Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Отсечем мысленно слева часть балки, проведя нормальное сечение через произвольную точку С (х) (с координатой х), расположенную левее цсягра О (х ~ 1/2, где 1 — длина балки). Справа на отсеченную часть балки будет действовать сила Г/2, направленная вниз, Момент внешних снл, действующих на отсеченную часть, будет М = (Е/2)х.
Уравнение равновесия принимает вид Е/у = — — х ~х ~ -- ', Е / (80.10) Теперь ось У направлена вниз, т. е. в сторону выпуклости балки. Производная у" отрицательна. По этой причине правая часть взята со знаком минус. Интегрируя полученное уравнение н учитывая, что у' = 0 при х = В2, у = 0 при х = О, найдем !ГЛ. Х МехАникА упРуГих тел (рис, 210). Если мысленно разрезать балку нормальным сечением, проведенным через О', на две равные части, та каждая половина будет эквивалентна балке, жестко закрепленной одним концом в точке О' и подверженной на свободном конце действию сосредоточенной силы Е12, направленной вверх. Следовательно, стрела прогиба центра балки найдется из формулы (80.9), если в ней сделать замену Š— ь Е12, 1 †ь 1.
Это дает Е 11 тэ Р)з ЗЕ1 2 (2 / 48Е1' т. е, прежний результат (80.12). Пример 4. Определим стрелу прогиба центра однородной балки с жестко закрепленными концами под действием сосредоточенной силы Е, приложенной к ее середине (рис. 2!1). Снова будем пренебрегать весом балки. Когда балка свободно лежала на двух опорах (рис.
210), влияние последних сводилось к силам Е12 и Е12, с которыми точечные опоры давили на балку. В случае балки с жестко закрепленными концами результирующая снл реакций опоры, действующих Г 1' г г Рис. 2!2. Рнс, 211. на какой-либо конец балки, по-прежнему равна Е12. Но помимо этого силы реакции создают вращающий момент М, действующий на балку. Поэтому вместо уравнения (80.10) надо писать Е!у"= — --х+М х» — 1, Е 11 2 21' (8ОЛ3) считая вращательный момент М неизвестным и подлежащим определению. Уран. пение надо решить при условиях: !) у' = 0 при х = О, 2) у' = 0 при х = 112, 3) у = 0 при х = О. Зто дает Е1 8' Ехэ 1 4 у= — ~1 — - х), РЗЕ1 ( 3 Е(з 192Е1 ' (80.14) П р и м е р 5. Рассмотрим теперь изгиб балки под действием собственного веса Р, цредполагая, что один конецее закреплен встене, а другойсвободен (рис, 212). )Тля равновесия всей балки необходимо, чтобы стена действовала на конец балки О с силой, направленной вверх равной ее весу Р.
Проведем нормальное сечение через произвольную точку В (к) нейтральной линии (с координатой ОВ = к). В примере 2 при решении аналогичной задачи мы исходили из условия равновесия части балки ВЛ. Так же можно было бы поступить н при решении рассматриваемой задачи. Однако мы хотим теперь восйользоваться условием равновесия другой части балки, ОВ, чтобы поиазать, как поступать в этом случае. Пусть 405 4 зо) изгив Р— сила, действующая на правый конец рассматриваемой части балки ОВ со стороны части ВА, Вес части ОВ равен Рх!1, Зля равновесия этой части необходимо условие Р— — - Р+ Рх)! или Р = Р (1 — хВ).
На элемент балки 8$ действует сила веса Р—. Момент М, всех вертикальных сил, действующих на часть д$ 1 ' ОВ, не зависит от положения оси, относительно которой он берется. Возьмем в качестве таковой ась, проходищую через конец О. Получим М„=Рх+ ~ Рз -=Рх — Р—. Ий хз 21 ' а Сюда надо добавить еще момент горизонтальных сил упругих напряжений, дейст- вующих на закрепленный конец О. Обозначая этот момент М, для полного момента сил, действующих йа часть ОВ, можем написать М = Рх — Р -г Мз. хэ 21 (80.15) М=Р хл 2! 2 (80.1б) Уравнение равновесия части балки ОВ принимает вид хл Е!у = — Рх+Р— +Р—. 21 2' Решая его при условиях; 1) у' =- 0 при х = О, 2) у = О при х = О, получим Р Р Р хл у = — ВР— — х'+— 4Е1 ОЕ1 24Е1Т (80.17) Полагая здесь х = 1, находил! стрелу прогиба свободного конца балки 1з Р 8Е1 (80.18) Если на свободный конец балки действует еще внешняя сила Г, направленная вниз, то вместо формул (80.16) и (80.!8) нетрудно получить хз Р! М = Р (х — !) + Рх — Р .
— — —., 21 (80.19) й= — ( -+— (80.20) Результирующий прогиб, таким образом, равен сумме прогибов, получающихся при раздельном и незаиисимол! дейстнии сил Г н Р. Этот результат справедлив для любых мачых деформаций, а не только для деформаций изгиба, что непосредственно следует из принципа суперпозиции. П р и м е р б. Упругий стерлкень АВ длины 1 сдавливается с концов двумя равными и противоположно направленными силами Г, действующими вдоль одной Постоянную М можно найти из условия равновесия всей балки ОА.
На ее свободном конце не действуют никакие си.чы и упругие напряжения. Поэтому, полагая в (80.15) х = 1, мы найдем полный момент сил, действующих на всю балку, В равно- !3 весии он должен равняться нулю, т. е. Р1 — Р— +М, =О. Отсюда М, = 21 = — Р112. Это дает !гл. х МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ прямой (рис. 213). Концы стержня, закрепленные в шарнирах, могут свободно перемещаться по направлению действия свл.
При известной величине нагрузки Г стержень начинаег изгибаться в сторону. Это показывает, что помимо сжатого состояния стержня возможны и другие равновесные состояния его. На рис. 213 изображен стержень в таком изогнутом состоянии. Направим ось Х Х вдоль продольной оси недеформнрованного стержня, а ось 1'— вбок в сторону изгиба. Уравнение равновесия изогнутого стержня имеет вид В у" + уху = О.
(80. 2!) где введено обозначение (80.22) Общее решение этого уравнения есть у=С сов эх+О з!и йх, где С и 0 — постоянные интегрирования. Если начало координат поместить на одном из концов стержня, то должно быть С = О. Рис. Это следует из того, что при х = 0 ордината должна обращаться в нуль. На другом конце, т. е. при х=- 1, ордината у также равна нулю.
Значит, должно также быть 0 ып И =- 0 *). Если з)п И + О, то 0 = О, а потому у =. О. В этом случае стержень может быть только сжат, но не изогнут. Если н(е з!и И = О,т. е. И = п,2п,Зп, ...,то прямолинейная равновесная форма стержня хотя и является теоретическй возможной, но, как легко доказать, она будет неустойчивой. Стержень принимает форму дуги синусоиды в соотнетствии с уравнением у = 0 з!и !гх, причем постоянная 0 зависит от величины прогиба, т.
е. в конце концов от величины нагрузки. Значения 1 и Г, соответствующие наименьшему корню (И = и), п 1/Е! и'Е1 Г 1=--= п1 - - и у=в й у Г (80.23) называются соответственно кригпической длиной и предельной нагрузкой при продольном изгибе. Эти величины можно рассматривать как предельные значения длины или нагрузки, при которых стержень начнет изгибаться в сторону, если только до этого ан не был разрушен действующими силами. Еслиоба конца стержня жестко закреплены(рис. 214), то надо учесть дополнительные моменты сил, действующие на концах стержня, подобно тому, как это делалось в примере 4. Вместо уравнения (80.21) теперь надо решать уравнение ~д! у +Яеу=ИС, где С вЂ” постоянная, подлежащая определению. Обнме решение Рис.
214. этого уравнения: у = А соз Дх+ В мп ух+ С. Условие у = 0 прил= О дает А+С= О. Нз второго условия у' = 0 при х 0 получаем В = О, так что у=А (соз йх — 1). ') Строго говоря, под 1 здесь следует понимать не длину самого стержня, а расстояние вдоль прямой между концами изогнутого стержня. Это расстояние, очевидно, меняется с изменением нагрузки и является величивой, подлежащей определению. Однако нри малых деформациях таиое уточнение несущественно, и под 1 можно понимать длину самого стержня. ИЗ!'ИБ Надо еще потребовать, чтобы у и у' обращались в нуль и на другом конце стер>кня.
Зто дает два новых условия: 1) соз л! = 1, 2) гбп й! = О. Из них получаем я!= = 2п, 4п, ... Критическая. длина в этом случае в два, а предельная нагрузка— в четыре раза больше, чем в предыдущем: 2п ГЕ1 4п'Е ! (80.24) Если один конец стержня жестко закреплен, а другой закреплен в шарнире, то для тех же величия получаем гг ГЕ ! пзЕ1 2 г' Р' 4И (80.25) ЗАДАЧИ Когда все три опоры находятся на одной высоте, то Р,=рз= Р, Рз= — Р. 3 5 1б ' 8 В этом случае распределение веса балки между тремя опорами не зависит от ее упругих свойств, хотя без учета последних задача становится неопределенной (ср. 4 44).
Эта независимость объясняется тем, что мы не учитывали деформации самих опор. 4. Та н<е задача, но опора С (рис. 215) не находится посередине между опо- рамнА и В (АС=а, СВ=Ь). 1. Определить стрелу прогиба центра однородной балки под действием собственного песа Р, если балка лежит своими концами на двух опорах. 5 Р!' Ответ. Х= —— 384 Е! ' 2. То же для балки, обоими концами жестко закрепленной в стене. р!з Ответ.
Х= — —. 384 Е1 ' 3. Определить распределение веса Р балки, лежащей на трех опорах А, В, С (рис. 215). Средняя опора С расположена посередине между крайними опорами А и В и смещена иа Х вниз относительно горизонтальной плоскости, в которой лежат край- Гг вне опоры. Р е ш е н и е, При равновесии Р, -~-Рз+Р, = г! 'з = Р, причем в силу симметрии Р,= Р. Мысленно уберем опоры, заменив их силами Р,, Р,, Рм с которыми они давили на балку.
Кроме того, закрепим балку посередине. От этого деформации балки не изменятся. Воспользуемся формулами (80.9) С В н (80.! 8). Под действием силы Р, левый конец балки поднимется относительно средйей опоры на вели- Рис. 215. чину у = †' ( — ), Под действием собственного 3Е1~,2) ' р 1 !!1з веса тот же конец опустится вниз на рз = — — ( †) Общее поднятие вверх 2 8Е!(, 2) будет П, — рз.
По условию апо раню Х. В результате получим 3 24Е13 5 р 48Е11, 1= 3=— 16 Р ' 8 !э Рз= МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ (гл. х Р е ш е н и е. Поместим начало ноординат в нейтральном сечении над опорой А, направив ось Х внрано, а ось !' — вниз. Папнсав уравнение равновесия для частей АС (х .. а) и СВ (х ) а) н интегрируя их прн условиях у =- О при х = О и х =- а+ Ь = 1, а также у = Л при х =- а, получим у = — х+ — (аз — хз) — — (а' — хз) Л Рдх Рх ОЕ! 24Е1! (х(а), у= — (! — х)+ з [Ьз — (1 — х)з) — [Ьз — (! — х)з[ (к~а).
!. Рз (! — х) Р (! — х) Ь 6Е1 24ЕП Далее, надо потребовать, чтобы н точке С у балки не было излома, т. е. чтобы первые производные обоих выражений в точке х = а совпадали. Наконец, надо учесть, что при равновесии сумма всех внешних снл и нх моментов, действующих на балку в целом, равны нулю. В результате получим ЗЕ! Р Заз+аЬ вЂ” Ьз азЬ 8 а (а+ Ь) ЗЕ1 Р ЗЬз+аЬ вЂ” аз аы 8 Ь(а+Ь) ЗЕ1(о+Ь) Л Р Зоб+аз+Ьз азаз 8 аЬ 5. Цилиндрический стержень и трубка одинаковой длины и массы, изготовленные нз одного н того же материала, легкат своими концами на двух опорах н прогибаются пол действием собственного веса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
