Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Во избежание этого в физике уже давно отказались от независимого выбора единиц для всех физических величин, а стали применять системы единиц, построенные по определенному принципу. 2. Принцип этот заключается в следующем. Некоторые физические величины условно принимаются за основные или первичные, т. е, такие, для которых единицы устанавливаются произвольно и независимо.
Так, например, в механике применяется система ЕМТ, в которой за основные величины принимаются длина (Е), масса (М) и время (Т). Выбор основных величин и их число произвольны, Зто — вопрос соглашения. Например, в технической механике до недавнего времени применялась система (.г'Т. Основными величинами в ней были длина (Е), сила (Р) и время (Т). В так называемой международной системе единиц (сокращенно СИ) за основные МЕТОДЫ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ [Гл. х! приняты шесть величин: длина, масса, время, температура, сила электрического тока и сила света. Величины, не являющиеся основными, называются производными или вторичными.
Для них единицы устанавливаются из требования, чтобы численные коэффициенты, входящие в физические законы или формулы, служащие определениел! рассматриваемых величин, принимали определенные, заранее выбранные значения. Например, скорость равномерно движущейся материальной точки есть величина особого рода, пропорциональная пройденному пути з и обратно пропорциональная времени г, затрачиваемому на прохождение этого пути. При независимом выборе единиц для з, [ и о.следует писать о = С зг[, где С— численный коэффициент, значение которого определяется выбором единиц.
Если фиксировать значение этого коэффициента, то единицы для з, ! и о перестанут быть независимыми. Для простоты полагают С = 1 и пишут о = ЗД. Если за основные величины принять путь з и время А то скорость о становится величиной производной. За единицу скорости мы обязаны принять скорость такого равномерного движения, когда за единицу времени проходится единица длины. Говорят, что скорость имеет размерность длины, деленной на время. Символически это записывается так: !о! = ЕТ '.
Аналогично пока единицы выбираются независимо, для ускорения а можно написать ль а = С вЂ”. Полагая С =- 1, мы делаем ускорение а величиной произ![! ' водной, имеющей размерность скорости, деленной на время, или размерность длины, деленной иа квадрат времени. После этого за единицу ускорения мы обязаны принять ускорение такого равномерно ускоренного движения, когда за каждую единицу времени скорость возрастает на единицу. В произвольных единицах второй закон Ньютона пишется в виде Р = Ста. Фиксируя численный коэффициент С, мы делаем силу Р величиной производной и устанавливаем для нее единицу. Например, при С = 1 получаем Р = та.
После этого сила получает размерность массы, умноженной на ускорение: !Р! = !та! — — МАТ '. Формула Р = та обязывает нас за единицу силы принять такую силу, которая массе в одну единицу сообщает ускорение, равное единице. 3. Размерность физической величины еще не определяет, как велика ее единица. Она устанавливает только связь между единицами различных физических величии. Размерность дает правило, позволяющее определить, как меняется единица производной физической величины при изменении масштабов основных ве,гичин. Это правило, выраженное в виде математической формулы, называется форму гой размерности.
Допустим, например, что за единицу длины принят километр, а за единицу времени — минута. Единицей ускорения в такой системе единиц будет км!мин!. Спрашивается, как изменится единица ускорения, если за единицу длины принять сантиметр, а за единицу времени — секунду.
Формула размерности 461 ФОРМУЛА РАЗМЕРНОСТИ « 87] позволяет быстро ответить на этот вопрос. Мы пишем прежде всего 1 км = 108 см, 1 мин = 80 с и далее 76 ., 7666 1 кьумин«=,,', = — см!с». =60» с- = 36 Отсюда видно, что единица ускорения 1 кмlмин« крупнее единицы см7с« в 100073б раз. В соответствии с этим численное значение ускорения, измеренное в км7мин», окажется меньп7е численного значения того же ускорения в 1000736 раз, гели его измерить в см7с». $87. Формула размерности 1. Термин «система единиц» употребляется в двух смыслах.
В широком смысле система единиц характеризуется выбором основных величин и формулами, определяющими производные величины через основные, причем масштабы основных величин не фиксируются. Примером может служить система ЕМ Т, в которой основными величинами являются длина, масса и время. Другим примером является электротехническая система 7.МТ), в которой за основные величины принимаются длина, масса, время и сила электрического тока А Система единиц в узком смысле дополнительно характеризуется также определенным выбором масштабов основных едини71. Примерами могут служить системы СГС и МКСА.
Первая есть частный случай системы ЕМ Т, когда за единицы длины, массы н времени приняты сантиметр, грамм и секунда. Вторая является частным случаем электротехнической системы ) МТ!. В ней единицами длины, массы, времени и силы тока являются соответственно метр, килограмм, секунда и ампер. В теории размерности термин «система единиц> понил«ается в широком сл«ысле.
Понятие размерности возникает в связи с требованием, чтобы в одной и той же системе единиц количественные соотношения между различными физическими величинами выражались одними и теми же формулами, независимо от того, как велики единицы основных физических величин. Этим требованием определяется общий вид «формул размерности» физических величин.
Допустим, что имеется несиолько физических величин, связанных между собой. Для простоты можно ограничиться случаем двух величин, одна из которых принимается за основную, а друтая — за производную. Численные значения их х и у связаны уравнением у =- 1' (х). Определим общий вид функции 1 (х). Если единицу основной величины х уменьшить в и раз, то численное значение этой величины увеличится в такое число раз и сделается равным Х = ах.
При этом единица производной величины у уменьшится, а ее численное значение увеличится в 13 раз и станет равным У = ~)у, Мы требуем, чтобы численные значения Х и )' были связаны тел«же уравнением, что и числа х и у, т. е. 1' = г' (Х) или ()у = г" (ах).Этому условию можно удовлетворить при любых значениях а, если надлежащим образом подобрать (1. 432 МЕТОДЫ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ (ГЛ. Х! Задача сводится к нахождению () как функции аргументах. На этот вопрос и отвечает яформула размерностик Прежде чем его решать, изменим постановку вопроса.
Пусть две физические величины связаны соотношением у = )'(х). Будем менять сами физические величины, оставляя их единицы неизменными. Допустим, что величины х и у увеличились соответственно в а и () раз и сделались равными Х = ах и )' -= ))у. Спрашивается, какому условию должны удовлетворять числа а и )), чтобы связь между новыми значениями физических величин Х и 1' была та же, что и между старыми значениями х и у, т. е. У = Г (Х).
На этот вопрос отвечает теория подобия. Вопрос опять сводится к исследованию уравнения ()у = ( (ах). Мы видим, что теории размерности и подобия отличаются друг от друга только формой постановки вопроса. По существу они не отличаются одна от другой. Теория подобия позволяет исследовать количественные соотношения между различными параметрами реальных физических систем на их уменьшенных илн увеличенных моделях.
Так поступают, например, в авиационной технике, помещая в аэродинамические трубы уменьшенные копии реальных летательных аппаратов. Изучив поведение моделей реальных систем, можно с помощью теории подобия или размерности сделать выводы о поведении самих систем в реальных условиях. Теория размерности сводит вопрос о подобии физических явлений в указанном выше смысле к анализу размерноппей физических величин. 2. После этих предварительных замечаний установим общий вид формулы размерности. Как разъяснено выше, мы должны требовать, чтобы из уравнения д = Г (х) вытекало уравнение У = Г (Х), где Х = ах, )' = ру. Аргумент х и параметр а могут независимо принимать любые значения. Задача состоит в том, чтобы по заданному значению а найти значение р.
Путем дифференцирования при фиксированных к и р находим -„- = г' (х), дХ Вторую из этих формул запишем в виде „'-2=Г (Х). Поделим ее почленно на первую и в результате а и () заменим выражениями и = —, )3=-- = —. Тогда получим Х )' ( (Х) = к у = 1(х) ' х — =Х— г' (х) Г(х) /(Х) ' Слева стоит функция только х, справа — та же функция только Х. Обозначив ее г", имеем г (х) = г" (Х). Но в силу произвольности 433 ФОРмулл РАзмегности % 841 параметра а аргументы х и Х =-: ах могут независимо принимать любые значения. Поэтому равенство с (х) =- Р (Х) должно выполняться тождественно, каковы бы ни были х и Х. Зто значит, что Г (х) есть постоянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
