Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 87
Текст из файла (страница 87)
На полюсе п,з, = д = 983,2 см/с'. На экваторе 4лз а,г„= д+ оРг = 978,0+ — 4-, 6,378 1О' = 981,4 см)с'. Если бы Земля была правильным шаром со сферически-симметричным распределением вещества в нем, то величина дм, должна была бы быть одной и той же на полюсе и на экваторе. В действительности $8«! вве и взвешивания твл на экваторе д,«, меньше, чем на полюсе. Это объясняется сплюсиутостью Земли, обусловленной действием центробежных сил. Точки экватора отстоят от центра Земли дальше, чем полюсы. Поэтому они притягиваются к центру Земли слабее, чем такие же точки на полюсе.
Разумеется, изменение ускорения свободного падения д на земной поверхности нельзя обнаружить с помощью рычажных весов. Но это можно сделать с помощью пружинных весов. 3. Допустим теперь, что пружинные весы установлены на искусственном спутнике или космическом корабле. Что покажут эти весы, когда взвешиваемое тело покоится относительно корабля) Наши прежние рассуждения не изменятся, только в них Землю надо заменить космическим кораблем, В частности, движущуюся систему отсчета 5 мы связываем теперь с кораблем. Землю же надо рассматривать как внешнее тело, которое, наряду с Солнцем, Луной и прочими небесными телами, создает внутри корабля внешнее гравитационное поле.
В силу малых размеров корабля это поле внутри корабля можно считать однородным. Оно полностью компенсируется поступательными силами инерции, возникающими в системе отсчета 5 из-за ускорения, сообщаемого ей этим гравитационным полем. Поэтому, если двигатели на корабле выключены и он свободно падает в гравитационном поле, то относительное движение внутри корабля описывается прежним уравнением (65.3). Только ввиду ничтожности гравитационного поля, создаваемого самим кораблем, член п«я' теперь обусловлен исключительно вращением корабля и равен пна»гг (цеятробежная сила).
Если корабль не вращается, а взвешиваемое тело относительно него покоится, то из уравнения (65.3) получаем Р— -- О. Величина Р есть сила, с которой на тело действует растянутая пружина весов. Мы видим, что пружина не растянута, т. е. вес, показываемый весами, равен нулю. Весы не реагируют на внешние гравитационные поля, последние полностью компенсируются поступательными силами инерции. Такое состояние «невесомоспги» свойственно всем телам внутри космического корабля. Состояние «иевесомости» проявляется в том, что в телах полностью отсутствуют внутренние упругие напряжения, которые в обычных условиях возникают под действием силы тяжести. Если корабль вращается, то появляется центробежная сила, не компенсируемая внешними гравитационными полями. Эта сила создает на корабле «искусственную пип«вст»». Наконец, если включены двигатели, сообщакндие кораблю дополнительное поступательное ускорение «и, то в правой части уравнения (65.3) добавляется член — пив.
Весы покажут вес Р =- = — п««п. Все тела внутри космического корабля снова становятся «весомыми». Этим «весом» и обусловлены перегрузки, которые испытывают космонавты при старте или торможении космических кораблей. ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТ. НЕИНЕРЦ. СИСТЕМ ОТСЧЕТА [ГЛ. 1Х ЗАДАЧ И 1. Тело на экваторе взвешивается на пружинных весах в полдень, когда гравитационные силы Земли и Солнца тянут его в противоположные стороны. Одновременно такое же тело взвешивается в полночь в диаметрально противо- положной точке земного шара, когда обе эти силы наДелэ правлены в одну егорову.
Вес какого тела будет больше? 'Г Р е ш е в и е. Если пренебречь неоднородностью Гс гравитационного поля Солнца в окрестности Земли, то в обоих случаях получится один и тот же вес, Учтем теперь неоднородность гравитационного поля Рз Солнца, пренебрегая влиянием Луны. Веса тел в диац» метрально противоположных точках земного шара 1 0 (день) и 2 (ночь) будут соответственно Р Рз РОЯ г) шы г+ 1 Р / РрР+Р Я+)— Р~ (рис. 187). Здесь Рз и Р— силы гравитационного г притяжения Земли и Солнца соответственно, )7 — рас- ю1гагл стояние между их центрами, г — радиус Земли, ш— 1гагэ ускорение центра Земли под действием гравитационного притяжения Солнца.
Очевидно лцэ = Р (Я). ВыРис. 187. читая, находим 1'х — Рз =~Рс ()7 +") — Рс ОЯ +[Рс ()7 †') †Рс (1Ч Разлагая обе разности в квадратных скобках по формуле Тейлора и ограничиваясь квадратичными членами по г, получим Р,— Рт=гз —. гяз Преобразуем это выражение, используя соотношения Мгл 4яЩ Р=6 —,, =, вп с (М вЂ” масса Свлнца, Т вЂ” период обращения Земли вокруг Солнца, Р— вес тела). После несложных преобразований найдем Р Р 24па гз 12кЮ Р йТэ 11 а)7 Здесь з = т)з дуя означает расстояние, которое проходила бы Земля в течение года, если бы она двигалась павноускоренно с ускорением л. Вычисляя это расстояние, получим з 5 1бе км и далее ' — 6,5 1О тз.
Р 2. Найти разность между весами одинаковых тел в днаметратьно противоположных точках земного шара, обусловленную аеоднородиостью гравитационного поля Луны. Считать, что центры Луны, Земли и об рассматриваемые точки! и 2 лежат на одной прямой (см.
предыдущую задачу). Р— Р, М, 24пзгз О т в е т. †.= — . = 8 10 '", где Мз и М л — массы Земли и МЗ АЕТ Луны, 11 — расстояние между их центрами, Т вЂ” период обрацеиия Луны вокруг Земли, г — радиус Земли, ь е?1 ОтКЛОнение ПАдАЮЩиХ ТеЛ От нАпРАВЛеНИЯ ОтВеСА 353 3. Пароход движется на восток вдоль параллели с географической широтой 0 = 60'. Скорость парохода о = 1О мlс, Определить вес тела Р на пароходе, если взвешвванне производится на пружннвых весах.
Вес того же гела, неподвнжного относительно Земли, в той же точке земной поверхности равен Рь. О г в е т. Р=Р ~1 — ' ~=Р 1 — 2 — созэ~"=Р (! — ?,5 10 ь) 2озо соз О+аз??? 1 !' ыо о ~ с~, )вы е !)? — радиус Земли). 4. Самолет легат с постоянной скоростью, описывая окружность на постоянной аысозс Какое направленне будет указывать нить отвеса, подвешенного в салоне самолета? Пайгн псрнод малых колебаний магсматнческого маятника внутри самолета, сслн длина маяз ника равна 1, корпус самолета наклонен к направленню горнзонга под углом а. О т в е т.
11нгь отнеса усгановнгся перпендикулярно к полу салона самоГ1 соя и лета. Т = 2п ~,' я 5. Самолет летает на постоянной высоте по окружности радиуса )? .— -- 25 км с постоянной скоросзью о =- 250 м?с. В кабине самолета установлены пружинные н маятниковые часы. Какое время полета Р покажут маятнвковые часы, если зго время, измеренное пружинными часами, равно 1=- 1 ч? Часы считать идеальными. Силу Корноляса, ввиду ее малости, не учитывать.
Ответ.п= — !'1+, з =-1 ч 56 с. у ог 4)г'дз / В 67. Отклонение падающих тел от направления отвеса 1. Пусть тело свободно падает в поле тяжести Земли. В этом случае Р = О, и уравнение (65.3) переходит в а = д+ 2 (пю1. (67.1) Это уравнение описывает свободное падение тел с учетом вр щения Земли. Влияние вращения Земли сводится к действию центробежной н кориолнсовой сил. Центробежная сила учитывается автоматически, так как она включена в вес тела тд как его составная часть.
Наличие этой силы не меняет вид уравнения. Только направление к центру Земли заменяется направлением отвеса. В остальном центробежная сила не приводит к качественно новым явлениям. Более существенно влияет на характер движения кориолисова сила. 7?ри падении тел беэ начальной скорости квриолисвва сила проявляется в отклонении свободно падающих тел и востоку и экватору от направления отвеса.
Теория этих явлений сводится к решению дифференциального уравнения (67.1). Если вектор и постоянен, то векторное уравнение (67.1) эквивалентно системе трех линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постояннымн коэффициентами. Точное решение такой снстелгы получить нетрудно с помощью общеизвестных методов, излагаемых в теории дифференциальных уравнений. Однако мы по этому пути не пойдем. Он громоздок, а главное, получение точных решений вряд лн оправдано, когда в уравнении (6?.1) пренебрегаетси зависимостью й от координат.
Последнее допустимо лишь тогда, когда движение рассматривается в сравни- ЗЗ4 ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТ. НЕИНЕРП. СИСТЕМ ОТСЧЕТА ~ГЛ. 1Х тельно небольшой области пространства, во всех точках которой вектор а практически один и тот же. Л в этих случаях прекрасно работает приближенный метод последовательных приближении, дающий вполне достаточную точность. Вычисления по этому методу просты и лучше выявляют сущность явления.
Им мы и воспользуемся. 2. В уравнении (6?.1) член 2 [оы) мал по сравнению с хс Вго можно рассматривать как малую поправку и в нулевом приближении отбросить. Тогда получатся законы свободного падения без учета вращения Земли: (67.2) а=у, в=вь+йт, где о„ вЂ” начальная скорость тела. Пользуясь нулевым приближением, можно учесть и влияние кориолисовой силы. С этой целью в уравнение (67.1) мы подставим значение о из нулевого приближения и таким путем получим ускорение а в первом приближении: а = хе+ 2 [оьвт1 + 21 [птв1. (67.3) Интегрирование этого уравнения дает скорость в в том же прибли- жении: о = во+ ф+ 2( [поет~ + (е [~рв). (67.
4) С помощью этого выражения снова уточняем выражение для корнолисовой силы. Именно, подставляя его в уравнение (67.1), получаем выражение для ускорения а во втором приближении: ет = ф+ 2 [поы1+ 21 [фтв~+ 41 [[вьет~ ы1+ 2)е [[фчв~ о)1, (67.5) Описанный процесс последовательных приближений можно было бы продолжить неограниченно. Оборвем его на втором приближении.
Интегрируя (67.6) по 1, находим радиус-вектор материальной точки в любой момент времени во втором приближении: à — яЪ+Е ~+ 2 а( +~ [Еь 1+ З [й М+ З ~ [[~ь 1 1+ а [[й И (67.7) В частности, если тело падает без начальной скорости, то для его смещения из начального положения в = г — г, получим ~з и 2 ь + 3 [ь ~+ б [[ь (67. 8) а после интегрирования по 1 — для скорости и в том же при- ближении: в = эв+ ф+ 21 [оьев1+ Р [Пто1+ 2Р [[вьн1 ьт)+ — га [[йтв~ ы1, (67 6) 3. Чтобы проанализировать полученный результат, введем прямоугольную систему координат, начало которой поместим в точку А, пз которой начинает падать рассматриваемое тело (рис.
188). Ось Х направим по параллели на восток, ось У вЂ” по меридиану к экватору, ось Я вЂ” по направлению отвеса вниз, т. е. вдоль вектора д'. Спроектируем затем выражение (67.8) на координатные оси. Векторное произведение [лтэ[ направлено ца восток, двойное векторное произведение [[лтэ)ы) есть вектор, направленныи от оси вращения Земли и перпендикулярный к ней.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
