Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 113
Текст из файла (страница 113)
$931 КИНЕМАТИЧЕОКОЕ ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ 469 9 93. Кинематичесиое описание движения жидкости 1. Для описания движения жидкости можно поступить двояко. Можно проследить за движением каждой индивидуальной частицы жидкости, т. е. указать положение и скорость этой частицы в каждый момент времени. Тем самым будут определены и траектории всех частиц жидкости. Но можно поступить и иначе. Можно проследить, что происходит с течением времени в каждой точке пространства. Точнее, можно указать величины и направления скоростей различных частиц жидкости, которые в различные моменты времени проходят через одну и ту же точку пространства.
Если взять всевозможные точки пространства, но фиксировать время г, то при втором способе описания в пространстве получится мгновенная картина распределения скоростей жидкости — лоле скоростей. В каждой точке пространства будет указан вектор скорости той частицы жидкости, которая проходит через эту точку в рассматриваемый момент вре- йЮ а мени. Линия, касательная к которой указы- г вает направление скорости частицы жид- Л77г) кости, проходящей в рассматриваемый момент времени через точку касания, называется линией тока. Если поле скоростей, а следовательно, и соответствующие Рис.
237. ему линии тока не меняются с течением времени, то движение жидкости называется стационарным нли установившимся, Если же они меняются во времени, то движение называется нестационарным или неустановившимся. В случае не- стационарного движения при втором способе описания скорость жидкости явно зависит от координат и времени: О = О (к, г). При стационарном движении явной зависимости от времени нет, скорость зависит только от координат; О = О (к). 2. В случае нестационарного движения линии тока, вообще говоря, не совпадают с траекториями частиц жидкости.
Действительно, траектория указывает путь одной и той жв частицы жидкости за все время ее движения. Линия же тока характеризует направления движения бесконечного множества частшй которые в рассматриваемый момент находятся на этой линии. Только при стационарном течении линии тока совпадают с траекториями частиц. Для доказательства возьмем траекторию какой-либо произвольной частицы А (рис. 237).
Пусть А (7,) — положение этой частицы в момент времени Г„. Возьмем другую частицу В, которая в момент 79 занимает то же положение, что и частица А в момент го Так как движение стационарно, то через точку А (г,) частица А пройдет с той же скоростью, с какой пройдет через нее частица В в момент 1,. Значит, скорость частицы В в положении А (г,) направлена по касательной к траектории частицы А. Так как момент МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ ггл.
Хп времени 1, можно выбрать произвольна, то отсюда следует, что траектория частицы А является также линией тока. 3. Возьмем произвольный замкнутый контур С и через каждую точку его в один и тот же момент времени проведем линии тока (рис. 238). Они расположатся на некоторой трубчатой поверхности„называемой трубкой тока. Так как скорости частиц жидкости направлены по касательным к линиям тока, то при течении жидкость не может пересекать боковую поверхность трубки тока.
Трубка тока ведет себя подобно боковой поверхности жесткой трубки, вдоль которой течет жидкость. На такие трубки тока можно разбить все пространство, занимаемое жидкостью. Если поперечное сечение трубки тока бесконечно мало, то можно считать, что скорость жидкости одна и та же во всех точках одного и того же поперечного сечения и направлена вдоль оси трубки тока. Масса жидкости, протекающая за время й1 через поперечное сечение трубки, определяется выражением где р — плотность жидкости, а 5 — площадь (нормального) поперечного сечения трубки. В случае стационарного течения масса йп будет одной и той же для всех сечений трубки тока. Если взять два сечения, площади которых равны 5, н 5„то можно написать р1о151 р2О252 (93.2) Если бы это равенство не соблюдалось, то масса жидкости между сечениями 5, и 5, изменялась бы во времени.
А это противоречит закону сохранения массы и предположению о стационарности течения. Если жидкость несжимаема, то р, = р„и соотношение (93.2) принимает вид (93.3) Скорость жидкости в одной и той же трубке тока тем больше, чем уже поперечное сечение трубки. Оиа обратно пропорциональна площади этого поперечного сечения. 9 94. Стационарное движение идеальной жидкости.
Уравнение Бернулли 1. Изучение движения реальных жидкостей и газов, вообще говоря, представляет очень сложную задачу. Для ее упрощения сначала полностью пренебрегают силами внутреннего трения. Рассматривают случай идеальной жидкости, в которой при любых движениях не вознииают касательные и нормальные силы внутреннего УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ трения (см. 9 89, п.
6). Единственные поверхностные силы, которые могут действовать в идеальной жидкости, — это силы нормального давления Р. При этом само давление Р однозначно определяется плотностью и температурой жидкости. Для упрощения жидкость считается также несжимаемой. 2. Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости в каком-либо консервативном силовом поле, например в поле силы тяжести. Применим к этому течению закон сохранения энергии. При этом будем полностью пренебрегать теплообменом, который может происходить между частями жидкости с окружающей средой. Выделим в жидкости бесконечно узкую трубку тока н рассмотрим часть жидкости, занимающую объем МЫОС (рис. 239). Пусть эта часть переместилась в бесконечно близкое положение М,Л1,0,С,. Вычислим работу А, совершаемую при этом силами давления. Давление, действующее на боковую поверхность трубки тока, Н перпендикулярно к перемещению и работы не совершает.
При Ре перемещении границы МЛ' в по- С ложение М,Ж, совершается ра- С ! бота А„= Р,Я, 1н где 1, = ММ,— Рис. 239. величина перемещения. Введя объем Л,'у' = 5,1„ ее можно представить в виде А, = Р,Ь'у1 или А, = Р,— '~, где Л,т — масса жидкости в объеме МЖУ,М . При 1 1 перемещении границы С0 в положение С,0, жидкость совершает работу против давления Р, (или давление Р, совершает над жидкостью отрицательную работу).
Для нее, рассуждая аналогично, Аии найдем А,= Р, —, где Л,т — масса жидкости в объеме С00,С1. Рс Но если движение стационарно, то масса жидкости в объеме М,Л',0С не изменится, а потому из закона сохранения массы получим Л,т = Л,т. Опуская индексы у Лт, для работы, совершаемой внешним давлением, окончательно находим — -~Р, Эта работа должна быть равна приращению ЬЕ полной энергии выделенной части жидкости. Ввиду стационарности течения энергия жидкости в объеме М,Л',0С не изменилась. Поэтому величина ЬЕ равна разности энергий массы жидкости Лт в положениях С00,С, и МУЖ,М. Обозначая посредством е полную энергию, приходящуюся на единицу массы жидкости, находим ЬЕ = (е, — е1) Лт. Приравнивая эту величину работе А и сокращая на Лт, получаем ее+ = ее+ (94А) Р1 Ри мехАникА жидкостаи и ГАЗОВ 1ГЛ.
Х11 Отсюда следует, что вдоль одной и той же линии тока при гта- 1(ионарном течении идеальной жидкости величина е + Р( р остаетвя постояннойь е+ — = В = соп51. (94.2) Р Это соотношение называется уравнением Даниила Бернулли (1700 — 1782), который впервые опубликовал его в 1738 году. При выводе уравнения Бернулли мы нигде не использовали предположения о несжимаемости жидкости.
Поэтому оно справедливо и для сжимаемых жидкостей, Требуется только, чтобы жидкость была идеальной, а течение — стационарным. Однако разбор и применения уравнения Бернулли для сжимаемых жидкостей и газов мы отложим до второго тома, так как это требует знания явного выражения для энергии е. Здесь ограничимся рассмотрением несжимаемых жидкостей, движущихся в поле тяжести Земли. Именно в этих предположениях уравнение (94.2) было установлено самим Бернулли. Если жидкость несжимаемая, то при течении не меняется та часть полной энергии е, которая зависит от сжатия жидкости.
Эту часть поэтому можно не принимать во внимание. Вся-энергия в складывается из кинетической энергии единицы массы жидкости ое/2 и ее потенциальной энергии дй в поле тяжести. В этом случае уравнение Бернулли принимает вид ьй Р— +ф$+ — = В = соп51. 2 Р (94.3) 3. Подчеркнем еще раз, что постоянная Бернулли В одна и та же вдоль одной и той же линии тока. Однако она, вообще говоря, может меняться при переходе от одной линии тока к другой.
Но могут быть и такие случаи, когда постоянная Бернулли одна и та же для всего потока жидкости. Отметим один, довольно часто встречающийся случай, когда это имеет место. Допустим, что все линии тока начинаются или оканчиваются в такой области, где жидкость практически находится в состоянии покоя. Возьмем одну из точек линии тока в такой области. Тогда в уравнении (94.3) следует положить о = О, и мы получим В = дй+ Р!р. Но во всей области, где жидкость покоится, соблюдается условие равновесия йй + Р7 р = = соп51. Отсюда и видно, что постоянная Бернулли В в рассматриваемом случае одна и та же для всего потока жидкости. Более общим является случай, когда в некоторой области пространства несжимаемая идеальная жидкость движется параллельным потоком в любом направлении с постоянной скоростью о„а затем параллельность потока нарушается препятствиями, стоящими на его пути, или вследствие расширений или сужений трубы или русла, по которым течет жидкость.
В этом случае постоянная Бернулли В также одинакова для всех линий тока. Чтобы убедиться в этом, УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ достаточно перейти к системе отсчета, равномерно движущейся относительно исходной со скоростью о„. 4, Допустим теперь, что тонкая трубка тока имеет переменное поперечное сечение, а ось ее горизонтальна. (Примером может слу- жить горизонтальная труба переменного сечения, по которой течет жидкость). Тогда й = сопз1, и уравнение Бернулли принимает вид РРР— + — = сопз1. 2 (94.4) Отсюда видно, что давление больше там, где меньше скорость и, и наоборот.
С другой стороны, согласно соотношению (93.3), ско- рость о минимальна там, где максимально сечение трубки. Значит, в широких частях трубки давление максимально, а в узких — ми- нимально. Такой результат является непосредственным следствием второго закона Ньютона. Действительно, когда жидкость из широ- кой части течет в узкую (рис. 240), то скорость ее возрастает. Значит, ускорение направлено в сторону течения, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
