Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Чтобы найти и', перейдем снова в неподвижную систему отсчета. Относительно этой системы скорости вещества н недеформированных областях будут и)2 — и' н и)2+ и'. Когда возмущения встретятся в месте соприкосновения цилиндров, деформации исчезнут, и оба цилиндра будут двигаться как целые со скоростямн и)2 — и' н и)2+ и'. Кинетическая энергия этого движения будет 4 зз! скорости упвргих возмгщвнип в неогрлнич. сиада 42! т„= — =2! у — 4 !0» с. с г' Е Найдем теперь относительное сжатие цилиндров при деформации После соприкосновения левый конец цилиндра В приобрел скоросгь о)2, правый конец продолжал покоиться втечение времени пот д.
За это время левый конец переместился на расс юяние к = Ч«т о. Относительное сжатие цилиндра будет л о ! 2с' о а давление Р=Š—. Чтобы не возникало пластических деформаций илн разру2с' щений, должно быть Р с' Ро, т. е. 2сро 2Р« о ( —. = =. — ! О м/с. Е Уяр $ 83. Скорости распространения продольных и поперечных возмущений в неограниченной среде 1. Возмущения в стержне, рассмотренные в 2 81, мы назвали продольными. Это не совсем точно. Каждая деформация сжатия стержня сопровождается увеличением поперечных размеров его.
В случае деформации растяжения поперечные размеры стержня сокращаются. Для количественного описания этих явлений был введен коэффициент Пуассона. Следовательно, частицы в стержне движутся не совсем параллельно его оси: наряду с продольной составляющей скорости они имекп и поперечную составляющую. Чтобы сделать возмущение чисто продольным, надо лишить частицы стержня возможности перемещаться в поперечных направлениях, т. е.
«закрепить» боковую поверхность стержня. Такой случай осуществляется в неограниченной среде при распространении в ней продольных возмущений. Если в такой среде мысленно вырезать произвольный «стержень» с осью, параллельной направлению распространения возмущения (которое в случае продочьных возмущений параллельно смещениям частиц), то частицы, находящиеся на боковой поверхности его, удерживаемые соседними частями среды, не будут претерпевать никаких боковых смешений. Все смещения будут происходить только параллельно оси «стержняж Рассуждения, проведенные в предыдущих параграфах, применимы и в рассматриваемом случае.
Надо только модуль Юнга Е заменить модулем адно- стороннего растяжения Е'. В результате для скорости распространения продольных возмущений в неограниченной среде получится выражение сн = ~уг— (83.1) цилиндров найдется как промежуток времени, затрачиваемый на прохождение возмущения по одному из цилиндров (л~обого) туда и обратно 422 мехлникА упРу! их тел [Гл.
х или в силу соотношений (77.9) и (78.5) ! — и е .» Гк+",»6 ()+И) (! — 2и) О )' р (83.2) 2. В неограниченной твердой среде, наряду с продольными, могут распространяться также поперечные возмущения. Так называются возмущения, в которых частицы среды смещаются перпендикулярно к направлению распространения возмущения. Скорость распространения поперечных возмущений может быть найдена совершенно так же, как и соответствующая скорость для продольных возмущений.
Лля этого в среде мысленно вырежем произвольный «стержень», ось которого параллельна направлению распространения возмущения, т. е. перпендикулярна к направлениям смещения частиц (рис. 22б). Если к основанию такого «стержня» в начальный момент времени приложить постоянное касательное напряжение т, то в стержне возникнет деформация сдвига, Рис. 226. распространяющаяся со скоростью, которую мы обозначим с). Рассуждая так же, как и в 2 81, найдем, что касательное напряжение т связано с с) и скоростью частиц стержня о соотношением (83.3) т=рсьо Здесь т = Сг)!, где у — угол сдвига.
Последний легко найти из следующих соображений. За время Г свободный конец стержня перемещается на расстояние ог, а то время как само возмущение проходит путь сьй Поскольку о.с, с(, отсюда следует у= (83.4) Из этих соотношений легко получить с~= ~/ —. (83.5) 3. Поперечные возмущения, если они малы, подчиняются принципу суперпозиции. Поэтому в поперечном возмущении, распространяющемся в определенном направлении, плотности кинетической и потенциальной энергий одинаковы. Вопрос о направлении распространения поперечного возмущения решается с помощью энергетических соображений совершенно так же, как и для продольных возмущений. 4. Так как К ~ О, то из формул (83.2) и (83.5) следует с„)с). 4 а41 скОРОсть ПОпеРЕчныХ ВОЗМУЩЕНИЙ В НАТЯНУТОМ ШНУРЕ 423 Поэтому если в неограниченной среде возникло какое-либо возмущение, то, вообще говоря, оно разделится на продольное и поперечное, причем продольное возмущение придет в точку наблюдения быстрее поперечного.
Необходимость такого разделения непосредственно следует из принципа суперпозиции малых возмущений, согласно которому продольное и поперечное возмущения должны распространяться независимо друг от друга. В качестве примера вычислим скорости распространения упругих возмущений в железе или стали. Из опытов найдено Е =- 21,2 1О 'ч Н7и', 6 =- 8,2 Х Х 10те Н(мт, )ь = 0,29, р = 7,8 10з кг(мз. Используя эти данные, получим / Ег с= 4! — =5,2 ° !О' м7с, р 1 — р (1+р) (1 — 2р) с = ~~ — =3 4 1Оа мус. ЗАДАЧИ 1. Показать, что скорость распространения ирутильных колебаний вдоль стержня совпадает со скоростью поперечных возмунгеиийс Р е ш е н и е. Для общности будем считать, что стержень представляет собой цилиндрическую трубку с внутренним радиусом г, и наружным радиусом га Пусть к основанию трубки приложены постоянные касательные напряжения, создаюпдие вращающий момент М относительно ее геометрической оси.
В трубие возникнет деформация кручения, скорость распространения которой обозначим с. В возмущенной области вещество будет вращаться с постоянной угловой сиоростью сь Если момент М действовал в течение времени 1, то, очевидно, М1=7ю, где ! — момент инерции возмущенной области. С другой стороны, М = (~р = = 7ы!.
Зто дает)Н = !. Подставляя сюда ! =- '7е по! (г) — г ), ! =- (7с(! — длина возмущенной области) и пользуясь соотношением (79.4), получим рс'= 6. 2. Найти выражение для скорости продольных звуковых возмущений, распространяющихся в безграничной двумерной тонкой пластинке. Показать, что эта скорость меньше, чем скорость продольных возмущений в неограниченной среде (см.
задачу к 4 77). Е Ответ. с= 1гг р (1 рз) $84. Скорость распространения поперечных возмущений в натянутом шнуре !. Возможность распространения поперечных возмущений в твердых телах обусловлена присущей им поперечной упругостью, т. с. способностью тел сопротивляться всякому изменению формы, происходящему без изменения объема. Поперечная упругость может 424 ~ГЛ. Х МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ быть создана искусственно и в случае таких тел, у которых в естественном состоянии она отсутствует. Примером может служить гибкий шнур или веревка.
Если шнур не натянут, то поперечные возмущения в нем распространяться не могут. Если же закрепить один конец шнура, а к другому подвесить груз, перекинув шнур через блок, то в шнуре возникнет постоянное натяжение, обозначаемое в дальнейшем Т. Такой шнур обладает упрг7гостою форзгы, и в нем могут распространяться поперечные возмущения.
Скорость таких возмущений можно вычислить по формуле (83.5). Но для этого надо решить вопрос, какая величина в натянутом шнуре играет роль модуля сдвига 6. Рассмотрим небольшой участок АВ натянутого и изогнутого шнура (рис. 227). Будем предполагать, что деформации натянутого шнура, связанные с поперечными смещениями его частиц, малы.
Тогда можно пренебречь изменеб пнями величины натяжения Т, обусловленными изгибом шнура А при таких малых деформациях. В этом приближении натяжения Т, действующие на концы участка АВ вдоль его оси, одни и те же. Их составляющие, касательные к основаниям участка АВ, равны Т 81п у — Ту. Поэтому на основаниях рассматриваемого участка будут действовать касательные напряжения т = (Т(В) у, где 5 — площадь поперечного сечения шнура. Деформацию участка АВ можно рассматривать как сдвиг под действием таких касательных напряжений.
Сравнивая поэтому предыдущее выражение с формулой т =- 67, находим, что роль модуля сдвига играет величина 6 .— -- Т(В. Подставим это выражение в формулу (83.5) и введем обозначение 8 =-- РВ. Тогда для скорости распространения поперечных возмущений в шнуре получим Рис.
227 (84.1) Величина б равна массе, приходящейся на единицу длины шнура. Она называется линейной плотностью шнура. 2. Если возмущенче в шнуре распространяется в одном направлении, то в таком возмущении плотности кинетической и потенпиальной энергий в любой момент времени, конечно, будут одинаковы. Направление распространения возмущения можно определить из энергетических соображений. Лля этого помимо формы шнура в рассматриваемый момент времени надо епге задать скорость каждой его точки. Так, например, нозмущение, представленное на рис.
228, распространяется вправо. Вертикальными стрелками обозначены скорости частиц шнура в рассматриваемый момент времени. Если мысленно провести в шнуре какое-либо поперечное сечение, го угол между силой натяжения, действующей на правую часть шнура, н ее скоростью в рассма~риваемом сечении будет острым. Напротив, сила натяжения, действующая на левую часть шнура, составляет с соответствующей скоростью тупой угол. Это значит, что над правой частью шнура сила натя- й З41 СКОРОСТЬ ПОПЕРЕЧНЪ|Х ВОЗМУЩЕНИЙ В НАТЯНУТОМ ШНУРЕ 425 жени я совершает положительную, а над левой — отрицательную работу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
