Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Теперь надо найти момент вертикальных выталкивающих снл, действующих иа столбики, относительно произвольной оси. Если ось вертикальна, то момент, очевидно, равен нулю, Поэтому достаточно ограничиться вычислением момента относительно произвольной горизонтальной оси. Примем таковую за координатную ось Х.
Искомый момент будет М = ~ у цР, = й ~ ру г()Г = й ') у йп, где г(ш — масса жидкости, вытесненная соответствующим столбиком тела. Анапе. гично, для момента относительно оси г': Ма — — д ~ х г(вь й!омент обратится в нуль, когда ~ х с(гл = ~ у от=О, т. е. когда начало координат помещено на вертикальной оси, проходящей через центр плавучести тела. Тем самым доказано, что линия действия выталкивающей силы проходит через центр плавучести тела. Для завершения доказательства надо было бы еще исследовать, какие силы давления действуют на поверхность погруженного тела в горизонтальных направлениях.
Однако этот вопрос не нуждается в специальном исследовании. Например, когда речь идет о силах, действующих параллельно оси Х, то достаточно разбить тело на бесконечно малые столбики, параллсльныс этой оси, а затем повторить все сказанное выше, с той тольно разнипвй, что величину й надо положить равной нулю. Отсюда следует, что равнодействующая горизонтальных сил давления, действующих на погруженное тело, и их момент равны нулю. 4. Найти условие устойчивости однородного прямоугольного параллеле. пинеда, плавающего на поверхности жидкости в положении, когда одно из оснований его горизонтально. Длины сторон горизонтального основания А и В, высота С (А > В).
Плотность материала тела относительно жидкости р < 1. О т в е т. В' > бр (! — р) С'. 5. Та же задача для однородного цилиндра радиуса г и высоты 1, плавающего в вертикальном положении. О т в е т. гз > 2 р (! — р) и. 6. Та же задача для однородного цилиндра радиуса г и длины 1, плавающего в горизонтальном положении.
а '1з От не т. — >!2 ап . ), где угол сг определяется из трансцендентного г ', 2г' уравнения а — з)пи = 2пр. Например, при р — "- Нэ нз него получаем а =- и, и условие устойчивое~и принимает вид 1 > 4г. При других значениях р равновесие может быть устойчивым н при меньших значениях 1. Так, при а =-л(2 ни = = Зп(2 получаем соответственно р = !14 — 11(2п) 0,09! и р =- 314 + 1'(2п) 0,84!. При таких значениях р равновесие устойчиво, есле 1 > 2г. Прн 1 > 4г равновесие устойчиво, каково бы ни было р < !. 7. Найти распределение давления внутри земного шара, считая его состоящим из однородной несжимаемой жидкости и пренебрегая осевым вращением Земли.
Вычислить в том же приближении давление в центре Земли Р, (см. задачу 5 к 4 55). О т в е т. Р=- — Яз — г'), Р = — рд)(, г — расстояние от центра Земан, рй 2)Г 2 )1 — радиус Земли Если бы земной шар состоял из несжимаемой воды, то было бы 1 Р = - — )с (Р— в атмосферах, )7 — в метрах). С учетом плотности Земли 20 (р = 5,5) Рц — — 0,275(с — 1,?5 !О" атм. гилРОстАтикА несжимАемОЙ жилкОсти 455 4 зз] 8.
Оценить сплюснутость Земли, обусловленную ее осевым вращением, счн. тая Землю однородным несжимаемым жидким шаром. Р е ш е н и е. Так как фигура Земли мало отличается от шаровой, то ускорение силы тяжести внутри земного шара можно считать направленным к центру Земли и пропорциональным расстоянию до ее центра (см, задачу 5 к 4 55). В этом приближении с учетом центробежной силы уравнения гидростатиии (90.6) принимают вид где й, — радиус Земли, ы — угловая скорость ее вращения. Начало координат мы поместили в центре Земли, а ось 2 направили вдоль осн ее вращения. Интегрируя зги уравнения, получим — — ---~ ( +уз) — — г'+С, й) рв 2( йо! 2йо где С вЂ” постоянная интегрирования, определяющаяся значением давления Р иа земной поверхности (его можно считать равным нулю, так как атмосферное давление пренебрежимо мало).
Сплюснутость Земли определится из требования постоянства давления на земной поверхности Выбрав сначата точку на экваторе, а затем на полюсе, пишем Р (йо, О, 0) = Р (О, О, й„), где й, и й„— экваториальный и полярный радиусы Землй. С учетом явного вида Р отсюда получаем ыг .й.')й» вЂ” й йо йог йо и далее йойо Ййо п Следовательно, для сплюснутости е земного шара получается йо й» ыгйо в= йо 2л 580 Действительное сжатие Земли заметно больше, а именна г(гог.
Расхождение объясняется грубостью модели, положенной в основу рассуждений, а также несовершенством метода расчета. При строгой постановке задачи надо учитывать, что поле тяготения сплюснутого шара не является центральным *). Тем самым задача сильно усложняется, так как гравитационное поле уже неизвестно заранее, а само зависит от неизвестной формы поверхности Земли. Подробное исследование показывает, что задача, сформулированная таким образом, не имеет однозначного решения. Возможно несиолько различных форм равновесной поверхности, в том числе и эллипсоид вращения с определенной степенью сжатии.
') С учетом этого обстоятельства расчет дает 5 оогйо 4 л 2Зг' дР— = — рй дх дР дд дР— = — ру дг х — -)- оыгх, йо +р гр г МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ Н ГАЗОВ $ 92. Барометрическая формула [гл, хы 1. Обратимся теперь к гидростотике сжимаемой жидкости. Наибольший интерес представляет равновесие земной атмосферы. Зтот случай мы и рассмотрим. Дифференциальные уравнения (90.5) и (91.1) были выведены без использования предположения о несжимаемости жидкости, а потому мы воспользуемся имн и здесь.
Первые два уравнения системы (91.1) можно не учитывать, так как из них следует лишь, что давление Р может зависеть только от г. Оставшееся третье уравнение можно переписать в виде — = — РЯ. ВР д2 (92. 1) дР дР так как частная — и полная — „- производные теперь означают дг д2 одно и то же. Но одного уравнения (92.!) Недостаточно, поскольку в него входят две неизвестные функции — давление Р и плотность Р. Нужно дополнительное соотношение между ними. Будем предполагать, что состав атмосферы одни и тот же на всем ее протяжении.
Давление Р, плотность р и температура Т газа в состоянии равновесия связаны уравнением состояния. Если газ не слишком плотный, то таковым является уравнение Клапейрона (1799 — 1864) Р= р, КТ и где р — молекулярный вес газа, а Р— универсальная газовая постоянная. Ее численное значение равно приближенно )с=8,31 10' эрг К ' моль-'=8,31 Дж К-' моль-'. Соотношение (92.2) позволяет исключить из уравнения (92.1) плотность р.
В результате получится — = — — Р. дР РЛ д2 нТ (92.3) Понятно, что таким путем мы еше не достигли цели, так как вл2есто неизвестной плотности р ввели новую неизвестную величину— температуру Т. Однако последнюю легче измерить на различных высотах. Если Т известна как функция г, то уравнение (92.3) уже можно будет проинтегрировать. Следовательно, задача определения давления на различных высотах становится вполне определенной, если задать закон изменения температуры Т с высотой. 2. Если отсутствуют ветры и воздушные течения, т.
е. атмосфера неподвижна, то говорят, что она находится в механическом равновесии. Такое состояние не является еще состоянием полного равновесия. Для последнего, кроме того, необходимо, чтобы атмосфера находилась также и в тепловом равновесии. Тепловое равновесие означает, что температура 7 одна и та же на протяжении всей 457 БАРОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА 6 92» атмосферы. Если это имеет место, то атмосферу называют изотермической. Конечно, изотермическая атмосфера — это идеализация.
Но рассмотрение этого идеализированного случая тем не менее представляет большой интерес. При Т = сопз( уравнение (92.3) легко интегрируется. Для этого переписываем его в виде аР иа — = — — йе Р ГсТ и после интегрирования находим или РЕ» р р лг (92.4) По тому же закону меняется и плотность воздуха, а именно на» лг. (92.5) Соотношения (92.4) и (92.5) называются барометрическими формулами. Постоянные интегрирования Р, и р, имеют смысл давления и плотности воздуха на поверхности Земли.
Давление и плотность воздуха убывают с высотой по экспоненциальному закону. При поднятии на высоту 8=в (92.6) И' они убывают в е раз. Величина 6 называется высотой однородной атмосферы. Смысл этого названия станет ясным, если поставить следующий вопрос. Какую высоту Н должна была бы иметь воображаемая атмосфера постоянной плотности р„чтобы она производила на поверхность Земли такое же давление Р, как и действительная атмосфера? Очевидно, искомая величина определится из условия Р, = р»дН. Но из уравнения состояния (92.2), если его применить к слою воздуха, прилегающему к поверхности Земли, следует Р,= — р„.
Используя это соотношение, получаем Н = г»т йт = —, т. е. Н = Ь. Считая средний молекулярный вес воздуха Ре ' равным р = 28,8, находим для высоты однородной атмосферы при нуле градусов Цельсия (Т = 2?3 К): 6= 2 = 8000 м=8 км. 8,31 2?3 28,8 . 9,8 Подставляя Ь в барометрическую формулу (92.4), можно переписать ее в виде Р=Р»е- ~А. (92.7) В таком виде формула удобна для определения разностей высот двух или нескольких точек земной атмосферы. Для этого нужно МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 1ГЛ. х11 знать давление воздуха в этих точках, а также температуру.
Последняя в пределах рассматриваемых высот, разумеется, должна быть одной и той же. 3. Сделаем в заключение одно замечание относительно устойчивости механического равновесия атмосферы. Мы не будем вводить ограничения, что температура одна и та же на всех высотах, а будем предполагать, что она может меняться с высотой как угодно. Если нарушено состояние механического равновесия, в результате которого некоторая масса воздуха немного поднялась вверх, то в новом положении она будет подвергаться меньшему внешнему давлению.
В результате поднявшаяся масса воздуха расширится, а ее плотность уменьшится, так как вследствие малой теплопроводности воздуха во время поднятия рассматриваемая масса практически не будет получать и отдавать тепло. Если окажется, что в новом положении плотность поднявшейся массы больше плотности окружающего воздуха, то эта масса, как более тяжелая, опустится вниз, и равновесие восстановится. Если же ее плотность окажется меньше плотности окружающего воздуха, то она будет подниматься еще выше, и механическое равновесие окажется неустойчивым. Аналогичные соображения справедливы и для случая, когда нарушение механического равновесия совершается путем небольшого опускания какой-либо массы воздуха. В этом случае опустившаяся масса сжимается внешним давлением. Если в новом положении ее плотность меньше плотности окружающего воздуха, то она начнет подниматься, и равновесие восстановится. Наоборот, если эта плотность окажется больше, то рассматриваемая масса начнет опускаться еще ниже, т.
е. равновесие окажется неустойчивым. Эти рассуждения, разумеется, применимы не только к атмосфере, но и к любой неравномерно нагретой сжимаемой жидкости, находящейся в механическом равновесии в поле тяжести. Что касается земной атмосферы, то исследования показали, что изотермическая атмосфера в рассматриваемом смысле устойчива. Еще большая устойчивость получается, когда температура воздуха возрастает с высотой. Если же температура убывает с высотой, то механическое равновесие воздуха возможно лишь тогда, когда это убывание происходит не слишком быстро. При убывании температуры с высотой более чем на один градус на каждые 100 метров высоты атмосфера теряет механическую устойчивость.
Появляются восходящие и нисходящие потоки воздуха (конвекция). Во втором томе эти вопросы будут рассмотрены более подробно. ЗАДАЧА На какую высоту Н, надо подняться, чтобы давление (иаотермической) Ч» атмосферы уменьшилось в 2 равау Ответ. И, =-Л!п2смо,оз км (при О'С).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
