Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 118
Текст из файла (страница 118)
Обозначая эту постоянную посредством С, получим й) (97.) 1) В этой формуле содержатся все законы Пуазейля. Она является обобщением формулы (97.4) на случай прямолинейных труб произвольного поперечного сечения. Постоянная С зависит от формы 481 ФОРМУЛА ПУАЗЕйЛЯ поперечного сечения трубы и не может быть определена методами теории размерности. Для ее нахождения необходилто обратиться к опыту или к динамическим методам, т. е.
к интегрированию уравнений движения. задачи 1. Определить стационарное течение вдаль осн и расход несжимаемой жидности между двумя ноахснальными цичиндрамн с внутренним радиусом ды внешним Яэ и длиной !. Р е ш е н и е. Рассмотрим кольцевой слой жидкости с внутренним радиусом г и внешним г+ пг. Сила внутреннего трения, действующая на него в направлении течения, равна 2п1т) ~~с в --) — (г ---) ] = 2п1т) †„ — 1 г — ~ бг.
(Инденсы г и г + г)г означают, что величины, занлюченные в круглые скобки, должны быть вычислены прн значениях радиусов г и г + г(г соответственно.) В том же направлении действует сила разности давлений (Р, — Р,) 2пг аг, При стационарном течении сумма обеих сил обращается и нуль. Зто приводит н уран.
нению (97, 12) Решение его, обращающееся в нуль при г = )7, и г = )7„есть Расход жидкости: ,) пр (Р.- Рз) (,, Ж1 — )71)т ( 811! ( "" ' )п()рз!)7,) ) ' 2. Помазать, что прн ламинарном стационарном течении несжимаемой жидкости вдоль прямолинейной трубы произвольного поперечного сечения и длины ! скорость жидкости о удовлетворяет уравнению (97. 13) (Координатная плоскость У2 перпендикулярна н оси трубы, оси У и 2 взаимно перпендинулярны и ориентированы произвольно.) У н а з а н н е.
Взять произвольный бесконечно тонкий прямоугольный параллелепипед жидкости длины 1 с ребрами, параллельными координатным осям, и написать условие обращения в нуль действующих на него сил вязкости и разности давлений, подобно тому нак это делалось при выводе уравнения (97.12). 3. Определить скорость течения и расход жидкости в трубе эллиптического сечения. Р е ш е н и е. Эта задача относится н типу задач, решаемых меглодол угадывания. Угадывается вид решения дифференциального уравнения (97.13), а затем коэффициенты в этом решении подбираются тан, чтобы удовлетворить граничному условию на стенке трубы: о = О. Направим координатные оси У и Е вдоль главных осей нормального эллиптичесиого поперечного сечения трубы и будем искать решение в виде о = Аут+ Вз'+ оэ.
Это выражение удовлетворяет уравнению (97.13), если 2А+2В=— !Ч МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ (ГЛ. Хп На внутренней поверхности эллиптической трубы о= О, т.е. Ар'+ Вгв+ + о, = О. Это уравнение должно переходить в уравнение эллиптического серг гв чення трубы — + — — 1=О, а потому . ав В= —— в'в Ьв Для определения постоянных А, В, ов получилось три линейных уравнения. Решая их, находим ,вь ов 2(Ч ав ) Ьв в (97АА) рв гв '1 э=ов(1 — — — — 1 ° ав Ь (97 1б) Постоннная о, есть, очевидно, скорость течения на оси трубы. Вычислим теперь расход жидкости.
Поверхности, на которых скорость о постоянна, суть эллиптические цилиндры рв г' — + — =1, а'в Ь'в полуоси которых определякпся соотношениями а'=ав —, Ь'в=ьв— оо —" оо — о "в ов Возьмем два таких эллиптических цилиндра с бесконечно близкими значениями параметра о.
Площадь нормального сечения между нами а5 = б (па'Ь') = аЬ = — и — аш Расход жидкости: ов о ву=р ~ об5= — р — ~ обо, паЬ "в нлн рвшЬ "в. 2 (97,16) ф 98. Законы гидродинамического подобия 1. Рассмотрим поток жидкости, обтекающий какое-нибудь тело или систему тел. Наряду с этой системой можно ввести бесконечное множество подобных и подобно расположенных тел, обтекаемых другими жидкостями. Каким условием должны удовлетворять параметры потока и постоянные, характеризующие свойства жидкостей (плотность, вязкость и пр.), чтобы оба потока были механически подобный Если подобие имеет место, то, зная картину течения для первой системы тел, можно однозначно предсказать течение жидкости и для другой, геометрически подобной, системы тел. Это имеет важное значение в судостроении и самолетостроении.
Вместо реальных кораблей или самолетов испытываются их уменьшенные геометрически подобные модели, а затем путем пересчета определяется з эз! ВАКОНЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОВИЯ аз п, о„г, 1, р, ть с, у, т должна существовать функциональная связь. Из них можно соста- вить шесть независимых безразмерных комбинаций. Сюда относятся два отношения в/оы г11 и еще четыре безразмерных числа: 1«е= ~~ ' = — „', Е= — "" —, дГ М=— с» с ' ссз (98.!) (98.2) (98.3) (98.4) Согласно правилу размерности одна из этих безразмерных комбина- ций является функцией остальных, например — =/( —, йе,Е,М,З), е= осу(--, Йе, Г, М, 8).
(98.6) или (98.6) Если для двух течений пять из шести безразмерных комбинаций, перечисленных выше, совпадают, то будут совпадать и шестые. Это — общий закон подобия течений, а сами течения называются механически или гидродинамически подобными.
2. Величина (98.1) называется числом Рейнольдса (1842 †19), (96.2) — числом Фруда, (96.3) — числом Маха, (98.4) — числом Струхаля. Физический смысл чисел Маха и Струхаля не требует йояснений. На физическом смысле чисел Рейнольдса и Фруда необходимо остановиться подробнее. При этом само собой станет ясным, что оба поведение реальных систем. Простейший метод решения поставленной задачи дает теория размерностей. Исследуем вопрос в общем виде. Пусть г и »» — радиус-вектор и скорость жидкости в подобно расположенных точках, 1 — характерный размер, а о, — характерная скорость потока, например скорость жидиости, с которой она из «бесконечности» натекает на рассматриваемую систему тел. Свойства жидкости характеризуются ее плотностью р, вязкостью «! и сжимаемостью. Вместо сжимаемости можно пользоваться скоростью звука в рассматриваемой жидкости.
Если существенна сила тяжести, то последняя характеризуется ускорением свободного падения д. Если течение не стационарно, то надо ввести какое-то характерное время т, за которое происходит заметное изменение течения. Ввиду наличия уравнений движения между величинами 484 механика жидкоствп и газов ~гл. хп этн числа безразмерные.
По порядку величины число Рейнольдса есть отношение кинетической энергии жидкости к потере ее, обусловленной работой сил вязкости на характерной длине. Действительно, кинетическая энергия жидкости К ° Ч, ро'„'Р. Силу вязкости найдем, умножая величину вязкого напряжения и оьП на характерную площадь Р. Зто дает т)о,й Произведение этой силы на характерную длину определяет по порядку величины работу сил вязкости А— т(о„Р.
Отношение кинетической энергии К к работе А будет Р~"о Л а это и есть число Рейнольдса. Число Рейнольдса, таким образом, определяет относительную роль инерции и вязкости жидкости при течении. При больших числах Рейнольдса основную 'роль играет инерция, при малых — вязкость. Число Рейнольдса, конечно, определено не вполне четко, поскольку оно содержит характерную длину и характерную скорость, которые сами определены не четко. Зто число, как и все остальные безразмерные числа в законе подобия, определено лишь по порядку величины.
Если размеры тела в разных направлениях примерно одинаковы, то особой неопределенности не возникает. Если же это не так, то в качестве характерной длины могут быть выбраны разные величины, которые могут отличаться друг от друга значительно. Например, при течении жидкости по трубе за характерную длину можно взять длину трубы, ее радиус или какую-либо промежуточную величину. Соответствующие числа Рейиольдса могут отличаться на много порядков. Какое из этих чисел взять — зависит от поставленной задачи. Так, в предыдущем параграфе было выведено условие (97.9), при выполнении которого силами вязкости можно пренебречь.
Величину, стоящую слева в формуле (9?.9), можно рассматривать 1 Я~ как число Рейнольдса, если за характерную длину принять В рассматриваемом случае характерный размер зависит как от длины трубы, так и от ее радиуса. При таком выборе получается условие (97.9), справедливое для всех, а не только геометрически подобных круглых труб (т.
е. труб с постоянным отношением ЯП). Если труба длинная (( =.ь 16)т), то достаточное условие можно записать в виде (98.7) т. е. за характерную длину можно принять радиус Я. Но мы совершили бы ошибку, если бы вместо (98.7) взяли условие о,рм )) 1. Аналогичный смысл имеет число Фруда Г. Оно по порядку величины определяет отношение кинетической энергии жидкости к приращению ее, обусловленному работой силы тяжести на пути, равному характерной длине. Чем больше число Фруда, тем больше роль инерции по сравнению с тяжестью и наоборот.
ЗАКОНЫ ГИДПОДИНАМИЧНСКОГО ПОДОВИЯ 485 3. Для стационарных течений характерное время т, а с ним и число Струхаля обращаются в бесконечность. Поэтому зто число выпадает из соотношения (98.6). То же происходит с числом Маха в несжимаемых жидкостях, для которых оно обращается в нуль. Таким образом, для стационарных течений несжимаемых жидкостей соотношение (98.6) переходит в тг=ое~(-», гте, Р). (98.8) Течения подобны, есги они имеют одинаковые числа Рейноледса и Фруда. Следует, однако, заметить, что если при испытаниях на моделях применяется та же жидкость, в которой должна двигаться реальная система, то критерии подобия Рейнольдса и Фруда несовместимы друг с другом.
В самом деле, запишем эти критерии в виде 1гог 1зо о( и, тг тз ' 1гвг 1звз ' где индекс 1 относится к реальной системе тел, а индекс 2 — к ее уменьшенной или увеличенной модели. Перемножая эти соотношения, получим ~, (~гз 1~, гггз~1, )згг (98.9) 4. Чтобы исследовать поведение самолета во время полета, например определить действующие на него силы, модель самолета закрепляют в азродиномической трубе, в которой создается равномерный поток воздуха. Н основе этого метода лежит принцип относительносгпи, согласно которому ход явления может зависеть только от относительного движения самолета и воздуха. Современные аэродинамические трубы представляют грандиозные сооружения, в которых Варьирование ускорения свободного падения д принципиально возможно, но практически нереально.
Однако и при одинаковых а принципиально можно удовлетворить обоим критериям подобия. Для этого надо применять жидкости с различными кинематическими вязкостями, удовлетворяющими соотношению (98.9). В большинстве случаев это почти невозможно. При испытаниях на моделях практически может выполняться только один критерий подобия: либо Рейнольдса, либо Фруда. В некоторых случаях этого достаточно. Допустим, например, что число Рейнольдса велико, а число Фруда невелико илн порядка единицы.
Тогда движение жидкости в основном будет определяться инерцией и тяжестью. Вариации числа Рейнольдса на нем будут сказываться мало. В этом случае для подобия течения необходимо выполнение одного лишь критерия Фруда. Напротив, при малых числах Рейнольдса и больших числах Фруда определяющую роль играет инерция и вязкость; влияние тяжести незначительно. Подобие будет иметь место при равенстве чисел Рейнольдса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
