Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Все прочие математические операции (з)п х, е, 1и х и т. п.) могут выполняться только над безразмерными величинами. Правило размерности очень полезно для проверки формул. Если вычисления проводятся в какой-то одной системе единиц, то размерности обеих частей всех полученных равенств должны быть одинаковы. Несовпадение размерностей указывает на наличие ошибки, допущенной при вычислениях. Из доказанного отнюдь не следует, что невозможны физические законы, выражающиеся в виде равенств между величинами разной размерности. Равенства подобного рода встречаются в физике сплошь и рядом. Например, скорость свободного падения можно выразить приближенной формулой о = 1Ог (если начальная скорость равна нулю), а гидростатическое давление слоя воды — формулой Р = =- 1/1Ой.
Однако подобные формулы справедливы только тогда, ко~да точно фиксированы единицы входящих в них физических величин. В приведенных примерах предполагается, что время 1 измеряется в секундах, скорость о — в метрах в секунду, толщина слоя воды й — в метрах, давление Р— в атмосферах.
Изменения масштабов единиц такие формулы пе допускают. Е!о в таком случае нет смысла говорить и о размерности входящих в них физических величин. 3. Теория размерности сама по себе, т. е. без использования добавочных данных, не может привести ни к каким конкретным физическим выводам, поскольку в ее основах не заложены никакие физические законы. Для того чтобы извлечь из этой теории конкретные выводы, нужно установить, между какал>и физи>ескими величинами существуют количественные связи. На этот счет теория размерности не может дать никаких указаний. Зто можно сделать ~олька либо опытным путем, либо с помощью каких-то физических законов. Приводимые ниже примеры могут служить иллюстрацией высказанных утверждений. 438 МЕТОДЫ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ ЗЛДАЧИ [Гд.
х! 1. Составить все независимые безразмерные комбинации из величин 1, т, 1, о, а, р, Е, гр (! — длина, т — масса 1 — время, о — скорость, а — уснорение, р — плотность вещества, Š— модучь Юнга, ф — угол, измеренный в радианах). Р е ш е в и е. Проще всего поступить следующим образоы. Из перечисленных величин угол гр уже является безразмерной ведичиной. Далее замечаем, что о( имеет размерность длины, а1 — раамерность скорости, р!" — размерность массы, оз — размерность давления, а следовательно, и размерность модуля Юнга.
оэтому сразу можно написать следующие безразмерные комбинации: а1 рИ оса — % (88. 3) о' гп' Е' Эгот способ обладает, однако, тем недостатком, что он не дает ответа на вопрос, нсчерпываотся ли рядом (88.3) все независимые безразмерные комбинации рассматриваемых физических величин. Общий метод, изложенный в 4 87, и. О, свободен от этого недостатка. Поэтому мы приведем решение также по этому методу. При отыскании безразмерных комбинаций угол ф, нак величину безразмерну[о, можно не принимать во внимание. Из оставшихся семи величин составим комбинацию вида 1отй(тоаа! рвЕ». Если выразить размерности о, а, р, Е через размерности основных величин 1, т,1, то эта комбинация перейдет в 1отй(т!Ь1-Ь!Л зхлн[-знт»1-»1-з т.
е. в номбинацию Для того чтобы эта комбинация была безразмерной, должно быть а+6+Л вЂ” Зр — »=О, 6+И+» =О, у — 6 — 2Л вЂ” 2» =О. Из этих трех уравнений три неизвестных параметра можно выразить через остав. шиеся четыре. За независимые параметры проще всего принять 6, Л, р, », так как уравнения фактически уже разрешевы относительно оставшихся неизвестных а () у: а= — 6 — Л+Зр+», 5= — р— у = 6+ 2Л+ 2». получим 1) а= — 1, 3) а= — 3, () ()=О, Т=-[, 2) а= — 1, !)=О, 7=.2, =- — 1, у = О, 4) а = 1, [3 = — 1, у = 2.
соответствуют следующие безразмерные комбинации: 1) ™-, 2) - -., 3) [— , 4) — . Зтим значениям Параметры 6, Л, р, » могут независимо принимать любые значения. Полагая последовательно 1) 6=1, Л=р=»=0, 2) Л=1, 6=Я=»=0, 3) р=[, 6=.Л=»=0, 4)»=1, 6=Л=-И=О, 439 ПРАВИЛО РАЗМЕРНОСТИ з аз! Присоединив к ним угол гр, получим всего пять независимых безразмерных комбинаций. Все они являются функциями безразмерных комбинаций (88.3). Значит, рядом (88.3) исчерпываются все независимые безразмерные комбинации, которые можно составить из рассматриваемых физических величин.
2. Как зависит от высоты )> скорость свободного падения тела, если начальная скорость его равна нулю? Р е ш е н и е. Ускорение свободного падения и постоянно и не зависит от массы, плотности, упругих свойств тел и пр. Поэтому искомая скорость о может зависеть только от д и Д. Из безразмерных комбинаций (88.3) можно составить всего одну независимую безразмерную комбинацию п»(1а) или оз1(А>Д), содержащую только длину, скорость и ускорение. Она получается делением первой без. размерной комбинации ряда (88.3) на вторую. Поэтому должно быть 1 — )=О, 1га ! (уй ) откуда оз1(дд) = С = сопз(, или о' = СРД. Численный коэффициент С из теории размерности нзйти нельзя. 3.
Пользуясь соображениями размерности, найти зависимость периода колебаний Т физического маятника от его приведенной длины 1, ускорения силы тяжести и и угловой амплитуды сс. О т в е т. Т=гр(а) )~11а. Вид функции гр (а) из теории размерности определить нельзя. Если эту функцию разложигь в ряд Тейлора и сохранить в нем только нулевой член (что можно делать в случае малых колебаний), то получится Т=С У 1)я>, где С вЂ” постоянный численный коэффициент, значение которого из теории размерности определить также нельзя. То обстоятельство, что С ~ О, также не вьпекает из теории размерности, а должно быть установлено особо (например, опытным путем).
4. Пользуясь соображениями размерности, определить зависимость скорости распространения о продольных упругих возмущений в стержне от модуля Юнга Е и плотности материала р. О т в е т. о =С ) Е(р. Численный коэффициент Сиз размерных соображений найти нельзя. 5, Две певааимодействующие материальные ючки, находящиеся в центратьном силовом поле, описывают геометрически подобные траектории. Сила Т, действующая на каждую материальную точку, пропорциональна ее массе и меняется с расстоянием г до силового центра, как г", где и — постоянная.
Как связаны длины 1, и 1, геометрически подобных дуг траекторий с временами Т, и Т„затрачиваемыми материальными точками на прохождение этих дуг? Р е ш е н и е. Должна существовать связь между длиной дуги траектории 1, временем Т, затрачиваемым материальной точкой иа прохождение этой дуги, а также ускорением а, направленным к силовому центру. Ускорения можно брать в произвольных, но обязательно подобно расположенных точках. Из этих трех величин можно составить единственную независимую безразмерную комбинацию, за которую можно принять аТЧ1. Следовательно, должно быть аТзД = сопз!. Для ускорения можно написать а = Аг", где А — постоянная, одинаковая для обеих материалькых точек.
В силу геометрического подобия траекторий, по которым движутся материальные точки, можно также написать а = ВР', где  — другая постоянная, также одинаковая для обеих точек. В результате получим ТЧ" ' = = сопш, а потому Т'1>" ' = Т„-"(з" '. В частных случаях и = 1 и и = — 2 получаем Т = сопз! и ТИР =- сопз!. Первое соотношение означает, что а случае гармонического осциллятора период колебаний или период обращения вокруг силового центра не зависит от амплитуды или размеров орбиты.
Второе соотношение выражает третий закон Кеплера. Однако этот закон доказан здесь не в общем виде, а только для частиц, движущихся по геометрически подобным траекториям. гллвл хи МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 9 89. Общие свойства жидкостей и газов 1. В отличие от твердых тел жидкости и газы в состоянии равновесия не обладают упругостью формы "). Они обладают только объемной упругостью. В состоянии равновесия напряжение в жад«ости и газе всегда нормально к 1глощадкг, на которую оно действует. Касательные напряжения вызывают только изменения формы элементарных объемов тела (сдвиги), но не величину самих объемов. Для таких деформаций в жидкостях и газах усилий не требуется, а потому в этих средах при равновесии касательные напряжения не возникают.
С точки зрения механики жидкости и газы могут быть определены как такие среды, в которых при равновесии касательные напряжения существовать не могут. Из этого определения следует, что в состоянии равновесия величина нормального напряжения в жидкости или газе не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует. Для доказательства возьмем произвольно ориентированную площадку, внешнюю нормаль к которой будем характеризовать единичным вектором и. Так как напряжение нормально к площадке, то его можно представить в виде а„= — Рп.
Напряжения на площадках, перпендикулярных к координатным осям, запишутся как а„=- — Р„(, ак = — Р,Я а, = — Р,)г, где г',,у, й — ксюрдииатиые орты. Подставляя эти значения в формулу (74.1), получим Рп = Р„п„г'+ Р„пву+ Р,п,й. Умножая скалярно это соотношение последовательно на д', у, й, найдем (89. 1) Р = Р„= Ра = Р,. Отсюда заключаем, что в состоянии равновесия нормальное напряжение (давлгние Р) не зависит от ориентации площадки, на «вторую оно действует. Это — закон Паскаля (1623 — 1662). 2.
В случае газов нормальное напряжение всегда направлено внутрь газа, т. е. имеет характер давления, В жидкостях, как *) Исключения составляют жидкие пленки и поверхностные слои жидкостей. Однако связанные с ними явления в настоящей главе не рассматриваются. Они будут рассмотрены в т. 11 нашего курса. 441 ОбЩИЕ СВОЙГТВА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 4 Вэ! 1 В!с 7= — 7йрс или обратной ему величиной — модулем всеспюроннего ~=- р~ур (89.2) сжатия (89.3) Предполагается„что температура жидкости при сжатии поддержи- вается постоянной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
