Главная » Просмотр файлов » Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика

Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 108

Файл №1111909 Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика) 108 страницаД.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909) страница 1082019-05-06СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 108)

Все прочие математические операции (з)п х, е, 1и х и т. п.) могут выполняться только над безразмерными величинами. Правило размерности очень полезно для проверки формул. Если вычисления проводятся в какой-то одной системе единиц, то размерности обеих частей всех полученных равенств должны быть одинаковы. Несовпадение размерностей указывает на наличие ошибки, допущенной при вычислениях. Из доказанного отнюдь не следует, что невозможны физические законы, выражающиеся в виде равенств между величинами разной размерности. Равенства подобного рода встречаются в физике сплошь и рядом. Например, скорость свободного падения можно выразить приближенной формулой о = 1Ог (если начальная скорость равна нулю), а гидростатическое давление слоя воды — формулой Р = =- 1/1Ой.

Однако подобные формулы справедливы только тогда, ко~да точно фиксированы единицы входящих в них физических величин. В приведенных примерах предполагается, что время 1 измеряется в секундах, скорость о — в метрах в секунду, толщина слоя воды й — в метрах, давление Р— в атмосферах.

Изменения масштабов единиц такие формулы пе допускают. Е!о в таком случае нет смысла говорить и о размерности входящих в них физических величин. 3. Теория размерности сама по себе, т. е. без использования добавочных данных, не может привести ни к каким конкретным физическим выводам, поскольку в ее основах не заложены никакие физические законы. Для того чтобы извлечь из этой теории конкретные выводы, нужно установить, между какал>и физи>ескими величинами существуют количественные связи. На этот счет теория размерности не может дать никаких указаний. Зто можно сделать ~олька либо опытным путем, либо с помощью каких-то физических законов. Приводимые ниже примеры могут служить иллюстрацией высказанных утверждений. 438 МЕТОДЫ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ ЗЛДАЧИ [Гд.

х! 1. Составить все независимые безразмерные комбинации из величин 1, т, 1, о, а, р, Е, гр (! — длина, т — масса 1 — время, о — скорость, а — уснорение, р — плотность вещества, Š— модучь Юнга, ф — угол, измеренный в радианах). Р е ш е в и е. Проще всего поступить следующим образоы. Из перечисленных величин угол гр уже является безразмерной ведичиной. Далее замечаем, что о( имеет размерность длины, а1 — раамерность скорости, р!" — размерность массы, оз — размерность давления, а следовательно, и размерность модуля Юнга.

оэтому сразу можно написать следующие безразмерные комбинации: а1 рИ оса — % (88. 3) о' гп' Е' Эгот способ обладает, однако, тем недостатком, что он не дает ответа на вопрос, нсчерпываотся ли рядом (88.3) все независимые безразмерные комбинации рассматриваемых физических величин. Общий метод, изложенный в 4 87, и. О, свободен от этого недостатка. Поэтому мы приведем решение также по этому методу. При отыскании безразмерных комбинаций угол ф, нак величину безразмерну[о, можно не принимать во внимание. Из оставшихся семи величин составим комбинацию вида 1отй(тоаа! рвЕ». Если выразить размерности о, а, р, Е через размерности основных величин 1, т,1, то эта комбинация перейдет в 1отй(т!Ь1-Ь!Л зхлн[-знт»1-»1-з т.

е. в номбинацию Для того чтобы эта комбинация была безразмерной, должно быть а+6+Л вЂ” Зр — »=О, 6+И+» =О, у — 6 — 2Л вЂ” 2» =О. Из этих трех уравнений три неизвестных параметра можно выразить через остав. шиеся четыре. За независимые параметры проще всего принять 6, Л, р, », так как уравнения фактически уже разрешевы относительно оставшихся неизвестных а () у: а= — 6 — Л+Зр+», 5= — р— у = 6+ 2Л+ 2». получим 1) а= — 1, 3) а= — 3, () ()=О, Т=-[, 2) а= — 1, !)=О, 7=.2, =- — 1, у = О, 4) а = 1, [3 = — 1, у = 2.

соответствуют следующие безразмерные комбинации: 1) ™-, 2) - -., 3) [— , 4) — . Зтим значениям Параметры 6, Л, р, » могут независимо принимать любые значения. Полагая последовательно 1) 6=1, Л=р=»=0, 2) Л=1, 6=Я=»=0, 3) р=[, 6=.Л=»=0, 4)»=1, 6=Л=-И=О, 439 ПРАВИЛО РАЗМЕРНОСТИ з аз! Присоединив к ним угол гр, получим всего пять независимых безразмерных комбинаций. Все они являются функциями безразмерных комбинаций (88.3). Значит, рядом (88.3) исчерпываются все независимые безразмерные комбинации, которые можно составить из рассматриваемых физических величин.

2. Как зависит от высоты )> скорость свободного падения тела, если начальная скорость его равна нулю? Р е ш е н и е. Ускорение свободного падения и постоянно и не зависит от массы, плотности, упругих свойств тел и пр. Поэтому искомая скорость о может зависеть только от д и Д. Из безразмерных комбинаций (88.3) можно составить всего одну независимую безразмерную комбинацию п»(1а) или оз1(А>Д), содержащую только длину, скорость и ускорение. Она получается делением первой без. размерной комбинации ряда (88.3) на вторую. Поэтому должно быть 1 — )=О, 1га ! (уй ) откуда оз1(дд) = С = сопз(, или о' = СРД. Численный коэффициент С из теории размерности нзйти нельзя. 3.

Пользуясь соображениями размерности, найти зависимость периода колебаний Т физического маятника от его приведенной длины 1, ускорения силы тяжести и и угловой амплитуды сс. О т в е т. Т=гр(а) )~11а. Вид функции гр (а) из теории размерности определить нельзя. Если эту функцию разложигь в ряд Тейлора и сохранить в нем только нулевой член (что можно делать в случае малых колебаний), то получится Т=С У 1)я>, где С вЂ” постоянный численный коэффициент, значение которого из теории размерности определить также нельзя. То обстоятельство, что С ~ О, также не вьпекает из теории размерности, а должно быть установлено особо (например, опытным путем).

4. Пользуясь соображениями размерности, определить зависимость скорости распространения о продольных упругих возмущений в стержне от модуля Юнга Е и плотности материала р. О т в е т. о =С ) Е(р. Численный коэффициент Сиз размерных соображений найти нельзя. 5, Две певааимодействующие материальные ючки, находящиеся в центратьном силовом поле, описывают геометрически подобные траектории. Сила Т, действующая на каждую материальную точку, пропорциональна ее массе и меняется с расстоянием г до силового центра, как г", где и — постоянная.

Как связаны длины 1, и 1, геометрически подобных дуг траекторий с временами Т, и Т„затрачиваемыми материальными точками на прохождение этих дуг? Р е ш е н и е. Должна существовать связь между длиной дуги траектории 1, временем Т, затрачиваемым материальной точкой иа прохождение этой дуги, а также ускорением а, направленным к силовому центру. Ускорения можно брать в произвольных, но обязательно подобно расположенных точках. Из этих трех величин можно составить единственную независимую безразмерную комбинацию, за которую можно принять аТЧ1. Следовательно, должно быть аТзД = сопз!. Для ускорения можно написать а = Аг", где А — постоянная, одинаковая для обеих материалькых точек.

В силу геометрического подобия траекторий, по которым движутся материальные точки, можно также написать а = ВР', где  — другая постоянная, также одинаковая для обеих точек. В результате получим ТЧ" ' = = сопш, а потому Т'1>" ' = Т„-"(з" '. В частных случаях и = 1 и и = — 2 получаем Т = сопз! и ТИР =- сопз!. Первое соотношение означает, что а случае гармонического осциллятора период колебаний или период обращения вокруг силового центра не зависит от амплитуды или размеров орбиты.

Второе соотношение выражает третий закон Кеплера. Однако этот закон доказан здесь не в общем виде, а только для частиц, движущихся по геометрически подобным траекториям. гллвл хи МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 9 89. Общие свойства жидкостей и газов 1. В отличие от твердых тел жидкости и газы в состоянии равновесия не обладают упругостью формы "). Они обладают только объемной упругостью. В состоянии равновесия напряжение в жад«ости и газе всегда нормально к 1глощадкг, на которую оно действует. Касательные напряжения вызывают только изменения формы элементарных объемов тела (сдвиги), но не величину самих объемов. Для таких деформаций в жидкостях и газах усилий не требуется, а потому в этих средах при равновесии касательные напряжения не возникают.

С точки зрения механики жидкости и газы могут быть определены как такие среды, в которых при равновесии касательные напряжения существовать не могут. Из этого определения следует, что в состоянии равновесия величина нормального напряжения в жидкости или газе не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует. Для доказательства возьмем произвольно ориентированную площадку, внешнюю нормаль к которой будем характеризовать единичным вектором и. Так как напряжение нормально к площадке, то его можно представить в виде а„= — Рп.

Напряжения на площадках, перпендикулярных к координатным осям, запишутся как а„=- — Р„(, ак = — Р,Я а, = — Р,)г, где г',,у, й — ксюрдииатиые орты. Подставляя эти значения в формулу (74.1), получим Рп = Р„п„г'+ Р„пву+ Р,п,й. Умножая скалярно это соотношение последовательно на д', у, й, найдем (89. 1) Р = Р„= Ра = Р,. Отсюда заключаем, что в состоянии равновесия нормальное напряжение (давлгние Р) не зависит от ориентации площадки, на «вторую оно действует. Это — закон Паскаля (1623 — 1662). 2.

В случае газов нормальное напряжение всегда направлено внутрь газа, т. е. имеет характер давления, В жидкостях, как *) Исключения составляют жидкие пленки и поверхностные слои жидкостей. Однако связанные с ними явления в настоящей главе не рассматриваются. Они будут рассмотрены в т. 11 нашего курса. 441 ОбЩИЕ СВОЙГТВА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 4 Вэ! 1 В!с 7= — 7йрс или обратной ему величиной — модулем всеспюроннего ~=- р~ур (89.2) сжатия (89.3) Предполагается„что температура жидкости при сжатии поддержи- вается постоянной.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
5,29 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее