Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 103

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 103)

За время г' возмущения из рассматриваемой бесконечно малой области распространятся на расстояние сб Если возмущения, возникшие из всей возмущенной области, в момент ] уже не перекрываются, то не будут перекрываться и возмущения, возникшие из отдельных бесконечно малых возмущенных областей (рис. 222). Для них остается справедливым соотношение Р, = Р, = Ч,Р. Отсюда следует, что в каждом из бегущих возмущений, возникших из возмущенной области, равны не только полные кинетические и потенциальные энергии, но и их плотности.

Рис. 222. 4. В приведенном рассуждении предполагалось, что оба бегущих возмущения возникли из начальной деформированной области, находившейся в состоянии покоя. Те жс рассуждения, понятно, можно было бы провести и для возмущений, возникающих из не- деформированных областей, частицам которых в начальный момент времени сообщены скорости, произвольным образом распределенные по этим областям. б. Итак, для того чтобы возмущение было бегущим, необходимо, чтобы плотности кинетической и потенциальной энергий в нем были одинаковы.

Вопрос о том, в какую сторону будет распростра. няться возмущение, легко решается с помощью энергетических соображений. Пусть, например, возмущенная область АВ распространяется вправо (рис. 221). Проведем в ней произвольное сечение 5. Чтобы возмущение распространялось вправо, необходимо, чтобы часть стержня А5 совершала положительную работу над частью 5В, т. е. должно быть Ро ) О, если условнтьсясчитатьскорости частиц стержня положительными, когда они направлены вправо. Если о ) О, то должно быть Р ) О, т. е.

напряжение в сечении 5 должно иметь характер давления. Если же и ( О, то должно быть Р ~ О, т. е. напряжение в сечении 5 должно сводиться к натяжению Т = — Р. Чтобы возмущение распространялось влево, необходимо выполнение условия Ро ( О. Если равенство кинетической и потенциальной энергий в возмущении не имеет места, то возмущение разделится на два возмущения, 418 ,гл х МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ распространяющиеся в противоположных направлениях. В общем случае этн возмущения будут уносить разные энергии. Например, если всюду в начальной возмущенной области Ро) О, то энергия, уносимая вправо, будет больше энергии, уходящей влево.

При Ро ( О соотношение между этими энергиями будет обратным. Если же Ро = О, то оба возмущения унесут одинаковые энергии. 6. Из изложенного следует, что в бегущей волне сжатия частицы стержня движутся в пюм же направлении, в каком распространяется само возмущение.

Если же возмущение носит характер растяжения, то этн направления противоположны. Предположим сначала, что возмущение является сжатием и распространяется вдоль стержня слева направо. Исследуем, что произойдет, когда оно достигнет правого конца стержня. Будем предполагать, что правый конец стержня свободен, т. е. не закреплен. Тогда с приходом возмущения Слеамле РЕЛМЯЗСЕГЛЕ РваглглГелее' Рис. 223. СЛЕЕЛГЕЕ Рис. 224. частицы на конце стержня приобретут скорости, направленные вправо. Так как конец стержня свободен, то остановиться эти частицы могут лишь тогда, когда со стороны стержня на них подействуют силы, направленные влево.

А для этого стержень у правого конца должен оказаться растянутым. Сжатие на конце стержня переходит в растяжение. Последнее вызовет в стержне возмущение растяжения, которое будет распространяться в нем влево (рис. 223). Все происходит так, как если бы в некоторый момент времени был оттянут свободный конец стержня и в нем создана деформация растяжения. В возмущении, распространяющемся налево, поскольку оно является возмущением растяжения, частицы среды должны иметь скорости, направленные вправо. Зтн скорости частицы приобретают под влиянием сил натяжения, с которыми на них действуют растянутые части стержня, лежащие правее, Мы видим, что от свободного конца стержня возмущение сжатия отражается и переходит в возмущение растяжения.

Аналогично ведет себя и возмущение распяжения, Оно также отражается от свободного конца и переходит в возмущение сжатия (рис. 224). В обоих случаях при отражении от свободного конца стержня знак деформации меняется на противоположный, тогда как знак скорости вещества о сохраняется неизменным. Иначе ведет себя возмущение при отражении от закрепленного конца стержня. В общем случае возмущение распадается на два: 419 применения принципа снпврпозиции э ат! задачи !. В упругом стержне создана такая начальная деформация сжатия, что скорости всех частиц в деформированной области направлены в одну сторону (например, вправо), причем в каждой точке плотность потенциальной энергии в а раз превосходит плотность кинетической энергии.

Определитгч какая доля первона. чальной энергии будет унесена возмущением, распространяющимся вправо, а какая доля — возмущением, распространяющимся влево. Р е ш е н и е, Для простоты внедем такие единицы, чтобы плотности кинети. ческой и потенциальной энергий выражались формулами ш„„„=о', ш„е, = Р'. Представим начальные значения Р н о в виде Р=Р1+Ра о=ог+оз Пусть каждое из начальных возмущений Р,, ог и Р„оз порождает возмущение, бегущее в одном направлении. Тогда Р; '= о', Р! = о,'. Если первое возмущение бежит вправо, а второе — влево, то Р,и, > О, Р,и, < О. Учитывая это, получаем Р,= — о,, Р,= — о, Р— о Ре = — от 2 .' и далее Р + о Р,= — о,= 2 Отношение энергий, уносимых возмущениями, равно !+2--+, — 1 о 1оУ илн Е, 1 ос 2 г а+а (') а+ 1 )~ Еа 1 — 2 г~атсг () гх — ! 7 2. Стальной цилиндр длиной ! = 10 см, движущийся вдоль своей оси со скоростью о, сталкивается торцом с таким же неподвижным цилиндром, ось которого является продолжением оси первого цилиндра.

Рассматривая упругие возмущения, возбуждаемые при ударе, определить время соударения цилиндров. При каких значениях скорости о наступают пластические деформации цилиндров или их раз. рушениеэ Для стали Е = 2 10" дин(смт, р = 7,8 г!сма, предел упругости Р, = = 2 10ь дин!сма. одно возвращается назад в виде отраженного возмущения, другое проходит в среду, с которой граничит закрепленный конец стержня. Только в предельном случае, когда эта среда бесконечно жесткая, возмущение отражается целиком. Рассмотрим этот предельный случай. Когда возмущение достигает границы, то сжатие (растяжение) продолжает оставаться сжатием (растяжением), так как конец стержня закреплен и смещаться не может.

гто силы, действующие на этот конец со стороны среды, с которой он граничит, меняют направление скоростей частиц на противоположные. Знаки деформаций при отражении сохраняются, а знаки скоростей изменяются. В результате возмущение сжатия отражается также в виде возмущения сжатия, а возмущение растяжения — в виде возмущения растяжения. мехАникА упРуГих тел (ГЛ.

Х с с Рис. 225 т(о Лз т ги,,',з гпиз, 2(2 ) 2(2 У 4 ™ Но эта величина должна быть равна тиЧ2. Отсюда следует, что и' = иЧ4, а потому и' = и(2. Таким образом, когда обе волны разрежения сойдутся в центре, первый цилиндр остановится и деформирован нс будет, второй будет двигаться вправо со скоростью и также в недеформированном состоянии (положение 3) Как и следовало ожидать, цилиндры обменялись скоростями Начиная с этого момента, контакт между цилиндрами прекратится.

Поэтому время соударения Р е т е н и е. В момент соприкосновения цилиндр Л движется со скоростью и, цилиндр  — покоится, оба цилиндра не деформированы (рис. 225, положение 1). После того как произойдет удар, от места удара в обе стороны побегут волны сжатия со скоростью с относительно цилиндров (положенне 2).

Частицы обоих цнл нндров в области сжатия движутся в одну и ту же сторону со скоростью гг2. Это следует нз закона сохранения импульса. Когда возмущения дойдут до концов цилиндров, все вещество будет двигаться с общей скоростью Ы2 (положение 3). Масса движущегося вещества удвоилась, скорость умеиьщнлась вдвое, так что захон сохранения импульса соблюдается. Кинетическая энергия по сравнению с началь. ной уменьшилась вдное.

Половина энергии перешла в потенциальную — оба цилиндра равномерно сжаты и прижимаются друг к другу. Затем начинается отражение возмущений от своболных концов цилиндров (положенне 4). Возму- щения сжатия переходят в воз- ы и и-й мущения разрежения. Прн этом д на левом конце давление со сто. роны смежных областей останавливает частицы вещества, з г г на правом — ускоряет. Слева возникает недеформированная с с область, в которой вещество покоится, справа — недеформи- 2 и г рованная область, в которой вещество движется вправо со скоростью и.

Чтобы убедиться в этом, перейдем в систему ото-гт д м. в р счета, движущуюся вправо со г скоростью и)2. В начальный мо. 4 мент(положение 3) оба пилиндра в этой сисгеме отсчета покоятся и равномерно сжаты. При отраи-й ~ женин на обоих концах возникают возмущения разрежения: от левого конца разрежение пойдет вправо со скоростью с, от правого — влево с той же скоросгью.

У свободных концов стержней образуются недеформнрованные области, Скорости вегцества в этик областях (относительно движущейся системы отсчета) должны быть направлены наружу, так как движение в них возникает под лействием сил сжатия, направленных в те же стороны. В силу симметрии скорости вещества в обеих недеформированных областях одинаковы по величине, но направлены противоположно. Обозначим и' сиорость вещества в правой недеформированной области. (Очевидно, она положительна.) Тогда скорость вещества в левой недеформировапной области буден — и'.

Характеристики

Список файлов книги