Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 116
Текст из файла (страница 116)
Другим примером может служить поведение жидкости во вращающемся сосуде. Если вертикальный цилиндрический сосуд, наполненный жидкостью, привести в равномерное вращение вокруг своей оси, то жидкость постепенно также приходит во вращение.
Сначала начинают вращаться слои жидкости, прилегающие к стенкам сосуда. Затем вращение передается внутренним слоям, пока вся жидкость не начнет вращаться равномерно, как твердое тело. Таким образом, пока движение не установилось, происходит непрерывная передача вращения от сосуда к жидкости, а также от наружных слоев жидкости к внутренним.
Такая передача вращения была бы невозможна, если бы не существовало касательных сил, действующих между жидкостью и стенкой сосуда, а также между слоями самой жидкости, вращающимися с различными угловыми скоростями. Зги касательные силы называются силами трения — внутреннего, если они действуют между слоями самой жидкости, и внеи4него, если это силы взаимодействия между жидкостью и стенкой сосуда.
Наибольший интерес представляют силы внутреннего трения, называемые также силами вязкости. Вопрос о происхождении внутреннего трения здесь мы оставляем открытым. Этим вопросом мы займемся в томе П при изучении молекулярной физики. 2. Для нахождения количественных законов внутреннего трения лучше всего начать с простейшего примерй. Рассмотрим две параллельные бесконечно длинные пластинки, между которыми находится слой жидкости. (Пластинки считаются бесконечными, если их длина и ширина значительно больше расстояния между ними.) Нижняя пластинка АВ неподвижна, а верхняя С0 движется относительно нее с постоянной скоростью е, (рис. 256). Оказывается, что для поддержания равномерного движения пластинки СВ к ней надо приложить постоянную силу Р, направленную в сторону движения. На пластинку АВ должна действовать такая же, но противоположно направленная сила, чтобы удержать эту пластинку в покое.
472 МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ [ГЛ, ХП Величина силы Р, как экспериментально было установлено еще Ньютоном, пропорциональна скорости и„ площади пластинки 3 и обратно пропорциональна расстоянию Ь между пластинками: "=цЗ -"й (96.1) л м Ю Рис, 256. Чтобы убедиться в этом, достаточно перейти в систему отсчета, в которой пластинка АВ покоится. Заметим далее, что при равномерном движении пластинки СО жидность должна действовать на нее с силой — Р, чтобы полная сила, приложенная к пластинке СР, обращалась в нуль.
Значит, сама пластинка СР будет действовать на жидкость с силой +Р, Аналогично пластинка АВ будет действовать на жидкость с силой — Р. Кроме того, исследования показали, что жидкость, обладающая вязкостью, прилипает к поверхности твердого тела, которое она обтекает. Иными словами, скорости частиц жидкости относительно поверхности твердого тела, на которой они находятся, равны нулю. Поэтому в формуле (96.2) силы Р и — Р можно считать приложенными не к пластинке, а к границам заключенного между ними слоя жидкости.
Точно так же О1 и оз можно отождествить со скоростями движения тех же границ жидкого слоя. Тем самым при введении понятия коэффициента вязкости надобность в пластинках отпадает. 3. В целях обобщения формулы (96.2) допустим, что жидность течет в направлении оси Х, причем скорость течения зависит только от координаты у: и„= п„(у), и„= и, = О.
Вырежем мысленно жидкий слой, ограниченный бесконечно близкими плоскостями, перпендикулярнь[ми к оси У. Пусть эти плоскости пересекают ось У в точках с ордииатами у и у + [[у (рис. 267). Здесь т[ — постоянная, называемая козффи[[игнпюм внутреннего я[рения или вязкости жидкости (сокращенно ее называют просто вязкостью). Она не зависит от материала пластинок и имеет разные значения для различных жидкостей. Для данной жидкости коэффициент т[ зависит от параметров, характеризующих ее внутреннее состояние, и в первую очередь от температуры.
Не обязательно, чтобы пластинка АВ покоилась. Обе пластинки могут двигаться равномерно параллельно друг другу. Если скорость пластинки АВ равна и„ а пластинки СР— ем то вместо (96.1) можно написать более общую формулу Р=ЧВ "' ' . (96.2) 473 Вязкость Обозначим т„касательную силу, действующую на единицу площади верхней границы такого слоя со стороны вышележащей жидкости. Первый индекс у указывает направление внешней нормали к верхней границе слоя, а второй индекс х — направление действующей силы (ср.
9 74, п. 2). Обобщая формулу (96.2), для касательного напряжения т„„напишем дох тгг~ = г'1 ду' (96.3) Примем в согласии с опытом, что формула (96.3) справедлива не только для равномерного течения, но и для течения, скорость о, которого зависит от времени. Касательное напряжение на нижней границе слоя т,„направлено в сторону, противоположную т„, Оно отличается от т „„бесконечно мало ввиду бесконечной малости толщины слоя йу (т,„= — т „„). .с д ' Егг « У'~У У Рис.
257. А «Б' Рис. 258. 4. Выделим теперь в том же параллельном потоке жидкости бесконечно малый параллелепипед АВСО с ребрами, параллельными координатным осям (рис. 268). Теизор напряжений, как следует из уравнения моментов, симметричен (см. ч 74, и. 4). Поэтому на основаниях параллелепипеда ВС и АО, перпендикулярных к потоку, должны также существовать касательные напряжедгл ния, причем тге = т„= и — —. Таким образом, касательные наде пряжения действуют не только в гглоскостях, параллельных темнию, но и в плоскостях, перпендикулярных ему.
Допустим теперь, что жидкость течет ие параллельным потоком, а произвольным образом. Примем, что касательные составляющие теизора вязких напряжений зависят только от скоростей деформаций жидкости, а не от самих деформаций н их высших производных по времени.
Ограничимся линейным приближением, т. е. будем пренебрегать квадратами и высшими степенями скоростей деформаций. В этом приближении касательные напряжения являются дс„ линейными однородными функциями скоростей деформаций — -", дд ' дс, до„дь дь дь „ — -", - — ", - -'-,— ', -- ". Если бы из этих шести производных на гра- МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕИ И ГАЗОВ (гл, хи до нице СР была отлична от нуля только производная — ', то вдоль ду оси Х на этой границе действовало бы касательное напряжение т„х= Ч вЂ”.
ЕСЛИ бЫ ОтЛИЧапаСЬ От НуЛя ТОЛЬКО ПрОИЗВОдная —— дох А~и ду ' дк ' то касательное напряжение имело бы то же направление и было доа дох равно т" = т) †. А если отличны от нуля обе производные— их дк' др доя и —, то касательное напряжение на границе С0 будет ти 1'дох дог'! = т„'„+ та, — — т) ( — + — — В Это непосРеДственно следУет из пРеДпо- (, дУ дк !' ложения о линейной однородной зависимости между касательными напряжениями и скоростями деформаций жидкости. Отсюда же следует, что найденное выражение для т„х сохранит свою силу, дед дог каковы бы ни были значения других производных — - — и т.
д. дг ' др Рассуждая аналогично, найдем выражения и для всех остальных касательных напряжений, действующих на гранях параллелепипеда АВСВ. Именно 1'дох доя') т)Гдр + дк) !до (96,4) 1дг др!' Если жидкость несжимаема, то этих выражений достаточно для вывода дифференциальных уравнений движения жидкости. Если же жидкость сжимаема, то к ним надо добавить еще выражения для нормальных напря- А ' жений. Мы не будем приводить здесь зти выражения, так как они нам ие понадобятся.
5. Рассмотрим частный случай, когда вязкая жидкость вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ю. Линии тока имеют форму окружностей. Пусть А — бесконечно малый участок линии тока длины г игр (рис. 259), Касательвое напряжение д иа цилиндрической поверхности, на которой лежит зтот участок, очевидно, направлено в сторону вращения. Его следует обозначить посредством т . Первый индекс г указывает направление внешней вормали к цилиндрической поверхности, второй индекс !р — положительное направление касательного напряжения. В рассматриваемом случае роль ду играет до роль дк — длина дуги АВ =- г д р. Позтому нз (96А) для касательного напряжения т, получаем ' до, до, ) 475 Вязкость В точке А радиальная составляющая скорости о равна нулю. В точке В появляется составляющая скорости вдоль радиуса ОА, равная оо = — о, йр, так до, что — ' = — о, а потому д(р г дое о„~ т =Ч (дг г )' (96.
5) Подставляя сюда о = юг, получим Ф ди тге=Чг —. дг ' (96.6) доз Вязкие напряжения исчезают, если — =О, т. с. если жидкость вращается дг как целое, подобно твердому телу. Этого не получилось бы, если бы в формуле (96.7) не было учтено второе слагаемое. 6. В качестве примера на применение формулы (96 5) рассмотрим установившееся движение жидкости между двумя равномерао вращающимкся коаксиальными цилиндрами. Пусть ( — высота циливдров, )7, и )сз — их радиусы, а Йг н Из — угловые скорости.
Величину ( будем предполагать очень большой по сравнению с толщиной зазора Йз — )с, между цилиндрами. Тогда цилиндры можно считзть бесконечно длинными и отвлечься от осложняю. щих обстоятельств, вносимых их краями. Проведем в жидкости произвольную цилиндрическую поверхность радиуса г (рис. 260). Момент сил вязкости, действующих на этой поверхности, относительно осн вращения равен М 2пге(т = 2ят)(га —.
ды гав При установившемся нращенни жидкости Рис. 260, этот момент не должен зависеть от радиуса г. Только при этом условии момент сил, действующих на жидкость, заключенную между двумя любыми коаксиальными цилиндрическими поверхностями, обращается в нуль, а момент количества движения жидкости сохраняется. Таким образом, мы приходим к уравнению дш гз — = сопз(. дг Обозначая входящую сюда постоянную — 2А и интегрируя, получим А ш= —;.+С, гз где С вЂ” постоянная интегрирования. Постоянные А и С определятся из тра яичных условий. Так нак вязкая жидкость прилипает к поверхности тела, которое она обтекает, то угловая скорость ы прн г = )с, должна обращаться в Йы а при г= )са — в ()а. Это приводит к двум уравнениям А А —,+С=()ы —,+С=()м )за 476 михлиикл жидкостни и глэов (гл. хи решая которые находим А — и) 1 (11, о), О= п~' — )?.-", — )?," и далее )?'-,')?1) От — Оз )?(Оз — )?111, (96.8) Момент сил вязкости, действующих на внутренний цилиндр, равен М = 2гп)1 ( — 2А) =4пт)1,' " „(Оз — (1,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
