Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Массовая сила пропорциональна массе дт, а с ней и обьему дг' элемента жидкости, на который она действует. Вту силу можно обозначить как аде', называя у объемной плотностью массовых сил. Важнейшими примерами массовых сил являются сила тяжести и силы инерции (когда движение рассматривают в неннерциальных системах отсчета). В случае силы тяжести у =- рп'„где р — плотность жидкости, а и' — ускорение силы тяжести.
Поверхностные силы — это такие силы, которым подвергается каждый объем жидкости благодаря нормальным и касательным напряжениям, действующим на его поверхности со стороны окружающих частей жидкости. 2. Рассмотрим случай, когда касательных напряжений нет, а есть только силы нормального давления.
В идеальной жидкости это будет всегда, т, е, прп любых движениях. В остальных Р случаях — тогда, когда жид- л > кость покоится, т. е. в гидро- статике. Определим равнодействующую сил давления, действующих на бесконечно малый элемент объема жидкости дг'. Сначала найдем проекцию этой равнодействующей на направление координатной оси Х. Возьмем в качестве элемента дГ бесконечно малый цилиндр с площадью оснований д5 и длиной дх (рис. 230), ориентированный вдоль оси Х. Абсциссы оснований цилиндра обозначим соответственно х и х + дх.
Сила давления, действующая на первое осно. ванне, равна Р (х) д5, на второе — Р (х -~- дх) д5. В скобках у Р указано значение аргумента х, от которого Р зависит. Конечно, Р может зависеть и от координат у, г, а также от времени й Но все эти аргументы не меняются при переходе от одного основания цилиндра к другому, а потому в рассматриваемом нами вопросе могут считаться постоянными.
При желании поперечные размеры цилиндра можно взять бесконечно малыми высшего порядка по сравнению с длиной дх. А тогда у и г могут рассматриваться постоянными не только при смещениях вдоль цилиндра, но и поперек. Силы давления, действующие на боковую поверхность цилиндра, перпендикулярны к осп Х„а потому при вычислении составляющих вдоль этой оси роли не играют. Итак, проекция сил давления на ось Х, действующих на рассматриваемый элемент объема жидкости, равна (Р (х) — Р (х+ дхД д5.
446 МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ «ГЛ. ХН Бесконечно малую разность в квадратных скобках можно заменить дифференциалом функции Р: Р (х+ йх) — Р(х) = йРу=сопа = ') йх. «'дР '«=.сопу1 ~вг у=оопп« 1 — ооп51 г=ооп51 1=сопу1 Дополнительные условия у =- сопз«, г = сопз(, « = сопз«указы- ЛР вают на то, что при взятии производной — и дифференциала йР лг координаты у, г и время 1 должны рассматриваться как постоянные. Производная функции Р (х, у, г, «), взятая при таких дополнительных условиях, как известно, называется частной производной и дР обозначается посредством — -. Используя это обозначение, полудк чаем для вычисляемой проекции силы — д-дай = — дулl дР дР в = — —, 3 ду' г дг Сам вектор в равен дР .
дР ° дР в= — -- г' — --т' — — гг, дг ду дг (90.2) или сокращенно в = — агай Р. Мы ввели обозначение (90.3) игаб Р = — г+ —,у+ — )г. дР. дР . дР дх ду дг (90.4) Этот вектор называется градиентом скаляра Р (см. также 5 29). Таким образом, объемная плотность в результируюи«рй сил давления, действующих на элементы объема жидкости, равна гради- так как йЯ йх = йу'. Зта проекция, таким образом, пропорциональна величине элемента объема й)г, и ее можно обозначить как з„сЛ/. Величина з, есть х-составляющая силы, действующей на единицу объема жидкости, которая возникает из-за изменения нормального давления Р в пространстве.
По самому смыслу она не может зависеть от формы элемента Л'. Мы взяли Л' в виде цилиндра только потому, что таким путем достигается наибольшая простота и наглядность вычисления. Можно таким же путем найти проекции зу и з„выбирая в качестве дуг элементарные цилиндры, ориентированные параллельно координатным осям У' и 2. В результате найдем, что на единицу объема жидкости действует сила в, обусловленная поверхностными силами давления, точнее, их изменениями в пространстве. Бе проекции равны в д дР (90. «) й ЗО) УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ 447 р „— -- =). — етаг[ Р, 0о (90.7) ео где Π— скорость, а „вЂ” — ускорение жидкости в рассматриваемой точке.
Уравнение (90.7) называется уравнением Эйлера, 4. Уравнение (90.5) показывает, что при равновесии жидкости сила 7"(точнее, плотность силы или сила, действующая на единицу объема жидкости) должна выражаться градиентом Однозначной скалярной функции. Это есть необходимое и достаточное условие того, чтобы сила убыла консервативной (см. 9 39). Таким образом, для равновесия жидкости необходимо, чтобы силовое поле, в катарам она находится, было консервативным. В иеконсервативных силовых полях равновесие невозможно, Примером может служить проводящая жидность, помещенная в магнитное поле, когда через нее проходит электрический ток.
В этом случае со стороны магнитного поля на жидкость действует сила у = С [/В], где  — напряженность [точнее, индукция) магнитного поля, у — плотность тока, а С вЂ” численный коэффициент, значение которого зависит от выбора единиц, Поместим цилиндриче- Рис. 231 ский сосуд с раствором электролита (например, Сц30ч) над однил1 из полюсов силыюго электромагнита (рис.
23!). Вдоль оси цилиндра расположен цилиндрический проводнин. Между ним и боковой стенкой сосуда наложим электрическое напряжение в несколько вольт. В электролите вдоль радиусов цилиндра потечет электрический ток. Силву =- С [)В] будет направлена ио касательным к окружностям с центрами на оси цилиндра. 0на вызовет вращение жидкости вокруг указанной осн. Вращение будет ускоряться до тех пор, пока силы, детютвующие со стороны магнитного поля, не уравновесятся силами внутреннего и внешнего трения.
енту Р, взятому с противоположным знаком. Мы видим, что сила а обусловлена не величиной давления Р, а его ггространственными изменениями. Величина Р также существенна. Она определяет степень сжатия жидкости в рассматриваемой точке пространства. 3. В состоянии равновесия сила в должна уравновешиваться массовой силой ~. Это приводит к уравнению ига с[ Р = у, (90.5) которое является основным уравнением гидростатики. В координатной форме оно имеет вид дР дР дР дх ~*' ду 7а' да (90.6) Можно написать и основное уравнение гидродинамики идеальной жидкости. В этом случае формула (90.3) также применима, а потому мы получаем 448 1гл. хп МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 9 91.
Гидростатика несжимаемой жидкости 1. Если нет массовых сил (т. е. Г == 0), то уравнения (90.8) ВР дР дР сводятся к — = - - = в — — -О. Отсюда следует, что в этом случае дх ду вг при равновесии давление Р одно и то же по всему объему жидкости. Если жидкость находится в поле тяжести, то у = рд. Направим Ось Л вертикально вверх. Тогда основные уравнения равновесия жидкости примут вид (9!.1) Из ннх следует, что при механическом равновесии давление не может зависеть от х и у.
Оно должно оставаться постоянным в каждой горизонтальной плоскости г == сопз(. Горизонтальные плоскости суть плоскости равного давления. В частности, свободная поверхность жидкости горизонтальна, поскольку она находится под постоянным давлением атмосферы. Таким образом, при механическом равновесии давление может зависеть лишь От координаты г.
Из третьего уравнения (91.1) следует поэтому, что для механического равновесия необходимо, чтобы произведение ра было функцией только г. Так как д не зависит от х и у (зависимостью д от географической широты и долготы места мы пренебрегаем), то, следовательно, и плотность р может меняться только с высотой. В силу уравнения состояния (89.4) давлением Р и плотностью р определяется температура жидкости Т, Итак, при механическом равновесии давление, температура и тготность жидкости являютея функциями только г и не могут зависеть от х и у.
2. Допустим теперь, что жидкость однородна и ее можно рассматривать как несжимаемую (р — сопз1). Кроме того, будем считать постоянным ускорение силы тяжести д, пренебрегая его зависимостью от высоты г. Тогда легко интегрируется и последнее уравнение системы (91.1). В результате такого интегрирования получим (91. 2) Р =- Ро — раг Постоянная интегрирования Р„есть давление жидкости на высоте г .= О, т.
е. атмосферное давление, если начало координат поместить на свободной поверхности жидкости. Формула (91.2) определяет также давление жидкости на дно и стенку сосуда, а также на поверхность всякого тела, погруженного в жидкость. Ока охватывает всю гидростатику, излагаемую в школьных курсах физики. 3. Остановимся теперь на законе Архимеда (ок. 287 — 212 г, до н. э.) и связанных с пим вопросах. Выделим мысленно из жидкости произвольный обьем, ограниченный замкнутой поверхностью 5 (рис. 232). Если жидкость находится и механическом равнове- $9Ц ГИДРОСТАТНКА НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 449 сии, то, разумеется, должен находиться в равновесии и выделенный объем.
Поэтому должны обращаться в нуль равнодействующая и момент всех внешних сил, действующих на рассматриваемый объем жидкости. Внешние силь1 — это вес Я выделенного объема жидкости и давление на поверхность 5 со стороны окружающей жидкости. Значит, равнодействующая Р сил гидростатического давления, действующих на поверхность 5, должна равняться Я— весу жидкости в обьеме, ограниченном поверхностью 5. Эта равнодействую1цая должна быть направлена вверх и проходить через центр масс А выделенного объема жидкости, чтобы полный момент внешних сил, действующих на него, был равен нулю. Допустим теперь, что жидкость из выделенного нами объема удалена, и на ее место помещено любое твердое тело.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
