Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 97
Текст из файла (страница 97)
(76.2) С помощью формул (?6.1) это выражение приводится в виду и = Е (Тх+ Тхь+ Т27 — 2]к (ТхТР+ 7 РТх+ ТхТкЬ (76.3) Если из трех натяжений Т„Т„, Т, только одно отлично от нуля, то эти формулы переходят в более простые формулы (75.10) и (75.11). Согласно формулам (75,11) плотность упругой энергии и пропорциональна квадрату натязеения Т (или давления Р). В общем случае, как показывает формула (76.3), плотность упругой энергии является квадратичной однородной функцией Т, Т„Т, (или Р„, Р„Р,).
При заданных натяжениях (или давлениях) она обратно пропорциональна модулю упругости Е. Чем жестче пружина, тем меньше при неизменном натяжении ее упругая энергия. Идеально твердые тела (дпя КОтОрЫХ Е = ьо) СОВЕРШЕННО НЕ ОбЛадаЮт унруГОй ЭНЕрГИЕй, какие бы силы натяжения и давления на них ни действовали. 392 МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ !ГЛ.
Х Натяжения Т„, Т„, Т, выражаются через е,, е„, е, линейно, как это следует из формул (76.1). Поэтому плотность упругой энергии является квадратичной однородной функцией деформаций е„ е, е,. В частном случае (е„ == е, е„ = е, =- 0) она пропорциональна кеадРатУ де4орлгаЦии. ПРН заданных дефоРмациЯх ез, в„, е, плотность упругой энергии и пропорциональна модулю упругости Е. Чем жестче пружина, тем больше ее упругая энергия (при неизменной деформации). злдлчл й 77. Всестороннее н одностороннее растяжение и сжатие 1.
Рассмотрим частный случай, когда все натяжения Т, Тон Т, равны и отрицательны. В этом случае иа параллелепипед со всех сторон действует постоянное давление Р = — Т, = — Т„ =- — Т, Как видно из формул (76.1), все три относительные деформации е„, е„, е, равны между собой и определяются выражением е = е =е,= — — (1 — 2р). (77.1) Их легко выразить через относительное изменение объема параллелепипеда при деформации. Действительно, взяв логарифмические производные от обеих частей равенства )г = хуг, получим ЛР Лх ЛУ Лг — = — + — +— У х у а или ЛР 1' — = е„+е„+е,, (?7.2) Определить относительное изменение объема полого латунного шара радиуса Й = Б см, в который накачан воздух до давления 11 атм (наружное давление 1 атм). Толщина сферической оболочки д = 1 мм.
Модуль Юнга латуни Е = = 1О" дин1смз, коэффициент Пуассона и = 0,3. Р е ш е н и е. В силу симметрии касательное напряжение т, действующее в оболочке, одно и то же и одинаково во всех направлениях. Возьмем малый элемент оболочки, из1еюнгий форму прямоугольника. При вычислении относительного изменения площади этого элемента под действием касательных напрягкений т можно отвлечься от кривизны элемента, приняв его за плоскую прямоугольную пластинку. Тогда вычисление дает Л5 т — =2 (1 — р)— 5 Е (изменением площади, вызванным нормадьным давлением, пренебрегаем). Поскольку площадь 5 пропорциональна г'!', относительное изменение объема будет Л!' 3 Л5 Р 25' — = — — —, Так как поверхность искривлена, то натяжевие т создаст разность нормальных давлений.
Для нее нетрудно получить 2тб!)! (см. форлулу Лапласа в учении о поверхностном натяжении, том П). Зга разность должна быть уравно. венгена разностью давлений газа ЛР по разные стороны оболочки, В результате получим Л) 3 (1 Р) )! Лр 3 ц !' 2 Еб з 771 всестОРОннее и ОднОстОРОннее РАстяжение и сжлтие 393 Поэтому формулу (77,1) можно представить в виде Л'7' Р р к' (77.3) где постоянная К определяется выражением Е 3 (! — 2Р) ' (77.4) Зта постоянная называется модулем всестороннего сжатия.
Формула (77.3) применима к телам произвольной, а не только прямоугольной формы. Для доказательства достаточно заметить, что произвольное тело можно мысленно разделить на малые части, каждая из которых имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Зти части находятся под постоянным внешним давлением. Относительные изменения их объемов, а следовательно, и относительное изменение объема всего тела одинаковы и определяются формулой (?7.13). Выражение (76.3) для плотности упругой энергии в случае деформации всестороннего сжатия переходит в 26 2К' (77.6) Так как величина и существенно положительна, то должно быть 1 — 2)»>0, т.е.
РС2. (77.6) 2. Рассмотрим другой важный случай — деформацию одностороннего растяжения или сжатия. Пусть однородный стержень может свободно растягиваться или сжиматься в направлении его оси (которую мы примем за координатную ось Х), а его поперечные размеры изменяться не могут. Этот случай имеет важное значение в теории распрос»ранения продольных волн в неограниченной упругой среде (см. 3 83). Можно мысленно вырезать часть среды, имеющую форму стержня, направленного вдоль распространения волны.
Такой «стержень» может сжиматься или расширяться в продолыюм направлении. Однако изменениям его поперечных размеров препятствует окружающая среда. Форма поперечного сечения стержня не имеет значения. Возьмем стержень с прямоугольным поперечным сечением, чтобы можно было воспользоваться формулами (76.1). Пусть вдоль стержня действуег постоянное натяжение Т„. Поперечные напряжения Т„и Т, найдутся из условия неизменности размеров стержня в направлениях координатных осей У и 2.
Полагая в формулах (76.1) Лу = Лг =- О, получим Т вЂ” р(7;+7',)=6, Т» — р(Т„+7'„)=(). 394 (гл. х МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ Отсюда т„= т,= — т„, У (77. 7) (77.8) Введем обозначение Е'=Е ' — р =Е— ! — р — 2не (!+р) (! — 2И) (77.9) или (77. 1О) Тогда ух х Е'' (77. 11) Это соотношение аналогично соотношениям (75.7). Постоянная Е' называется модулем одностороннего растяжения. ЗАДАЧА $ 78.
Сдвиг 1. Возьмем куб из однородного и изотропного вещества. Приложим к Рис. 202. противоположным граням его АО и ВС равные и противоположно направленные касательные силы (рис. 203, а). Они образуют пару сил, под действием которой куб начнет вращаться. Для устранения вращения приложим такие же касательные силы к граням АВ и СВ. Тогда куб вращаться не будет, а будет только деформироваться.
Необходимость приложения касательных напряжений к граням АВ и С() непосредственно следует также из симметрии тензора упругих напряжений (см. 9 74). Прямоугольная пластинка зажата между вертикальными плоскостями, перпендикулирными к оси Х, так что в направлении этой оси частипы пластинки смешаться не могут (рис. 202). В направлении оси Я пластинка подвергается равномерному одностороннему давлению Р.
Определить давление Рх, которому подвергаетсн пластинка со сторовы плоскостей, между которыми она зажата. Найти выражение длн плотности упругой энергии и, а также относительное сжатие пластинки в направлении оси Я и относительное расширение в направлении оси )'. Ответ: Р»= РР, "- = — ((+Р) Лу РР х ' р Е оа Р Ра и Е ' 2Е а = — — (! -рз) и = (! — )Н). 395 $78] сдвиг Опыт показывает, что под действием приложенных напряжений квадрат АВСР переходит в ромб А'В'С'Р'.
При этом длина диагонали АС увеличивается, а диагонали ВР— уменьшается. Объем тела, как будет показано ниже, при такой деформации практически изменяться не будет. Относительные изменения объема будут величинами более высокого порядка малости, чем относительные изменения длин диагоналей АС и ВР. В теории малых деформаций такими изменениями пренебрегают. Высшего порядка малости будут и изменения длин сторон квадрата АВСР. Поэтому куб после деформации можно повернуть так, чтобы новое основание А Р' совместилось с прежним основанием АР (рис. 203, б).
Отсюда видно, что рассматриваемая деформация состоит в том, что все слои куба,  — т Чс' в' 7с' о) а) Рис. 903. параллельные основанию АР, сдвигаются в одном и том же направлении, параллельном тому же основанию. Поэтому эта деформация называется сдвигом. Величина сдвига пропорциональна расстоянию сдвигаемого слоя от основания АР. Угол у между гранью АВ до деформации и той же гранью АВ' после деформации называется углом сдвига. Конечно, ту же деформацию можно получить путем сдвига параллельно грани АВ или СР на тот же угол у.
Мы предполагаем, конечно, что угол у мал (у ~( 1) и пользуемся законом Гука. Для деформации сдвига этот закон можно записать в виде т=бу, (78.1) где т — касательное напряжение, действующее на гранях куба. Постоянная 6 называется модулем сдвига и зависит от материала, из которого изготовлен куб. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
