейти к написанию уравнения относительного движения материальной точки. Однако мы хотим еще раз на частном примере получить теорему Кориолиса. Таким путем мы лучше выясним происхождение кориолисова ускорения и других членов, из которых складывается абсолютное ускорение.
Пусть шарик М [рпс. 183) движется вдоль жесткого стержня, вращающе. тося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью оз, перпендикулярной к пло- скости рисунка. Его абсолютная скорость о„б, й~з складывается из двух взаимно перпендикулярных скоростеи: скорости вдоль стержня и скорости, к нему перпендикулярной. Первая есть а относительная скорость в системе отсчета, в которой стержень покоится. Вторая возникает и~, из-за вращения стержня и потому является переносной скоростью. Таким образом, о,г„ = еп'г' — оптн + тапер.
а потому аабс опта + опар. тУ мж» Пусть за время атт стержень повернулся на угол айр = ыа)Д За то же время шарик перешел из Рис. 183. положения М в гюложение М'. Найдем приращение, которое претерпевает за то же время вектор о,н, Если бы не было враацения стержня, го зю приращение возникало бы только из-за неравномерности движения вдоль стержня и было бы равно ап,„ог. Но из-за поворота вектор оош получает дополнительное приращение [аттр о„н), Полное приращение вектора о,н будет бЬ„„= а„„б[Г+ [Еп„н] Г[Г'. Теперь найдем приращение вектора оп,р = [ыг).
Очевидно т)опар = [айаг[+ + [е пг). Первое слагаемое возникает йз-за неравномерности вращения и равно [ыг) агй Второе связано с перемещением точки М в (абсолютном) пространстве и дается выражением [е паба) йг= [отоптн! ага+ [ывпар)аи. таким образом, с[та„,р — — [ОИ'] Г[Г+ [ЕП„„) б[Г + [Епп,р) б[Г.
Сложив приращения обоих векторов, в,п и оп,, найдем окончателыю а,б, = а.,„+ 2 [ею.,„] + [е [ет ]) + [ег). Как ясно из вывода, в рассматриваемом случае кориолисово ускорение слагается из двух равных членов. Первый возникает из-за вращения вектора о„н вместе со стержнем. Второй появляется из-за приращения переносной скорости вп,р, которое получается вследствие приближения шарика к оси вращения или удаления от нее. Очевидно, вывод применим и в том случае, когда направление оси вращения меняется с течением времени.
Кориолисово ускорение 2 [еоппн) направлено перпендикулярно к вращаю- щемуся стержню. для того чтобы сообщить такое ускорение телу М, стержень з 6«! произвольное движение систеьты ОтсчетА 34! должен сказывать па него боковое давление. Сила бокового давления равна 2гп !ювотн[, где гл — масса тела М. В свою очередь тело М действует на стержень с равной и противоположно направленной силой Г= 2лз [в„вю!.
Если тело удаляется от оси вращения (рис. 184, а), то сила Г направлена противоположно вращению и замедляет его. При этом стержень изгибается таким образом, что ои выпуклой стороной обращен в сторону вращения, как показано пунктирной линией. Напротив, если тело приближается к оси вращения (рис. 184, б), то сила Г направлена в сторону вращения стержня. В этом случае у~лов»я скорость Г-ги[и га] Г-2л [и, о»! и) б) Рис. 184. 5. Обратимся теперь к написанию уравнений относительного движения. Поступим в точности так же, как в предыдущем параграфе. В уравнение (63.1) подставим выражение (64.10) и все члены перенесем в правую часть за исключением члена, содержащего относительное ускорение. Таким путем получим та„„= ег — та„р — та„,р, (64.14) или более подробно та„„= ее+ 2т [тз„„ю] — тес+тюзе Ь вЂ” т [юп]. (64.
15) К «настоящей» силе )и добавились две силы инерции: так называемая кориолисова сала ес'„,р — — — та„= 2т [О„„ю] (64.16) и переносная сила инерции ес'„,р — — — та„,р — — — то«+ твз'г' с — т [юг]. (64.17) Разумеется, к этим силам инерции относятся все общие замечания, которые были высказаны в предыдущем параграфе применительно к силам инерции, возникающим при ускоренном поступательном движении системы отсчета.
вращения стержня увеличивается, а сам стержень изгибается так, что в сторону вращения обращена его вогнутая сторона. В опыте со скамьей Жуковского, описанном в $34 (рнс. 60), возникают такие же силы бокового давления, с которыми гири действуют на демонстратора, когда он приближает или удаляет их от оси вращения. Эти силы и изменяют угловую скорость вращения скамьи Жуковского вместе с демонстратором, сидящим на ней.
Вообще действием таких сил объясняются асе явления, связанные с изменением угловой скорости вращения изолированного тела при изменении его момента инерции. 342 ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТ. НЕИНЕГЦ. СИСТЕМ ОТСЧЕТА [ГЛ. [Х 6. Переносная сила инерции в общем случае состоит из трех слагаемых. С первым слагаемым — тпоь мы уже познакомились в предыдущем параграфе. Это есть поступательная сила инерции, возникающая из-за ускоренного движения начала координат О.
Последнее слагаемое — [и )ь»г) обусловлено неравномерностью вращения системы отсчета. Оно ие получило специального названия. Второе слагаемое л«'„= ть»»т з (б4.18) называется центробежной силой инерции или просто центробежной силой. Действию центробежной силы подвергается, например, пассажир в движущемся автобусе на поворотах. Перегрузки, испытываемые летчиком при выполнении фигур высшего пилотажа на больших скоростях, также в основном вызываются центробежными силами.
Если на центробежной машине подвесить несколько шариков на нитях и привести машину в быстрое вращение, то центробежные силы отклонят шарики от оси вращения. Угол отклонения тем больше, чем дальше шарик отстоит от оси. Центробежные силы используются в центробежных сушилках для отжима белья и в сепараторах для отделения сливок от молока.
7. Центробежные силы, как и всякие силы инерции, существуют лишь в ускоренно движущихся (вращающихся) системах отсчета и исчезают при переходе к ннерциальным системам. Забыв это, можно прийти к парадоксам, которые часто ставят в тупик школьников. Вот один из самых распространенных парадоксов такого типа. Пусть тело движется по окружности. На него действуют две силы: центростремительная рн направленная к центру окружности, и центробежная е'„ направленная в противоположную сторону.
Эти силы равны по величине и уравновешивают друг друга: е", + Г» =- О. По закону инерции тело должно двигаться прямолинейно и равномерно. Противоречие возникло потому, что движение стали относить к неподвижной (инерциальной) системе отсчета. А в этой системе никаких центробежных снл не существует. Есть только одна центростремительная сила л«н которая и сообщает телу ускорение. Это может быть, например, натяжение шнура, к которому привязано тело. Вводить центробежную силу можно лишь тогда, когда движение рассматривается во вращающейся системе отсчета.
В этой системе на тело действительно действует центробежная сила, и она уравновешивается центростремительной силой. Однако это не приводит к противоречию, так как во вращающейся системе отсчета тело покоится. Путаница происходит из-за того, что в технической механике термин «центробежная сила» иногда употребляют в совершенно другом смысле. Центробежной силой называют силу реакции, с которой тело А, вращающееся по окружности, действует на тело В, принуждающее его совершать это вращение.
Равную ей и противоположно $ бы пнонзвольнов движкнив систвмы отсчвтд злз направленную силу, с которой тело В действует на вращающееся тело А, называют центростремительной.' Допустим, например, что шарик привязан к шнуру. Взяв рукой за свободный конец шнура, приведем шарик во вращение. Центростремительной здесь является сила натяжения шнура, тявущая шарик к центру окружности. Центробежная сила также создаетси натяжением шнура, но она приложена к руке. Центростремительная и центробежная силы, так понимаемые, всегда приложены к разным телам.
Обе они являются «настояшими силами» в смысле ньютоновой механики, т. е. возникают в результате взаимодействия тел. По существу этой терминологии, конечно, нельзя привести никаких возражений. Речь может идти тольно о ее целесообразности. Возражение начинается с того пункта, когда понимая центробежную силу во втором смысле, утверждают, что она стремится удалить вращающееся тело от оси вра1цения. Зто утверждение просто абсурдно, так как при втором определении центробежной силы она не приложена к вращакяцемуся телу н потому не может оказывать иа него никакого действия. Действительно, центробежная сила стре.
мится удалить тело от оси вращения. Но это утверждение относится к центробежной силе, понимаемой как сила инерции. Мы не будем употреблять термин «центробежная сила» во втором смысле. Под центробежной силой мы будем всюду понимать силу инерции, действуюшую только во вращающихся системах отсчета и исчезающую при переходе к инерциальным системам. в. Обратимся теперь к кориолисовой силе инерции (64А6), Она возникает только тогда, когда система отсчета Я вращается, а материальная точка движется относительно етой системы. От других сил инерции корнолисова сила отличается тем, что она зависит от относительной скорости п„н.
При обращении в нуль этой скорости обращается в нуль и кориолисова сила. Когда пассажир стоит в движущемся автобусе, то на поворотах он испытывает действие центробежной силы. Если во время поворота пассажир будет перемешаться в автобусе, то на него начнет еще действовать кориолнсова сила. Вот почему удержаться в автобусе на поворотах легче в неподвижном положении, чем при движении. Кориолисова сила всегда перпендикулярна к относительной скорости. Поэтому при относительном движении она не совершает работы. Кориолисова сила, таким образом, является силой гироскопической (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
