Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Если это тело удерживается в равновесии, то в состоянии окружающей жидкости никаких излсгнений нг произойдет. Не изменится и давление, оказываемое жидкостью на поверхность 5. В результате мы приходим к закону л Архимеда. Если тело, погруженное в жидкость, удерживается в механическом равно- е весии, то со стороны окружающей жидкости оно подвергается выталкиваюсцей силе гидро- статического давления, численно равной весу жидкости в объеме, вытесненном телом. Эта вьапалкиваюшая сила направлена вверх и проходит через центр мисс А жидкости, вытесненной телом. Точку А будем называть центролс плавучести тела.
Ее положением, как будет показано ниже, определя1отся равновесие и устойчивость плавающего тела. 4. С помощью закона Архимеда решается вопрос о равновесии тел, плавающих в жидкости. Для равновесия необходимо, чтобы вгс тела был равен весу вытесненной им жидкости, а центр плавучести А лежал на одной вертикали с центром масс самого тела. Что касается устойчивости равновесия, то при решении этого вопроса надо различать два случая. С л у ч а й 1. Плавающее тело погружено в жидкость целиком.
В этом случае при любых смещениях и поворотах тела его центр масс С и центр плавучести А сохраняют свое положение относительно тела. Равновесие устойчиво, если центр ласс тела С лежит ниже его центра плавучести А, и нгустой сиво, если оп лежит выше А. Действительно, если тело слегка повернуть относительно положения равновесия вокруг горизонтальной оси, то в обоих случаях момент пары сил С1 и Р будет стремиться опустить точку С и поднять точку А (рис. 233). В результате этого тело приходит в положение устойчивого равновесия, в котором точка С расположена ниже точки А. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ ~ГЛ.
ХП С л у ч а й 2. Плавающее тело погружено в жидкость не целиком, а частично выступает над ее свободной поверхностью. По сравнению с предыдущим этот случай является более сложным, так как при смещении тела из положения равновесия меняется форма вытесняемого им объема жидкости. Вследствие этого положение центра плавучести относительно плавающего тела изменяется, что и усложняет исследование. Рассматриваемый случай представляет основной интерес при исследовании устойчивости плавающих ! р кораблей. На рис.
234, а схема- с~ тически изображен корпус ко- А А рабля в «килевом» положении, когда центр масс корабля С и центр плавучести А лежат на одной вертикали, совпадающей с вертикальной осью симметрии корабля. При наклоне корабля на малый угол «р (рис. 234, б) центр плавучести смещается относительно корабля в точку А', оставаясь практически на прежней высоте. Выталкивающая сила теперь проходит через точку А', и линия ее действия пересекает вертикальную ось симметрии корабля в точке М, называемой мета- центром. Если метацентр лежит выше центра масс корабля, то л/ Рис. 234.
момент пары сил Я, л«' будет возвращать корабль в исходное положение. В этом случае равновесие корабля устойчивое. Если же метацентр М лежит ниже центра масс корабля, то пара сил АЕ, Р будет еще болыпе отклонять корабль от исходного положения. В этом случае равновесие неустойчиво. Расстояние Ь между точками С и М называется метацентрической высотой. Если метацентрическая высота положительна, то равновесие устойчиво, если отрицательна, то неустойчиво. Чем больше й, тем устойчи- 4я! ГИДРОСТАТИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 9 9!! вее равновесие. Момент пары сил О и г', возвращающий корабль в исходное положение, называется выпрямляюи4им моментом.
Он, очевидно, равен М = Яй з !'и ф. (91.3) Величина й сама зависит от ф, так как при изменении наклона ф меняется и положение метацентра относительно корабля. Найдем это положение и вычислим метацентрическую высоту й в предельном случае бесконечно малых углов наклона ф.
Так как выталкивающая сила проходит через точку А' и направлена вертикально вверх, то ее момент относительно точки А будет Л' = — Я АМ ейп ф или (при малых ф) У =- Я (й + а) ф, где ав расстояние между центром масс корабля С и его центром плаву. чести в положении равновесия. Величина а считается положительной, если точка С лежит выше А, и отрицательной, если она лежит ниже А. Величина момента Л!, конечно, не зависит от того, в какой точке линии А'М выбрана точка приложения выталкивающей силы Р. Разложим силу тт на составляющую Р;, параллельную осн корабля АМ, и составляющую Рц, к ней перпендикулярную.
Если точку приложения силы гт поместить в А', то составляющая Н не даст момента относительно центра плавучести А, и вычисления упростятся. Тогда полный момент У будет создаваться только составляющей 1т. Понятно, что момент этой составляющей будет одним и тем же относительно всех точек, лежащих на оси АМ. Из изложенного следует, что величину Л' == Я (й + а) ф можно рассматривать как момент выталкивающих сил давления относительно произвольной точки оси АМ, если из этих сил вычесть их составляющие, перпендикулярные к той же оси.
Поэтому момент Л! можно вычислить иначе. Если корабль наклонен на угол ф, то выталкивающие силы давления с правой стороны увеличатся, а с левой— уменьшатся. При этом мы имеем в виду не полные силы, а только их составляющие, параллельные АМ. Пусть х — расстояние (координата) произвольной точки плоскости НН от оси т', проходящей через О перпендикулярно к плоскости рисунка. Тогда увеличение давления в соответствующей точке дна будет рдхф, а момент Л' представится выражением ЛТ = р аф ~ Х' Т(Ч = рд 1ф, где 1 — момент инерции поперечного сечения корабля вдоль ватерлинии относительно оси )':1=') х9 9(3 (ср. З 80, п.
1). Сравнивая оба выражения для Л', получаем й = -„—, — а, (91 А) где )т =- Я1р0) — водоизмещение корабля, т. е. объем вытесняемой им воды. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 1гл. хи 5. Рассмотрим теперь жидкость в сосуде, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью щ. Будем предполагать, что жидкость вращается вместе с сосудом, а сам сосуд обладает осевой симметрией, например имеет цилиндрическую форму. Зта задача сводится к статической, если перейти во вращающуюся систему отсчета, в которой жидкость покоится. Теперь в уравнении (90.5) у слагается из силы тяжести рп и центробежной силы ргозг, где г — радиус-вектор, проведенный от оси врагцения к рассматриваемой точке и перпендикулярный оси. Если поместить начало координат на оси вращения так, чтобы ось Л совпала с осью вращения, то уравнения (90.6) примут вид дР дР з дР д-='щ' д =Р" Р (91.5) Считая р постоянной и интегрируя, получим 1 Р = --рщ'(х'+у') — рдг+Ро (91.6) или (91.6а) Р = -- ргохгз — рйг+ Р,.
2 Уравнение свободной поверхности Р =- сонэ( принимает вид т)з юз (х' -1- дз) — дг =- сопз1. Зто — параболоид вращения, обращенный своей выпуклостью вниз. Если начало координат поместить в вершину параболоида, то постоянная Р, будет иметь смысл наружного атмосферного давления. Уравнение свободной поверхности жидкости бУдет г)з гоз (х' + У') = дг. Конечно, рассмотренную задачу можно трактовать и как чисто динамическую. Если жидкость вращается как целое, то при таком движении н ней ие возникают силы внутреннего трения. Единственные поверхностные силы, дейстаующне а жидкости, сводятся к силам нормального данлсния.
Поэтому а этом случае можно пользоваться уравнением Эйлера (90.7) независимо от того, является лн до жидкость идеальной или вязкой. При равномерном аращении производная сводится к центростремительному ускорению — ызг. Поэтому, полагая н ураннении (90.7) )'= ра', получим — рызг=рй' — ягад Р, а зто некторное уравнение экниаалентно трем ураанениям а яроекцнях (91.6). Если сосуд имеет плоское дно, то для определения давления на дно надо в формуле (91.
ба) положить г = — )т, где и — высота уровня жидкости над дном на оси вращения (напомним, что ось 2 направлена вверх). Получим Р— Р, = рйй+ — ргозгз. ! (91.7) Данление в центре, таким образом, минимально и монотонно возрастает к краям. С этим связано, например, следующее явление, ГидпостАтикА несжимаемой жидкости 453 $ м! Если чайной ложкой привести во вращение воду в стакане, то после прекращения помешивания чаинки и песчинки, имеющиеся в ней, собираются в центре дна.
Дело в том, что эти частицы тяжелее воды и опускаются на дно. Здесь их вращение замедляется благодаря силам трения о дно стакана, и под влиянием разности гидростатических давлений частицы перемещаются к центру даа. Вычислим теперь полную силу давления жидкости на дно сосуда. С этой целью воспользуемся уравнением свободной поверхности жидкости г/з шзгз =- Агг и перепишем формулу (91.7) в виде Р— Р, =- Ре'(А+ г).
Интегрируя по площади дна, найдем искомую силу Р = рд ~ (й -1- г) сьз = рд )г, (9!.8) где )г — объем жидкости в сосуде. Как и следовало ожидать, пол- ная сила давления равна весу этого объема жидкости. ЗАДАЧИ !. Жидкость налита в сосуд, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда. Вычислить момент сил гидростатического давления, действуюших на боко. вую стенку сосуда, относительно ее нижнего основания. ! О т в е т. М= рйаа5, где А — высота уровня жидкости относительно 3 дна, 5 — плошадь рассматриваемой боковой стенки сосуда. 2. Гидросшатический парадокс.
Сила давления жидкости на дно сосуда не зависит от формы сосуда, а только от площади дна, разности уровней поверхности жидности и дна, а танже от плотности жидкости. Так, зта сила будет одной и той же для всех трех сосудов, изображенных на рис. 235, если онн имеют одинаковое дно, а жидкость налита до одного и того же уровня.
Ири взвешивании сосудов с жидкостью весы долнгны показать один и тот же вес, поскольку показание весов зависит от силы, с ноторой дно сосуда Рис 235. Рис. 236. давит на чашку весов. Указать, н чем ошибочность приведенного рассуждения. Что в действительности покажут весы? 3. г!епосредственныы вычислением результирующей сил давления жидкости на поверхность погруженного тела и их моиентов убедиться в справелливости закона Архимеда. Р е ш е н и е. Мысленно разобьем погруженное тело на бесконечно тонкие вертикальные столбики (рис, 236) Допустим для простоты, что каждый столбик мвхлиикв жидкостпи и газов (гл хи пересекает поверхность тела только два раза.
(Случай, когда это условие не соблюдается, читателю предлагается разобрать самостоятельно.) Пусть г(5, н п5э — элементарные площадки, вырезаемые одним из столбиков на поверхности тела. Силы, лействующие на эти площадки, нормальны к ним и равны соответственно Р, г(5, и Р, о5х. Их вертикальные составляющие будут Р, В5, сова, и Р, ц5е соха„ нли Р, по н Р, оо, где Ла = в5, соз ц, = п5э соз аэ — плогцадь нормального сечения столбика. Результирующая этих двух сил, направленная вверх, равна оГ, —— = (Рэ — Рт)г(а =- рР)к(о = руЛг, где й — высота столбика, а б)г = дцо — его объем. Инзегрнруя по всему объему тела, находим ныталкиваюшую силу Р, =- = рй)г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
