Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Если это условие выполнено, то говорят, что тело совершает квазистатический процесс. Возьмем для иллюстрации спиральную пружину, которая может служить моделью деформируемого тела. Повесим ее за верхний конец. К нижнему концу подвесим груз, удерживая его рукой, чтобы пружина не растягивалась. Если груз внезапно отпустить, то возникнут колебания. Работа силы веса груза идет не тольио на растяжение пружины, но расходуется также на увеличение кинетической энергии груза и пружины. Это — процесс не квазистатический.
Для вычисления упругой энергии пружины такой процесс не годится. Прнкрепим теперь к нижнему концу пружины легкую чашечку и будем очень медленно нагружать ее песком. Колебания не возникают, пружина медленно и непрерывно удлиняется по мере увеличения нагрузки. Вся работа силы тяжести идет на увеличение потенциальной энергии деформируемой пружины.
Такой процесс является квазистатическим, и им можно воспользоваться для вычисления упругой энергии пружины. 6. После этих замечаний легко вычислить упругую энергию растянутого стержня. Приложим к стержню растягивающую силу ((х) и будем непрерывно и медленно увеличивать ее от начального значения ) = О до конечного значения ) = Е.
Прн этом удлинение стержня будет меняться от х = — О до конечного значения х .= а7'. По закону Гука ~ (х) = йх, где в — коэффициент упругости, ното- зав мехАникА упРуГих тел [ГЛ. Х рый легко выразить через модуль Юнга. Вся работа в рассматриваемом процессе пойдет на приращение упругой энергии (/, а потому ьс Ы (7= ~ ~(х) дх=й ~ хйх=-2-й(Д1)'. (75.8) о Ь Так как в конечном состоянии х = Д[, то Е =- 1 (Д1) = яД1. Учитывая это, получим () = 2-Е Д1.
(75.9) Если бы к недеформированпому стержню мы сразу приложили постоянную силу Е, то при удлинении его на Д[ была бы совершена вдвое большая работа А = ЕД1. Так как запас упругой потенциальной энергии в стержне получился бы тем же самым, то ясно, что только половина работы А расходуется на приращение упругой энергии стержня. Вторая половина этой работы тратится на кинетическую энергию упругих колебаний и волн, которые всегда возбуждаются в стержне при неквазистатическом воздействии на него. При квази- статическом воздействии колебания и волны пе возникают.
Вот почему в формулах (75.8) и (75.9) появился численный коэффициент Ч,. Найдем объемную плотность упругой энергии, т. е. упругую энергию и, приходящуюся на единицу объема расп[януп[ого (или сжапюго) апержня. Она найдется делением выражения (75.9) на объем стержня )Г = 88 Это дает (75.10) Если воспользоваться законом Гука, то эту формулу нетрудно привести к виду "= з Еа = йй = йе ' (75. 11) 7. Опыт Показывает, что под действием растягивающей или сжимающей силы Е изменяются не только продольные, но и поперечные размеры стержня.
Если сила Š— рас ягивающая, то поперечные раанеры стержня уменьшаются. Если она сжимающая, то они увеличиваются. Пусть а, — толщина стержня до деформации, а — после деформации. За толщину можно принять для круглого стержня его диаметр, для прямоугольного — одну из сторон его прямоугольного ла основания и т. д. Если сила Е растягивающая, то величина — — = оо Ла — — — называется относшпельным поперечным сжатием стержня и (Да = а — а,). Отношение относительного поперечного сжатия к соответствующему относительному продольному удлинению называется коэффициентом Пуассона (! 781 — ! 840): Ло Л[ Ла )[= а'[ Лр а' (75.12) РАстяжения и сжАтия стеРжней 1 75! Коэффициент Пуассона зависит только от материала тела и является одной из важных постоянных, характеризующих его упругие свойства.
Случай сжимающих снл не обязательно выделять особо, так как сжимающую силу можно рассматривать как растягивающую, взятую с противоположным знаком. Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона р полнощпыо характеризуют упругие свойства изотропного материала. Все прочие упругие постоянные могут бьипь выражены через Е и р.
8. Заметим, наконец, что все модули и коэффициенты упругости, с которыми мы имели и будем иметь дело, следовало бы для точности называть иэотермическими модулями и коэффициенпшми. Они характеризуют деформации тел в предположении, что температура их поддерживается постоянной. Это обычно имеет место в случае статических деформаций.
Но если деформации динамические (например, волны в упругих средах), то они могут происходить настолько быстро, что разности температур, возникшие при деформации, не успевают выравниваться в результате теплообмена. Важнейшим является предельный случай, когда между различно нагретыми частями среды теплообмен совсем не происходит. Соответствующие процессы, модули и коэффициенты упругости называются адиабатическими.
Соотношения между изотермическими и адиабатическими модулями упругости будут рассмотрены в т. 11. ЗАДА Ч И 1. Найти относительное удлинение вертикально подвешенного стержня под действием собственного веса Р. Площадь поперечного сечения стержня равна 5. 1 — 1„Р О т в е т. — о =- —. 1о 25Е ' 2. Упругий стержень массы т, длины 1 и площади поперечного сечения 5 движется в продольном направлении с ускорением и (одинаковым для всех точек стержня). Найти упругую энергию де4юрмацин, возникающую вследствие уско- ренного движения, глоаз1 Ответ. (7 = —.
6Е5 ' 3. Какой максимальной кинетической энергией может обладать маховик, объем которого )7 = ! и'", если прочность материала на разрыв Т =- 1О'о динусмо. Всю массу маховика считать сосредоточенной в его ободе (тонком по сравнению с радиусом маховика). Показать, что при неизменной прочности материала махо- вика максимальная кинетическая энергия зависит только от обьема, но не от массы маховика. ! О т в е т.
К = — ТУ = 5 10' Дж. 2 4. Тонкий стержень длины 21 равномерно вращается вокруг перпендикуляр- ной к нему оси, проходящей через центр стержня, с угловой скоростью го. Пока- зюь, что натяжение Т, возникающее в стержне прн таком вращении, удовлетво- ряет уравнению аТ вЂ” = — рюо» о» мехАникА упругих тел !ГЛ. Х где р — плотность материала стержня, а х — расстояние от оси вращения. Интегрируя это уравнение, найти распределение натяжения в стержне. В каком месте стержня натяжение максимально и чему оно равно? Показать, что мансимальная кинетическая энергия, которую можно сообщить стержню при неизменной прочности его материала, зависит только от объема стержня У, но не от его массы.
Вычислить максимальную кинетическую энергию для У = 3 10' смв, если мансимальное натяжение, которое может выдержать стержень, равно Тм,„, = = !0вв дик/смв. 1 О т в е т. Т=. — ревв (Н вЂ” х'). Натяжение максимально в центре и равно 2 Тмввс = ?в рю ! ° ! ?»мввс = УТмвмс =10 Дж.
3 !Ср. с задачей 3 к й 19.) б. Стержень поперечного сечения 5 растягивается силой Р, параллельной его оси. Под каким углом а к оси наклонено сечение, в котором тангеициальное напряжение т максимально. Найти это напряжение. Р Ответ. им 45', я=- —. а. Резиновый цилиндр с высотой й, весом Р и плошадью основания 5 поставлен на горизонтальную плоскость. Найти энергию упругой деформации цилиндра, возникающей под действием его собственного веса. Во сколько раз изменится энергия упругой деформации рассматриваемого цилиндра, если на верхнее основание его поставить второй такой же цилиндр? Рсй О т в е т.
!?= —. Во втором случае упругая энергия увеличится в 7 раз. 6ЕЗ ' й 76. Деформации прямоугольного параллелепипеда под действием трех взаимно перпендикулярных сил 1. Допустим, что однородное изотроппое тело имеет форму прямоугольного параллелепипеда, к противоположным граням кото- рого приложены силы Р„Рю Р„ у нормальные к этим граням.
Соответствующие им натяжения обозначим Т„, Т, Т, (рис. 201). Определим деформации, которые возникнут под действием этих сил. Будем предполагать деформации малыми. Тогда для реше- /Т/ 1 Т ния задачи можно воспользоз ваться принципом суперпозиции малых деформаций. г У Направим координатные оси Рис. 20!. параллельно ребрам параллелепипеда. Пусть х, д, г — длины этих ребер.
Если бы действовала только сила Р„то ребро х получило бы приращение сзвх, определяе- Ь,х Тх мое соотношением — — = —.". Если бы действовала только сила Р, то х Е' з $76] ДЕФОРМАЦНН ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПНПЕДА Зэ] размеры параллелепипеда, перпендикулярные к оси У,пжратились бы, В частности, ребро х при этом получило бы отрицательное прираА2х Ту щение Аьх, которое можно вычислить по формуле — = — у —. х Е' Наконец, относительное приращение ребра х под действием одной только силы Р, было бы равно — = — р -- . Если все силы дей- Л, Т, к Ё' ствуют одновременно, то согласно принципу суперпозиции малых деформаций результирующее удлинение ребра х будет равно бх = =- А,х + Аэх + Аьх. Аналогично вычисляются удлинения параллеле- пипеда и вдоль остальных двух направлений У и 2.
В результате для удлинений всех трех ребер параллелепипеда можно написать Дх Т„ Е„= — = —" — Ё — (Т„+ Т,), к Е (76.1) у Е Е пк Тх е, = -- = е' —  — (Тх+ Т„). 2. При квазистатическом растяжении параллелепипеда вдоль оси Х совершается работа А, = ",, Я„Тхбх, где 52 = уе — площадь грани, перпендикулярной к оси Х. Эту работу можно представить в виде А, = Ч, хуг Т„-- = '/2 ]7Т„ех, где ]7 = хуг †объ параллеАх лепипеда. Аналогично запишутся работы при квазистатических растяжениях в направлениях координатных осей 1" и Л. Сложив эти три работы и разделив результат на объем параллелепипеда, получим следующее выражение для плотности упругой энергии в рассматриваемом случае: и =-- 2 (Тхех+ Т„в„+ Т.е,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
