Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Обозначив эту постоянную т, получим дифференциальное уравнение х — =т, Г (х) )(х] или в( (х) Вх — =т —. ((х) х ' Отсюда находим 7' (х) = )эх'", где ~, — постоянная интегрирования. Таким образом, у = ~,х'". Аналогично У = ),Х" или ()у = )„(ах) . Исключая почленным делением х и у, находим р — <~я (87. 1) Зто и есть формула размерности. Мы видим, что требование независимости функциональной связи между у и х от выбора масштаба единицы основной физической величины х может быть удовлетворено только тогда, когда размерность выражается формулой степенного вида. Приведенные рассуждения без труда обобщаются на случай, когда рассматриваемая физическая величина зависит от нескольких основных физических величин.
Для этого в рассуждениях надо только фиксировать единицы всех основных физических величин, за исключением одной нз них. Таким путем нетрудно показать, что формула размерности должна быть степенного вида относительно всех основных физических величин. Допустим, например, что число основных величин выбрано равным трем, и за них приняты длина (7.)„масса (М) и время (Т). Тогда размерность любой физической величины у представится формулой (у) = 7.еМ'Т; (87.2) где р, д, г — постоянные числа. Формула (87.2) означает, что если единицы длины, массы и времени уменьшить соответственно в и, )) и у раз, то единица производной величины у уменьшится в яереу' раз, а следовательно, ее численное значение увеличится в такое же число раз.
8. Если посмотреть на размерности физических величин, фактически встречающихся в физике, то нетрудно заметить, что во всех случаях числа р, д, г оказываются рациональными. Зто не обязательно с точки зрения теории размерности, а является результатом соответствующих определений физических величин. Так, например, скорость вводится по формуле о = э(( и поэтому имеет размерность 434 МЕТОДЫ ПОДОБТ!Я И РАЗМЕРНОСТИ юл х! длины, деленной на время.
Для нее и — 1, д = О, г = — 1. Но в принципе теория размерности допускает введение величин с иррациональнымн значениями р, д, г, например величины 11 1)з! '. Для такой величины было бы р = 1 2. Подобные величины не вводятся в физику не по каким-то принципиальным соображениям, а просто потому, что в них нет надобности.
Теория размерности здесь ни при чем. 4. Часто размерность физической величины отождествляют с ее единицей в соответствующей системе единиц. Так, например, говорят, что скорость имеет размерность см!с, а сила — г ем~с'. Хотя это и нелогично, но особой беды в этом нет. Всегда, если есть необходимость, единицы такого типа позволяют перейти к формулам размерности, в которых масштабы единиц основных величин не фиксированы. 5. В зависимости от выбора основных величин, а также от нида формул, связывающих эти величины с производными, одна и та же физическая величина получает в разных системах единиц не только различные численные значения, но и различные размерности.
Так, например, в системе ЕМТ размерность силы устанавливается из второго закона Ньютона !" = Ста, в котором коэффициент С условно считается безразмерным и полагается равным единице. Тогда сила получает размерность ЕМТ '. Но так поступать не обязательно. Можно коэффициенту С приписать произвольную размерность и придать произвольное численное значение.
Тогда получится новая система единиц, в которой сила будет иметь уже другую размерность. Например (и так иногда делают), в уравнении 1 = 6 †',', выражающем закон всемирного тяготения Ньютона, приравнивают гравитационную постоянную 6 единице и считают эту величину безразмерной. Тогда сила 1 получает размерность МТЕ ', а во втором законе Ньютона ~ = Ста появляется коэффициент С с размерностью МЕ 'Т'. Разные физические величины могут иметь одинаковые размерности даже в одной и той же системе единиц. Примерами могут служить в механике работа и кинетическая энергия или работа и момент сил 1система МЕТ), а в учении об электричестве и магнетизме — емкость и индуктивность, имеющие в так называемой гауссовой системе единиц размерность длины.
В таких случаях и единицам этих физических величин часто дают одинаковые наименования, хотя по существу это совершенно разные вещи. Одинаковая размерность двух различных физических величин в какой-либо системе единиц говорит не об их тождестве, а только о том, что в рассматриваемой системе масштабы единиц этих величин меняются одинаково при изменении масштабов единиц основных физических величин. В других системах единиц размерности тех же физических величин могут и не совпадать. ФОРМУЛА РАЗМЕРНОСТИ 435 Несовпадение размерностей одной и той же величины в разных системах единиц иногда истолковывают как некоторое логическое противоречие, требующее объяснения. Оно подало повод к постановке вопроса об «истинной» размерности физических величин.
На основании изложенного нет никакой необходимости доказывать, что физической величине самой по себе не свойственна никакая размерность. Последняя появляется лишь после установления той или иной системы единиц, а вопрос об «истинной» размерности физических величин, по меткому замечанию Макса Планка, имеет не более смысла, чем вопрос об «истинном> названии какого-либо предмета. 6.
Безразмерными комбинациями физических величин называются такие комбинации, которые в рассматриваемой системе единиц имеют нулевую размерность. Их численные значения не меняются при изменении масштабов единиц основных величин. Легко привести примеры таких комбинаций. Если величина у имеет размерность величины х в степени а, то, очевидно, у)х" будет безразмерной комбинацией, составленной из х и у. Общий метод нахождения безразмерных комбинаций можно разъяснить на примере системы единиц, построенной на Основе трех величин: длины (Б), массы (М) и времени (Т).
Пусть и величин хм х>, ..., х„в этой системе имеют размерности соответственно ~,"М'Т", БР'МФТ", ..., БР"М««Т'". Требуется составить из них безразмерную комбинацию. На основа- нии теоремы, доказанной в п. 2, искомая комбинация должна иметь вид х",' х",' ...
х"„". Ее размерность будет (Б'М" Т"'))' (Б>-'М'Т'')"*... (БРРМ««Т'" ))', т. е. БРМ«Т', где р = р,а, + р>а»+... + р„а„, д = о,«»>+ д а«+...+ д„а„, (87.3) г =-г,а,+г,а»+...+ г„а„. Для того чтобы комбинация была безразмерной, необходимо и достаточно, чтобы р = д = г = О. Это приводит к системе трех однородных уравнений р а +р,а,+...+р„а„=О, д,а, + д«а«+... + д„а„= О, (8?.4) г»а, + г,а, +...
+ г„а„= О с неизвестными а,, а«, ..., а„. Од>ю из этих неизвестных всегда можно выбрать произвольно, так как безразмерная комбинация останется безразмерной, если ее возвести в произвольную степень. Фиксируем, например, а,. Тогда 4Э6 [ГЛ. Х1 МЕТОДЫ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ получится три уравнения для Определения п — 1 неизвестных, за которые удобно принять отношения — "', -"', ..., — ". Если эти уравнеа,' а,' '''' аг ' ния независимы, то (и — 1) — 3 = п — 4 отношений можно выбрать произвольно.
Три остальные определятся из уравнений (87.4). В результате найдутся п — 4 независимых безразмерных комбинаций. Всякая функция этих безразмерных комбинаций будет также безразмерной комбинацией. Если же три уравнения (87.4) не независимы, то число независимых безразмерных комбинаций увеличится.
Например, если в системе (87.4) независимы только два уравнения, то независимых безразмерных комбинаций будет и — 3 и т. д. й 88. Правило размерности 1. Все применения теории размерностей основаны на двух теоремах. Одна из них выражается формулой (87.2), устанавливающей общий вид размерности физических величин. Другая теорема утверждает, что всякое количественное соотношение между различными физическими величинами может быть выражено в виде функциональной связи между беэраэмерными комбинациями этих величин.
Для доказательства предположим, что между величинами а, Ь, с, х„х„х„... имеется функциональная связь | (а, Ь, с, х„х„х„...) == = О. Примем величины а, Ь, с за основные, а остальные величины х„х„х„... — за производные. (Мы взяли число основных величин равным трем, но это несущественно.) Пусть размерности производных величин будут [х,) —.= [ОР Ьч с' [, [х,[ = [аэ Ьч с'*), ...
Уменьшим единицы основных величин в а, [1, у раз соответственно, Тогда оии примут значения гга, 13Ь, ус, а производные величины — значения ям[)э у' х„ ссл[)чуох„ ... Рассматриваемая функциональная связь запишется в виде )(аа, рЬ, ус, итрэ у'-х„, гсэ [)4"-уох„...) =О, причем а, р„у можно выбрать произвольно. Выберем их так, чтобы аа = — ()Ь:-- ус = 1. Это означает переход от жестко фиксированных единиц к меняющейся системе единиц, в которой численные значения основных физических величин в рассматриваемом нопросе принимаются равными единице. При таком выборе 1('1, 1, 1, " „, — ™ —, ...) =О.
атьтс ' ал.[,ч НО это уравнение в качестве переменных аргументов содержит только безразмерные комбинации физических величин. Его можно записать в виде (88. 1) 'аг'Ф'сп ' аг'Ьтс'-' где с — новая функция. Теорема доказана. ПРАВИЛО РАЗМЕРНОСТИ 437 В ЗЗ1 2. Доказанной теореме можно придать другую форму. Разрешим уравнение (88.1) относительно одного из аргументов, например первого, и результат умножим на знаменатель этого аргумента. Получим (88.2) где ф — какая-то функция безразмерных аргументов.
Зто означает, что во всяком физическом законе типа А = В размерности обеих частей равенства должны быть одинаковы. В таком виде доказанная теорема получила название правила размерностей. В равенство типа А = — В могут входить в качестве множителей либо постоянные коэффициенты, либо безразмерные комбинации физических величия. Над размерными величинами правило размерности допускает выполнение только степенных математических операций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
