Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Найдем выражение для плотности упругой энергии при деформации сдвига. Закрепив неподвижно основание АР (рис. 203, б), будем производить сдвиг квазистатическн. Тогда вся работа, затрачиваемая на сдвиг, пойдет на увеличение упругой энергии тела. Совершаемая работа, очевидно, равна А = 1),тЯЛх, где Лх— смещение грани ВС при сдвиге, а 5 — площадь этой грани. Если а— длина ребра куба, то Лх = ау, а потому А = "l,трау = 1),$'ту, 1гл.
х МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ где )à — объем куба. Таким образом, объемная плотность упругой энергии выражается формулой 1 и = — ту= —. (78.2) А Рис. 204. 3. Тангенциальные напряжения, действующие параллельно граням куба, можно свести к совокупности натяжения и давления, равных по величине и действующих во взаимно перпендикулярных направлениях. Действительно, проведем диагональное сечение куба АС (плоскостью, перпендикулярной к плоскости рис. 203, а).
Сила Р, действующая на часть куба АС?? на плоскости АС, будет нормальна к этой плоскости и направлена внутрь рассматриваемой части. Это есть сила нормального давления. Определим величину этого давления. Если длина ребра куба есть а, то сила Р, очевидно, равна Р = а' (т ейп 45'+ т сов 45') = г' 2а'т.
Площадь диагонального сечения АС есть а' 1' 2. Разделив Р на эту площадь, получим искомое давление Р— — т. Итак, в диагональном се- чении АС и во всякои плоскости, ему па— раллельной, напряжение сводится к нормальному давлению, численно равному т. Рассуждая аналогично, можно доказать, что в диагональном сечении В?? и во всякой плоскости, параллельной ему, р действует нормальное натяжение Т, также численно равное т. 4. На основании изложенного ясно, что сдвиг эквивалентен растяжению тела в некотором направлении и сжатию в перпендикулярном направлении. Вырежем, например, мысленно из нашего куба прямоугольный параллелепипед с поперечным сечением РЦКБ (рис.
204). В направлении диагонали куба АС он будет растянут натяжением Т=т, в перпендикулярном направлении В — сжат давлением Р = т. В направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка, размеры параллелепипеда останутся неизменными. Направим ось Х параллельно ребрам РЦ и ЯР, а ось У вЂ” параллельно ребрам Я)с и РБ, Тогда, подставляя в формулы (76.1) Т„ = т, Т„ = — т, Т = О, получим е, =- О, е, + е, = О.
В силу соотношения (7?.2) ЛУ = О. Деформация не сопровождается изменением объема тела — утверждение, которое упоминалось выше без доказательства. 5. Таким же путем из формулы (76.3) получаем для плотности упругой энергии при сдвиге и= — 1т'. Е (78.3) э 7м кРучение Зта формула устанавливает связь между модулем Юнга Е, коэффициентом 11уассона р и модулем сдвига 6. Используя ее, а также формулы (77.10) и (77.4), получим Е'=К+-з Е.
(78.5) 9 79. Кручение 1. Деформации, о которых шла речь до сих пор, были деформациями однородными, т, е. такими, когда все бесконечно малые элементы тела деформированы одинаково. Деформации кручения и изгиба, к изучению которых мы обращаемся, яеля7отся деформациями неоднородными. Это значит, что в этих случаях деформации внутри тела меняются от точки к точке. Возьмем однородную проволоку, закрепим ее веркний конец, а к нижнему концу приложим закручивающие силы, создающие вращающий момент М относительно продольной оси проволоки. Проволока закрутится — каждый радиус нижнего основания ее повернегся вокруг продольной оси на угол ~р. Такая деформация называется кручением.
Закон Гука для деформации кручения записывается в виде (79. 1) где 1" — постоянная для данной проволоки величина, называемая ее модулем кручения. В отличие от ранее введенных модулей Е, К, Е', 6 и коэффициента р, модуль кручения запилит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки. 2. Выведем выражение для модуля кручения 7. Сначала сделаем это для цилиндрической трубки радиуса» и длины 1, предполагая, что толщина 6» стенки трубки очень мала по сравнению с радиусом». Площадь основания трубки есть 2п»6». Момент сил, действующий на это основание, будет М =- 2п»6» т», где т — касательное напряжение в том же основании.
При квазистатическом закручивании 7НЕ проволоки на угол ~р совершается работа А ='!,М~р=--. Разделив ее на объем трубки 1» = 2п»16», найдем плотность упругой энергии при деформации кручения пте»зб» и = 11 (79.9) Зта величина должна совпадать с (78.2), так как значение и не люжет зависеть от способа вычисления. Сравнивая оба выражения, получим Е О=„,+ ). (78.4) Зйв [ГЛ. Х МЕХАНИКй УПРУГИХ ТЕЛ Ту же величину можно выразить иначе. Вырежем мысленно из трубки бесконечно короткую часть, изображенную на рис. 205. В результате деформации кручения бесконечно малый элемент трубки АВОС перейдет в положение А'В'0С.
Это есть сдвиг. Таким образом, деформацию кручения можно рассматривать как неоднородный сдвиг. Плотность упругой энергии при сдвиге дается выражением (78.2). Приравнивая его выражению (79.2), находим искомое соотношение 2пбгтбг Если стенка трубки имеет конечную толщину, то модуль ) найдется интегрированием послед- него выражения по г. Это дает (79. 4) А где г, — внутренний радиус трубки, а г, — наружный.
Для сплошной проволоки радиуса г Рис. 206. пб 4 (79.5) 27 3. Экспериментально модуль кручения можно измерить, наблюдая крутильные колебания тяжелого тела, подвешенного к нижнему концу проволоки. Эти колебания будут гармоническими с периодом А' а Т = 2п 1уУ— (79.5) (см. 2 42). Если момент инерции тела 7 известен, то, измерив период колебаний Т, можно вычислить по этой формуле модуль кручения ). злдлчи 1. Две проволоки одинаковой длины сделаны из одного и того же материала, но диаметр второй из них вдвое больше, чем первой. В одном из опытов нижнее основание каждой проволоки было закручено относительно ее верхнего оснона- ния на один и тот же угол.
В другом опыте проволоки были сварены своими основаниями так, что ось одной из них сделалась продолжением оси другой; затем нижнее основание получившейся составной проволоки было закручено относительно верхнего на некоторый угол. Найти отношения упругих энергий проволок в обоих случаях. Ответ. !) — = —, 2) -=!6. иг ! и, [Гз 16 ' [/з 2. Шар, подвешенный на проволоке, совершает крутильные колебания с периодом Т вокруг вертикальной оси. Найти период колебаний того же шара Т, если проволоку, на которой он был подвешен, заменить цилиндрической трубкой той же длины и массы с внешним радиусом Тт и внутренним радиусом г и изготов. ленной нз того же материала.
/ [э~ га Ответ. Т'=Т 1ГУ вЂ” ~у [[з+га. З99 КРУЧЕНИЕ э 79) 3. Определить удлинение спиральной пружины, если растягивающие силы действуют вдоль ее оси. Шаг спирали считать пренебрежимо малым по сравнению с радиусом витка )7. Модуль кручения проволоки, из которой изготовлена спираль, считать известным. Р е ш е н и е. Произведем мысленный разрез проволоки пружины в произвольной точке А плоскостью, проходящей через ось пружины (рис. 206, а).
Пусть Р7 — сила, с которой нижняя часть пружины действует на верхнюю в месте разреза, Для равновесия веобходнмо, чтобы Р~ = — гт, где 77 — растягивающая сила, действующая ва верхнюю часть пружины. Так как силы Р и Р, образуют пару, то момент этой пары не зависит от выбора точки, относительно которой он берется.
Згот момент перпендикулярен к плоскости разреза и равен М = г)7. Из-за малости шага витка можно считать, что момент в точке А направлен вдоль оси проволоки. Чтобы расслэатриваемая часть пружины находилась в равновесии, необходимо, чтобы возникло кручение проволоки вокруг ее оси, компенсирующее момент М. Когда растягивающие силы г' действуют вдоль оси пружины, ау Рис. 206. величина момента М не меняется вдоль проволоки, а потому кручение ее будет равномерным.
Пусть г(1 — элемент длины проволоки. Под действием момента М он закрутится на угол г(ф = М777, где 77 — модуль кручения рассматриваемого элемента, Обозначим ! модуль кручения всей проволоки (еслн ее выпрямить). Так как модуль кручения обратно пропорционален длине проволоки 7„ то 7 = а! М б! — а потому о(ф=- — —, В результате закручивания элемента о(! на (о 7 (о М)7 б! Жз ау угол о(ф нижний конец проволоки опустится на о(х= )7 Йр = — — = — —. (о ! (о Интегрируя по длине всей проволоки, найдем удлинение пружины х= —, г")(о (79.7) Введем коэффициент упругости пружины по формуле Р = йх.
Тогда й= (79.6) 4. Рассмотреть ту же задачу для случая, когда растягивающие силы дей. ствуют не вдоль оси пружины, авдочь одной изобразующнх цилиндрической поверхности, на которую она намотана. МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ (ГЛ. Х В отличие от предыдущего случая, кручение проволоки неоднородно. Интегрируя по всей длине пружины и считая число витков целым, получим 3 Л74 х= — —. 4 Е $80.
Изгиб Н Рассмотрим изгиб адяородного бруса (балки) произвольного поперечного сечения, которое, однако, должно оставаться одинанавым на протяжении всей длины бруса. Пусть до деформации брус имел прямолинейную форму. Проведя сечения АВ и А'В', нормальные к оси бруса, мыслевво вырежем из него бесконечно малый элемент АА'В'В (рис. 207, а), длину которого обозначим (,. Ввиду В В А А' / / у м/ б) 4/В Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
