Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 102

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 102)

все время состоящее из одних и тех же частиц. Очевидно, такое сечение будет двигаться вправо со скоростью вещества и. Оно играет роль свободного конца стержня. На него оставшаяся часть деформированного стержня, расположенная левее, давит с силой Р =- Р5. Поэтому к части стержня, расположенной правее рассматриваемого сечения, полностью применимо наше прежнее рассуждение. Из него следует, что граница возмущений области В будет распространяться вправо со скоростью с, определяемой формулой (81.5). 6. Рассуждение не меняется существенно, если вместо постоянной силы давления к концу стержня приложить в некоторый момент времени постоянную силу натяжения. Разница состоит только в том, что по стержню вместо возмущения сжатия побежит воаиуи4ение разрежения. Скорость распространения такого возмущения по-и режнему будет определяться формулой (8!.5).

Модель, состоящая из соприкасающихся упругих шаров, в этом случае, конечно, неприменима. Но ее можно заменить моделью, в которой соприкасающиеся шары связаны между собой бесконечно короткими пружинками пренебрежимо малой массы. 7. В предыдущих рассуждениях предполагалось, что возмущение в стержне вызывается постоянной силой, приложенной к его концу в какой-то момент времени. Обобщение на случай п'еременной силы не представляет труда. Обратимся к нашей прежней модели, состоящей из ряда упругих шаров, но скрепленных пружинками пренебрежимо малой массы. Если по первому шару наносить удары различной силы В определенные моменты времени, то и сообщаемые 414 мехАникА упРуГих тел [ГЛ.

Х ему скорости будут различными. В соответствии с этим распределение скоростей можно представить прежними схематическими рисунками (рис. 2!?). Однако скорость о будет меняться от шара к шару. Выполнив предельный переход к непрерывному стержню, получим возмущение, распространяющееся в определенном направлении, в котором скорость вещества непрерывно меняется от точки к точке. Может изменяться даже направление скорости о, если сила, приложенная к концу стержня, меняет свое направление. Возмущенная область будет ограничена с обеих сторон, если возбуждающая сила действует ограниченное время.

Докажем, что для рассматриваемого возмущения остаются справедливыми формулы (81,2) и (81.3), а следовательно, и формула (8!.5). На рис. 221 возмущенная область заштрихована и представлена в два бесконечно близких момента времени 1 и Г + [1[. За время Ш возмущенная область пере- А~У В В вЂ” юс В' Рис. 221. мешается на расстояние ей.

Проведем в возмущенной области, произвольное сечение А„состоящее из одних и тех же частиц вещества. Оно перемещается вправо со скоростью о, которую имеют частицы вещества в сечении А в момент времени 1. За время с(1 частицы переместятся в А', пройдя малое расстояние и с(1, которым мы пренебрегаем. Само возмущение переместится на много большее расстояние с с(б Найдем приращение количества движения вещества, расположенного правее выделенного сечения А. Возмущение из точки А переместится в точку О, пройдя расстояние с с(Г. Вещество, расположенное правее 1), в момент Г + й будет обладать в точности таким же движением, каким обладало в момент 1 вещество, расположенное правее А. Поэтому ясно, что искомое приращение количества движения будет равно количеству движения, локализованному между сечениями А' и Р, т.

е. Яс [1[ ро. Оно равно импульсу сил давления РЗ [(1, действующих в течение времени Г(1 в сечении А. Приравнивая оба выражения, получаем формулу (81.2). Так же легко получить формулу (81.3). Рассмотрим бесконечно малую возмущенную область А'0 (рис. 221). Ее первоначальная длина была равна 1 = с с(1. Но возмущение достигло сечения А' на время й раньше, чем сечения О. Благодаря этому путь, пройденный веществом, связанным с сечением А ', будет на о с(Г длиннее пути, пройденного веществом, связанным с сечением В. Значит, укорочение пвимвнвния пгинципл сгпвгпозиции 415 $821 области А'0 в результате деформации равно М = о Ж.

Разделив а! на 1, получим формулу (8!.3). Плотность кинетической энергии в возмущенной области и1„2„= 1 2 = ",,1ю . Плотность потенциальной энергии юа„= '?8 Ее'= — —, Подставив сюда выражение для с из формулы (8!.5), получим и1„„= =- 1?арса. Таким образом, и1„2„= и12„,. Во всяком бегущем упругом возмущении, т. е. возмущении, распространяющемся в определенном направлении, полная энергия распределяется поровну между кинетической и потенциальной. 8 82. Применения принципа суперпозиции 1. Мы пользовались уже принципом суперпозиции в статике. Но этому принципу подчиняется также распространение малых возмуи1ений.

Пусть в среде распространяется какое-либо возмущение. Смещение какой-либо частицы среды из положения равновесия в этом возмущении обозначим з, (е„?). Вектор еа означает радиус- вектор рассматриваемой точки в состоянии покоя, т. е. до того момента, когда до нее дошло возмущение. Пусты, (е„1) — смещение во втором возмущении в той же среде. Какое возмущение возникнет в среде, если в ней возбудить оба эти возмущения? Принцип супер- позиции утверждает, что результирующее смещение будет з( а 1) =з1(ка г)+за(ка 1). Это означает, что всякое возмущение, существующее в среде, не влияет на распространение другого возмущения. Каждое возмущение распространяется так, как если бы других возмущений в среде не было. Примером могут служить волны на поверхности воды.

Если на спокойную поверхность пруда бросить два камня, то из точек падения будут распространяться круговые волны. Там, где они накладываются одна на другую, возникает довольно сложное результирующее движение. Но каждая волна после прохождения через область наложения остается в точности такой же, какой она была бы при отсутствии другой волны. Разумеется, принцип суперпозиции справедлив не только для двух, но для произвольного числа возмущений, накладывающихся друг на друга. Принцип суперпозицни в том виде, в каком он сформулирован выше, следовало бы назвать принципом суперпозиции смещений.

Но он справедлив и для скоростей частиц, поскольку скорости получаются дифференцированием смещений по времени. Он верен и для упругих напряжений, поскольку последние линейно выражаются через деформации, т. е. смещения. Принцип суперпозиции можно рассматривать как опытный факт. Он является также следствием линейности уравнений (относительно смещений), которым описываются малые возмущения, Для сильных возмущений принцип суперпозиции не справедлив. 416 игл. х МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ 2. В предыдущем параграфе было показано, что полная энергия бегущего возмущения распределяется поровну между кинетической и потенциальной. Необходимость такого результата выступает особенно отчетливо, если к вопросу подойти с точки зрения принципа суперпозиции.

Для определенности рассмотрим возмущения, распространяющиеся вдоль стержня, хотя наши рассуждения имеют общий характер. Пусть в начальный момент времени некоторая область стержня деформирована, но все вещество внутри этой области находится в покое. Вся начальная энергия стержня будет чисто потенциальной. Обозначим ее Е. Если убрать внешние силы, создавшие начальную деформацию, то из возмущенной области вдоль стержня в противоположных направлениях побегут два возмущения. Если первоначальное возмущение было симметрично, то, очевидно, полная энергия Е разделится поровну между обоими возмущениями, возникшими из него.

Покажем теперь, что в каждом из этих двух бегущих возмущений кинетическая энергия равна потенциальной. Для этого рассмотрим оба возмущения в начальный момент времени, когда они полностью перекрываются. Если Р, и Р, — давления, а о, и о, — скорости вещества в обоих возмущениях, то по принципу суперпозиции в начальный момент Р, + + Р, = Р, и, + и, = О, где Р— давление в возмущенной области в тот же момент времени. В силу симметрии Р, =-= Р, = Ч,Р.

Такое же соотношение между давлением в соответствующих точках сохранится и в каждый последующий момент времени. В частности, оно останется справедливым и тогда, когда оба возмущения разойдутся, т. е. перестанут накладываться друг на друга.

Тогда уже имеет смысл говорить о разделении полной энергии между возмущениями, возникшими из начальной возмущенной области. Так как потенциальная энергия пропорциональна квадрату давления, то потенциальная энергия в каждом из бегущих возмущений будет Е~4, а потенциальная энергия обоих возмущений вместе Е(2. Для сохранения энергии необходимо, чтобы другая половина полной энергии перешла в кинетическую. Понятно, что и кинетическая энергия распределится поровну между обоими бегущими возмущениями.

Таким образом, в каждом бегущем возмущении кинетическая и потенциальная энергии будут одинаковы и равны Е~4. 3. Приведенное рассуждение, поскольку оно основано на соображениях симметрии, не вызывает возражений, если начальное распределение деформации само обладает требуемой симметрией. Но рассуждение остается применимым и в тех случаях, когда это условие не выполняется. Чтобы убедиться в этом, достаточно мысленно разбить начальную возмущенную область на бесконечно малые области. Внутри каждой из таких бесконечно малых областей давление можно считать постоянным, а его распределение можно изобразить в виде бесконечно узкого прямоугольника.

Таким образом, начальное распределение давления в каждой из бесконечно 4]7 пвимвнвния пвинципх стпвьпозипии ] 82] малых возмущенных областей будет обладать требуемой симметрией, По принципу суперпозиции возмущения, исходящие из каждой бесконечно малой области, совершенно не зависят от того, возмущены или нет другие бесконечно малые области, Поэтому к этим возмущениям полностью применимы рассуждения, приведенные выше.

Характеристики

Список файлов книги