Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Если масса элемента т, а ускорение а, то та=у»+о„5+о „5„+о „5л+ А + о- »5» Х Выполним в этом соотношении преРис. 198. дельный переход, стягивая элемент ОАВС в точку. При таком предельном переходе члены та и 7' можно отбросить. Они пропорциональны объему элемента ОАВС и, следовательно, являются бесконечно малыми выело порядка по сравнению с остальными членами, пропорциональными поверхности элемента. Как известно из геометрии, проекции площади 5 на координатные плоскости выражаются соотношениями УПРУГИЕ НАПРЯЖЕНИЯ 4 74! Совокупность этих девяти величин называется тензором упругих напряжении. Вообще говоря, эти величины меняются от точки к точке среды, т.
е. являются функциями координат. Только в статике в отсутствие массовых сил тензор упругих напряжений остается одним и тем же во всех точках среды. 4. Тензор упругих налрлжений является симмеп4ричным тензором, т. е. (74.3) о;,=ор (4, )'=х, У, г). Для доказательства рассмотрим элементарный параллелепипед вещества со сторонами йх, йу, йг (рис. 199). Момент сил М.
относительно оси 2, действующии на этот параллелепипед, равен М, =(о,„йуйг) йх — (о, йхс1г) йу= = (о,„— о„„) Л'„ где Л' — объем рассматриваемого элементарного параллелепипеда. По уран- г нению моментов О (..„— „.) йР=7,— '", т Рис. 199. где 7, и ь4, — момент инерции и угловая скорость относительно оси с. Но момент инерции 1, пропорционален произведению массы на квадрат линейных размеров рассматриваемого параллелепипеда, т. е. является бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем объем параллелепипеда йК Поэтому при стягивании параллелепипеда в точку правая часть 1, †„ будет быстрее обращаться й444 в нуль, чем левая.
В пределе мы получим о„„= о„„. Аналогично доказываются и остальные два соотношения: о„, = о,„и о, =о,. 5. Можно доказать, что координатную систему Х, У, л мозкно выбрать так, чтобы в этой сиапеме обратить в нуль все недиагональные элементы тензора упругих налрлзсений, т. е. о„= 0 при 4' ~ 7'. Не останавливаясь на доказательстве, заметим только, что это можно сделать потому, что тензор упругих напряжений оу является симметричным. Таким образом, в этой системе координат упругие напряжения в каждой точке тела характеризуются только тремя величинами о„„, оз„и о„.
В целях краткости их можно обозначать с помощью одного индекса, т. е. о„о, и о,. Соответствующие координатные оси называют главными осями тензора упругих напряжений. 384 мехлникА упРуГих тел 2 75. Растяжение и сжатие стержней ~ГЛ, Х а) 6) где 5 — площадь поперечного сечения стержня. Если ясе стержень сжат, то напряжение называется давлением и численно определяется той же формулой (75.2) Давление можно рассматривать как отрицательное натяжение и наоборот, т. е. Р = — Т.
(75.3) Это замечание освобождает нас от необкодимости рассматривать отдельно растяжение и сжатие. 2. Пусть 1„— длина недеформнрованпого стержня. После приложения силы Р его длина получает приращение Л1 и делается равной 1 =- 1, + И. Отношение а=в ЗГ (75.4) 0 1. Возьмем однородный стержень н приложнм к его основаниям растягивающие нли сжимающие силы Р (рис.
200, а и б). Стержень будет деформирован, т. е. растянут или сжат. Мысленно проведем произвольное сечение С, перпендикулярное к оси стержня. Для равновесия стержня АС необходимо, чтобы на его нижнее основание С действовала сила Е, == Р. Это есть сила, с которой нижняя часть стержня ВС тянет верхнюю нли давит на нее.
Такая сила возникает потому, что нижняя часть стержня дехрормирована. Верхняя часть стержня также деформирована и действует на нижнюю с силой, равной Е, н противоположно направленр ной. Такие силы действуют в любом попе- речном сечении растянутого или сжатого А д стержня. Таким образом, деформация стержня связана с возникновением упругих сил, с которыми каждая часть стержня действует на другую, с которой она граничит. Силу, отнесенную к единице площади поперечного сечения стержня, мы назвали напря,с~ А: жением. В рассматриваемом случае напряжение перпендикулярно к поперечному сечению стержня. Если стерясень растя- Ю а нут, то зто напряжение называется на- Р 'с тязкением и определяется выражением т = -Р—, (?5.1) РАСТЯЖЕНИЯ И СЖАТИЯ СТЕРЖНЕЙ % си называется относительным удлинением стержня.
В случае растягивающих сил оно положительно, в случае сжимающих сил — отрицательно. Относительное удлинение, взятое с противоположным знаком, называется относительным сжавшем. Таким образом, по определвнию относительным сжатием называется величина — (М)Ль. Она положительна в случае сжимающих сил и отрицательна — в случае растягнвающих. Опыт показывает, что для не слишком больших упругих деформаций натяжение Т (или давление Р) пропорцион льна относительному удлинению (или относительному сжатию) Л! Л! Т=Š— или Р= — Š—, !о !о (75.5) Т = Ее + А е'+ Ве'+..., причем коэффициенты Е, А, В, ...
являются постоянными, зависящими только от материала стержня и его физического состояния. Если относительное удлинение е мало, то высшими степенями е можно пренебречь. Тогда мы придем к закону Гука (75.5). При этом мы Ав' делаем относительную ошибку порядка — е. Зти общие сообраЕь жения показывают, что закон Тука и основанные на нем расчеты верны с относительной ошибкой порядка в. Поэтому во всех таких где Š— постоянная, зависящая только от материала стержня и его физического состояния. Она называется модулем Юнга (1773— 1829). Формулы (75.5) выражают закон Гука (1635 — 1703) для деформаций растяжения и сжатия стержней. Зто — приближенный закон. Для больших деформаций он может не оправдываться.
Деформации, для которых приближенно выполняется закон Гука, называются малыми деформациями. Если в формуле (75.3) положить й( = 1„, то получится Т = — Е. Поэтому модуль Юнга часто определяют как натяжение, которое надо приложить к стержню, чтобы его длина удвоилась, если бы при такой деформации закон Гука оставался еще верным. Недостаток этого определения состоит в том, что при таких больших деформациях закон Гука почти для всех тел становится недействительным: тело либо разрушается, либо нарушается пропорциональность между деформацией и приложенным напряжением. 3.
Более общим, чем закон Гука, является утверждение, что в случае упругих деформаций натяжение Т является однозначной функцией относительного удлинения е: Т = — Т (е). Зта функция должна обращаться в нуль при е = О, так как с исчезновением деформации е исчезает и напряжение Т. Поэтому в разложении функции Т (е) в ряд по степеням е должен отсутствовать нулевой член. Зто разложение должно иметь вид МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ 1ГЛ. Х расчетах мы не только можем, но и должны отбросить слагаемые, которые по сравнению с основными членами являются величинами порядка е, во и т. д. Например, относительное удлинение е можно определить не только выражением (75А), но и выражением (Л))!!. Дело в том, что разность этих двух выражений (1 — 1о) Д1 (Д1)о о 1о 1 1 1о 1 1о второго порядка малости по е, а потому ею следует пренебречь.
Таким образом, закон Гука (75.5) можно также представить в виде Т=Š—, Р= — Š—, (75.6) или д1 т д1 1 Е' 1 Е' (75. 7) Это замечание, касающееся точности вычислений, разумеется, относится не только к деформациям растяжения и сжатия, но и ко всем малым деформациям, о которых будет идти речь ниже. 4. Пусть в стержне создано натяжение Т,. Оно вызовет относи- тельное удлинение — = —, и длина стержня сделается равной л,1 т, 1о ), = 1, + Л,1.
Свойства материалов при деформациях, вообще говоря, изменяются. Поэтому можно было бы ожидать, что изменится и модуль Юнга. Однако если деформации малы (а только для таких деформаций и имеет смысл говорить о модуле Юнга), то с такими изменениями мои'но не считаться. Действительно, обозначим Е, модуль Юнга деформированного стержня. Если к деформированному стержню приложить дополнительное натяжение Т„то его длина получит дополнительное приращение Ьо), причем — — = —.
Принил,1 т, Е,' мая во внимание точность, с которой справедлив закон Гука, можно считать, что — = —. Имея еще в виду, что полное удлинение Л,1 Д,1 11 1а равно Л1 =Ь,(+Ло1, получим л1 т, + т, Е +Е ' Но Д1 не обязательно разлагать на составные части Л,( и Лой Эту величину можно рассматривать как единое удлинение под действием результирующего натяжения Т = Т, + Т,. Поступая так, можно написать на основании закона Гука л1 т т, „ т, $753 РАСТЯЖЕНИЯ И СЖАТИЯ СТЕРЖНЕЙ Сраввивая с предыдущим выражением, получим Е = Е„что и требовалось доказать.
Приведенное рассуждение справедливо не только для деформаций растяжения и сжатия, но и для любых малых деформаций. Если деформации малы, то упругие посто нные тел не изменяются при деформациях. Отсюда следует, что если на тело дейапвует несколько сил, то для вычисления результирующей деформации можно вычислить скача и деформации, вызываемые каждой силой в отдельности (как если бы остальных сил не было вовсе), а затем полученные деформации сложить. Это важное положение называется принципом суперпозиции малых деформаций. 6. Для того чтобы деформировать тело, над ним надо совершить работу. В свою очередь деформированное тело само может совершать работу. Оно обладает запасом потенциальной энергии.
Эта энергия называется упругой. Она равна работе сил, затраченной на деформацию тела, при том существенном условии, что вся эта работа тратится только на приращение упругой энергии тела и не расходуется на увеличение кинетической энергии. Для того чтобы кинетическая энергия при деформации не возникала, надо деформацию производить достаточно медленно, постепенно увеличивая внешние силы, чтобы в любой момент времени каждая часть тела практически находилась в состоянии равновесия. Иначе говоря, при деформации внешние силы все время должны уравновешиваться возникающими при этом силами внутренних напряжений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
