Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Определить отношение их стрел прогиба ЛГПИ если радиус стержня равен г, а наружный радиус трубки Рс. Лз 2!!з — гз Ответ..'-= гз 6. Если на две опоры положить концами бумажный лист, то он прогибается и падает под действием собственного веса. Если же лист скатать в сплошной цилиндр или свернуть в трубку, склеив его края, то получившиеся тела ведут себя как твердые, Их можно даже нагружать без заметного прогиба. Вычислив моменты инерции 1„1„1з соответствующих поперечных сечений, объяснить явление. Длина листа бумаги (расстояние между опорами] 1, ширина а, толщина А. ! ! ! О та е т.
1,= -айз, 1з=- (ад)з, 1з= — азй. !2 ' " 4п * 8нз ' 7. Из круглого бревна диаметра Р требуется изготовить балку прямоугольного поперечного сечения, чтобы ее изгиб был минимальным. Определить ширину а и толщину Ь такой балки. О 1'3 Ответ, а=.—, Ь= -- — Р. Задача сводится к исследованию экстре- 2 ' 2 мума выражения аЬз при дополнительном условии а' + Ь' =- сопя', й 81. Скорость распространения продольных упругих возмущений в стер!киях 1. Если в каком-либо месте упругой среды возникла деформация, то по прекращении внешних воздействий она не остается на месте, а распространяется в среде во всех направленнях.
В таких случаях говорят о распространении в среде упругих возмущений нлн волн. Примерами могут служить звуковые волны в твердых телах, жидкостях нлн газах. Закрепим, например, в горизонтальном положении длинный железный стержень. Если ударить молотком по одному з м1 скОРОсть РАспРОстРАнения возмущений в стеРжнях концу стержня, то на этом конце возникает деформация сжатия, которая начнет распространяться вдоль стержня с большой скоростью. Чтобы обнаружить такую деформацию, наденем на стержень проволочную катушку, концы которой присоединим к осциллографу (рис.
216). Железный стержень всегда намагничен, хотя бы потому, что он находится в магнитном поле Земли, Пока нет возмущения, магнитный поток через катушку остается постоянным, и электрический ток через нее не идет. Но если возмущение достигает той части стержня, на которую надета катушка, то магнитный поток через нее изменяется. Возникает индукционный электрический ток, фиксируемый осциллографом. Проследить за распространением упругого возмущения вдоль стержня довольно затруднительно из-за большой скорости распространения и малости самого возмущения. Но это легко сделать на Рис.
216. модели, взяв вместо стержня длинную спиральную пружину из мягкой проволоки, подвешенную горизонтально на нескольких нитях. Если по одному концу пружины нанести легкий удар, то видно, как деформация сжатия распространяется вдоль пружины. Если же конец пружины был оттянут, то возникнет деформация растяжения, также распространяющаяся с определенной скоростью вдоль пружины. 2. Важным является вопрос о скорости распространени упругих возмущений. Рассмотрим этот вопрос сначала для упругих возмущений, распространяющихся вдоль стержня. Начнем с модели, Пусть имеется прямолинейный ряд, состоящий из одинаковых твердых идеально упругих шаров, соприкасающихся между собой.
Ряд таких шаров неограниченно простираегся вправо (рис. 217). Модель не предназначена непосредственно для решения вопроса о скорости распространения упругих возмущений в стержне. Но она позволяет простейшим образом составить представление о распределении скорости движения вещества в стержне, когда в нем распространяется возмущение, возникшее в результате действия определенной силы. Нанеся удар по первому шару, сообщим ему некоторую скорость о (рис. 217, а). Первый шар ударится о второй. При 410 мехАникА упРуГих тел 1гл.
х упругом ударе шары просто обмениваются скоростями: первый шар остановится, а второй придет в движение с той же скоростью о (см. 5 28). Затем второй шар передаст движение третьему, а сам остановится и т. д. Движение будет передаваться от шара к шару. В результате возникнет возмущение, распространяющееся вдоль ряда шаров.
Скорость распространения такого возмущения обозначим с. Ее нельзя смешивать со скоростью о того шара, который в рассматриваемый момент движется. Изменим теперь постановку опыта. В тот момент, когда при столкновении со вторым шаром первый шар остановится, нанесем по нему второй удар, чтобы он приоба) рел прежнюю скорость о. Тогда в этот момент первые два шара будут иметь одну и ту же общую скорость о.
Затем при ударе о третий шар второй шар передаст ему 99000000 свою скорость, а сам остановится. Первый шар при столкновении со вторым сделает то же самое. В результате движение перейдет от первых двух шаров ко второму и третьему. Затем оно будет передано третьему и четвертому шарам и т. д. Короче говоря, вдоль ряда шаров побежит возмущение, в котором в каждый момент движутся какие-то два шара, соприкасающиеся между собой, а остальные покоятся (рис. 217, б).
Допустим теперь, что всякий раз, как первый шар передает свое движение второму шару, он получает удар, в результате которого его скорость о восстанавливается. Состояниедвижения представлено на схематическом рис. 21?, в. Все шары, расположенные левее некоторой границы, движутся с одной и той же ',скоростью о, а шары, расположенные правее этой границы, находятся в состоянии покоя. Сама граница перемещается вправо со скоростью с, так что в движение вовлекаются все новые и новые шары.
Очевидно, ничто не изменится, если вместо шаров взять прямолинейный ряд, состоящий из упругих цилиндриков, соприкасающихся между собой своими основаниями (рис. 2!8). Зто замечание позволяет легко выполнить предельный переход к сплошной среде. т ви скОРОсть РАспРОстРАнения возмущении в стеРжнях 4ы Допустим, что длины цилиндриков неограниченно уменьшаются, а число их неограниченно растет.
Вместе с тем удары, которым подвергается первый цилиндрик, становятся все чаще и чаще, а сила каждого удара — все слабее и слабее. В пределе получится сплошной стержень, на свободный конец которого действует постоянная сила г" (рис. 219). От реального стержня наша модель отличается тем, что она не оказывает сопротивления на разрыв. Но это несущественно, когда рассматривается вопрос о распространении возмущения сжатия, поскольку сопротивлением на сжатие модель обладает. Можно было бы усовершенствовать модель, введя между цилиндриками пружинки пренебрежимо малой массы, связывающие их между собой. Но при рассмотрении возмущений сжатия в этом нет необходимости.
Мгновенное состояние движения стержня, возникшее под действием постоянной силы г", может быть охарактеризовано .А' следующим образом. Вещество стержня, находящееся левее некоторой границы В, движется с постоянной одной и той же скоростью о, а вещество правее этой границы находится в покое. Сама граница В перемещается вправо с постоянной скоростью с. В акустике, как правило, имеют дело с так называемыми малыми возмущениями. В этих случаях скорость вещества о бывает очень мала по сравнению со скоростью распространения возмущения с. Нарушение этого условия наблюдается только в случае очень сильных возмущений, называемых ударными волнами, которые здесь рассматриваться не будут.
Мы ограничимся исследованием распространения только малых возмущений. 3. Вычислим скорость распространения малых продольных возмущений в стержне, возникших в результате действия постоянной силы давления т"., Приложенной в некоторый момент к его свободному концу (рис. 219). Этот момент в дальнейшем принимается за нулевой, т. е. за начало отсчета времени. В возмущенной области стержня все вещество в любой момент времени ~ движется с постоянной скоростью о, а сам стержень в указанной области всюду деформирован одинаково. Если т — масса деформированной части стержня в момент 1, то его количество движения в тот же момент будет то. Приращение количества движения стержня за время в)1, т. е.
с) (то) МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ 4!2 (ГЛ. Х равно импульсу силы Р с(1 за то же время, Это дает т( (шо) ш (81.1) За время ( возмущение проходит путь 1 = с(, так что масса возмущенной области стержня будет т = рЯс(, где 5 — площадь поперечного сечения стержня, а р — его плотность. Строго говоря, под 5 и р в этом выражении следовало бы понимать значения этих величин для нееозмущенного стержня. Однако в пределах принятой здесь точности расчета в соотношениях подобного рода нет необходимости учитывать разницу между значениями р, 5 и аналогичных величин в возмущенном и невозмущенном состояниях.
Это необходимо делать только при рассмотрении сильных возмущений. Подставив в формулу (81.1) т = р5с(, Р = РЕ, где Р— давление в возмущенной области стержня, получим (81.2) с= )/ —. (81.5) Этой формулой и определяется скорость распространения упругих возмущений в рассматриваемом случае. 4. Работа, совершаемая силой Р за время 1, равна А = Ро( = =- РЗвс! = Ре)т, где )т — объем возмущенной части стержня. *) Если раскрыть производную, то получится оо т(т лз- -=то — о - —, ку Ш' (81.1а) Это соотношение является частным случаем уравнения (21,2). Достаточно заме- тить, что воамушенную часть стержня можно рассматривать как тела с переменной массой, причем о„,„= — о.
Формулу (81.2), которая выводится ниже, можно получить и из уравнения (81.1а), заметив, что в рассматриваемом случае Давление Р связано с относительным сжатием стержня соотношением Р = Ев. Для нахождения в заметим, что к моменту времени т' правый конец сжатой области стержня В еще не успел переместиться, тогда как левый свободный конец его А' двигался в течение времени 1 и переместился на расстояние о(.
В результате длина возмущенной области стержня по сравнению со своей исходной длиной укоротится на ст( = пй Поэтому о( о (81.3) с Р=Š—.. (8!.4) Исключая Р из формул (8!.2) и (81.4), получим $811 СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В СТЕРЖНЯХ 413 С другой стороны, потенциальная энергия, запасенная при сжатии, (7 =- т!ТРИ.
Таким образом, (7 = т!,А, Только половина работы идет на увеличение потенциальной энергии стержня. Другая половина тратится на приращение кинетической энергии. В каждый момент времени кинетическая энергия равни потенциальной. Этим свойством, как будет показано в следующем параграфе, обладает любое малое возмущение, распространяющееся в одном направлении.
5. Если в некоторый момен~ времени сила Р прекратит свое действие, то в стержне образуется возмущенная область, ограниченная с обеих сторон. Это нетрудно понять„воспользовавшись прежней моделью из прямолинейного ряда соприкасающихся упругих шаров (рис. 217) и выполнив затем предельный переход к сплошному стержню. Таким же путем нетрудно убедиться, что обе границы возмущенной области должны распространяться в одном направлении и с одной и той же скоростью. Последняя определяется формулой (81.5). Для доказатель- Г ства достаточно в возмущен- л в ной области провести произвольное сечение (рис. 220), Рис. 220.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
