Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Потому-то возмущение и распространяется вправо. Если изменить на противоположные направления скоростей всех частиц, то возмущение пойдет влево. 3. Формулу (84А) можно получить также следующим, очень поучительным способом. Пусть в шнуре возбуждено поперечное возмущение, распространяющееся, например, вправо (рис. 228) со скоростью и. Рассмотрим явление в системе отсчета, равномерно движущейся вправо также со скоростью с. В этой системе отсчета возмущение будет стоять на месте, а весь шнур — двигаться влево со скоростью с.
В возмущенной области на это движение будут накладываться малые поперечные колебания частиц шнура. Ось шнура является траекторией движущихся частиц, находящихся на этой оси. Если на шнур надеть надлежащим образом изогнутую цилиндрическую трубку, неподвижную в рассматриваемой движущейся системе отсчета, то наличие такой трубки никак не отразится на движении шнура.
Шнур будет просто протягиваться через трубку, нигде не касаясь ее стенок. Для того чтобы это имело место, необходимо тянуть шнур с вполне определенной скоростью с. При малых возмущениях скорости поперечных движений частиц шнура и малы по сравнению с с. В выражении полной скорости частиц )х'сз+ пв квадратом малой величины у можно пренебречь. В этом приближении величина полной скорости й й частиц шнура считается одной и той же на протяжении всей его длины и равной с. Однако 1 в области трубки, где шнур изогнут, его частицы Р движутся ускоренно.
Их ускорения направлены нормально к траектории и определяются выра- хт жением а = сз/)с. Для создания таких ускорений нужна сила, действующая нормально к траектории. Она возникает из-за изгиба шнура. Найдем Рис 2йй. ее величину. Выделим мысленно бесконечно малый элемент изогнутого шнура АВ, длину которого обозначим з (рис. 229). Его можно рассматривать как бесконечно малую дугу окружности радиуса 1с.
На концы этого элемента действуют продольные натяжения Т, и Т,. Их абсолютные величины в пределах принятой точности расчета одинаковы (Т, = Т, =- Т). Но направления немного отличаются друг от друга. Благодаря этому и появляется результирующая сила, направленная нормально к элементу АВ. Она равна Т = 2Т з(п — Тга = Т вЂ”. 2 тт 426 ~гл. х МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ Приравнивая эту силу массе элемента АВ, умноженной на его ускорение, получим з с~ Т вЂ” =зб —, Я Я' откуда снова получается формула (84.1). $ 85. Скорость распространения звука в жидкостях и газах 1. Жидкости и газы обладают только объемной упругосгпвю, гю не упругостью формы.
Поэтому в них могут распространяться только продольные возмущения, но не могут распространяться возмущения поперечные. Скорость распространения продольных возмущений в жидкой или газообразной среде можно вычислить по формуле (81.5), Но для этого надо решить, чтб в этом случае играет роль модуля Юнга Е. Вообразим, что жидкая или газообразная среда заключена в гладкую прямолинейную трубу постоянного поперечного сечения.
Трением между средой и стенками трубы пренебрежем. Стенки трубы будут препятствовать поперечному движению среды, нисколько не мешая продольному движению. Газ или жидкость в такой трубе можно рассматривать как стержень, вдоль которого распространяются продольные возмущения. Отличие от твердых 4 ел состоит в том, что газы могут существовать только под давлением. При отсутствии такового всякий газ неограниченно расширился бы. Поэтому необходимо предполагать, что в невозмущенном состоянии давление внутри газа отлично от нуля.
Обозначим его посредством Р,. Так.же будем поступать в случае жидкости. Если давление. внутри газа получит приращение и сделается равным Р = Р„+ ЛР, то изменится и объем рассматриваемой массы газа. Определим, как изменение объема газа Лу'связано с приращением его давления ЬР. При этом мы будем предполагать, что ЛР малб по сравнению с Р;. ЬР ( Р,.
Если газ заключен в трубе, один из концов которой закрыт подвижным поршнем, то при изменении давления на поршень на величину ЛР длина газового столба изменится на И. Величина — (ЛИ) есть относительное сжатие столба газа. При малых сжатиях ЬР= — А —, Ы 1' где А — постоянная. С другой стороны, формулу (75.7) для стержня можно переписать в виде 5Р= — Š—, где Ь(И) — прираще- , Ь (л11 ние длины стержня при изменении давления на ЛР.
По смыслу оно совпадает с тем, что в случае газового столба мы обозначили посредством И. Поэтому, меняя обозначение, модуль Юнга можно определить также с помощью формулы ЬР= — Š—. (85. 1) скогость звгкл в жидкостях н глзлх 427 з ам Из нее видно, что в случае газового столба А = Е. Длина столба газа 1 пропорциональна его объему 1/, и предыдущую формулу можно записать в виде оР = — Š— —.
(85. 2) В этом виде формула сохраняет смысл для любой формы сосуда, в котором заключен газ, тогда как формула (85.1) относится только к газам в сосудах цилиндрической формы. Будем считать, что давление газа зависит только от его объема г', Тогда для малых изменений объема ЬР =„-г, Ы или Сравнивая эту формулу с предыдущей, видим, что в газах (н жидкостях) роль модуля Юнга играет величина Е= — Є—,. (85.3) Вместо объема тела $' удобнее ввести плотность р.
Величина 1/р есть масса тела, остающаяся постоянной при всех изменениях. Из соотношения 1/р =- сопз1 путем дифференцирования находим дк и а потому Е=р „ (85.4) Подставляя это выражение в формулу (81.5), получаем для скорости звука в газах и жидкостях с= ~/ -„—. (85.5) 2. Применим формулу (85.5) к вычислению скорости звука в газах. Впервые это было сделано Ньютоном. Он принял, что изменения давления и плотности газа в звуковой волне подчиняются л' заяояд Бойля — Мариотта: Р = Ар, где А = сопз1. Отс|ода — - = йо Р =А = —.
В результате получается 4юрмула Ньютона р .УР сн= у р Здесь скорость звука обозначена сн, чтобы подчеркнуть, что речь идет о скорости звука, вычисляемои по формуле Ньютона. 428 мехАникА упРуГих тел ~ГЛ. Х Преобразуем формулу (85.6) к другому виду, более удобному в численных расчетах. Как известно, объем, давление и абсолютная температура Т идеальных газов связаны соотношением Р$'=- КТ, (85.
7) (85.8) си= ~/ — —. (85. 9) Вычислим по этой формуле скорость звука в воздухе при 0 С (7' = 273 К). Воздух есть смесь различных газов, основными частями которой являются азот (1А = 28) и кислород (р =- 32). Средний молекулярный вес такой смеси примем равным р = 28,8. Подставляя в формулу (85.9) численные значения, получим си —— -= 280 и!с.
Опыт дает с =- 330 м!с. Налицо значительное расхождение между теорией и опытом. Причина этого расхождения долгое время оставалась непонятной. Оиа была установлена Лапласом (1749 — 1827) лишь в начале Х1Х века. Закон Бойля — Мариотта относится к таким изменениям давления и объема газа, при которых его температура остается постоянной. Между тем звуковая волна состоит из следукицих друг за другом сжатий и разрежений газа.
Над сжатыми областями производится внешняя работа, которая идет на повышение их температуры. Разреженные области сами совершают внешнюю работу и благодаря этому охлаждаются. Так как сжатия и разрежения совершаются очень быстро, то температуры между ними не успевают выравниваться: сжатые области всегда теплее разреженных.
Наличие этой разности температур повышает перепад давления между сжатиями и разрежениями и ведет к увеличению скорости звука в газах. Это обстоятельство и не было учтено формулой Ньютона. Ньютон при вычислении скорости звука подставил в формулу (81.5) изотермический модуль упругости Е, а надо было пользоваться адиабатичесним модулем (см. 2 79). Количественное исследование вопроса будет дано в томе П нашего курса.
где (с — постоянная. Если газ взят в количестве одного моля, то постоянная (с будет иметь одно и то же численное значение для всех газов. Она называется универсальной газовой постоянной и равна )с = 8,31 10'эрг К '.моль '. Напомним, чтомолем называется количество вещества, масса которого в граммах численно равна молекулярному весу этого вещества р.
Отсюда следует, что плотность р связана с объемом )Г моля идеального газа соотношением р = рг'. В результате получаем ГЛАВА Х! МЕТОДЫ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ й 86. Размерность и системы единиц Е До сих пор мы ничего не говорили о размерности физических величин. Мы пользовались этим понятием, предполагая, что читатель имеет некоторое представление об относящихся сюда вопросах. В задачах, которые мы рассматривали, этого было достаточно. Метод размерности весьма эффективен в более сложных вопросах, например в гидродинамике, где полная теоретическая трактовка затруднительна. С привлечением добавочных соображений весьма общего характера или опытных данных он приводит, и притом быстро и просто, к важным результатам, дающим предварительну1о, хотя и неполную, ориентировку в рассматриваемом круге явлений. Поэтому необходимо познакомиться с этим методом.
Понятие размерности возникает в связи с построением систем единиц. В принципе можно было бы (так и поступали раньше) для каждой физической величины установить свою единицу, никак не связанную с единицами других величин. Но тогда в уравнения, выражающие физические законы, вошло бы множество численных коэффициентов. Их значения не укладывались бы ни в какую простую и легко запоминаемую схему, а определялись бы случайным выбором единиц, Такое множество численных коэффициентов весьма сильно усложняло бы формулы. Запоминание их было бы нелегкой и в сущности бесполезной нагрузкой для памяти.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
