Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 117
Текст из файла (страница 117)
)?()?-.", (96.9) ٠— 7?,-" Формула (96.9) лежит в основе практического метода измерения коэффициентов вязкостк жидиостей и газов. Внутренний цилиндр подвешивается в исследуемой жидкости в вертикальном положении на тонкой нити, а наружный приводится в равномерное вращение с угловой скоростью Оз = (). Измеряется угол закручивания нити гр, при котором внутренний цилиндр находится в равновесии. Зто будет тогда, когда момент вязких напряжений М уравновешивается моментом закрученной нити )1р, где 7 — модуль кручения. Коэффициент вязкости рассчитывается во формуле )гр )?3 )?я йп( )?()?.;"а (96.10) ЗАДАЧИ 1. Введя локальную систему координат с началом в рассматриваемой точке пространства, убедиться непосредственным дифференцированием, что формула (96.7) при вращении жидкости переходит в формулу (96.5).
Р е ш е н и е. Проведем через рассматриваемую точку пространства А круговую линию тока. Поместим начало локальной системы координат в точку А, направив координатные оси Х и г', иак указано на рис. 261. Для иоординат и компонентов скорости в точке В получим л=гмпф, у=гсср — га, о„.=о,рсоз~р, о„= — о, з!пф, А где ге и г — радиусы-векторы точек А и В, а о,— скорость жидкости в точке В, Дифференцируя эти соотношения и полагая в окончательных результа г тах ~р — 0 (точка А), получим в точке А дх=гейр, ду=дг, доз=дог дои= — от дф. Отсюда (7 до„до, до„о, Рис, 261, ду дг ' дх После подстановки в (96.7) получаем (96.5).
2. Как изменится формула (96.9) в предельном случае, когда толщина зазора между цилиндрами Л = )?з — )?, пренебрежимо мала по сравнению с радиусами )? и )?з? О т в е т. (Из ь"'т) 2яз)1)?з л (96. 11) Згу формулу можно также получить, рассматривая слой жидкости между цилиндрами как плоскопараллельный и используя формулу (96.2). Зто рекомендуется сделать читателю. $971 ФОРмулх пулзейля 9 97. Стационарное течение жидкости по прямолинейной трубе.
Формула Пуазейля 1. Пусть вязкая несжимаемая жидкость течет вдаль прямолинейной цилиндрической трубы радиуса )х. Линии тока параллельны оси трубы. Если выделить произвольную бесконечно узкую трубку тока, то из условия несжимаемости следует, что скорость течения о будет одна и та же вдоль всей трубки тока — скорость жидкости не может меняться вдоль трубы. Но она, конечно, может изменяться с изменением расстояния г от оси трубы. Таким образом, скорость жидкости о является функцией радиуса г.
Примем ось трубы за ось Х, направленную в сторону течения. Выделим в трубе произвольную бесконечно короткую цилиндрическую часть длины дх и радиуса г (рис. 262). На ее боковую поверхность в направлении движения действует касательная сила внутреннего трения дР= 1 Й~ = 2лг х1 — дх. Кроме того, на основа- Р(х) 1 ~1г ния цилиндра в том же направлении действует сила разности давлений ~1Г, = эЛР Рис. 262. =- пг' (Р (х) — Р (х + Нх)1 = — пг' — пх. Ых При стационарном течении сумма этих двух сил должна обращаться в нуль, а потому 0о ЙР 23) — = г —.
аг ох' Интегрируя его, получим 4ч1 Постоянная интегрирования С определится из условия, что на стенке трубы, т. е. при г = )7 скорость о должна обращаться в нуль. Это дает Р~ Рц у 4ч1 (97.2) Скорость и (г), а с ней и производная „-- не меняются с изменением х. ди йг НР Поэтому должна быть постоянной и производная --, причем эта дх ' производная должна быть равна (Р, — Р,)П, где Р, — давление на входе трубы, Р, — на выходе, а 1 — длина трубы. В результате приходим к уравнению 11 Р2 (97.1) дг 2Ч1 478 !гл.
хп МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ Скорость о максимальна на оси трубы, где она достигает значения ра — ра аа(а (97,3) "а— При удалении от оси скорость о меняется по параболическому закону, 2. Подсчитаем расход жидкости, т. е. количество ее, ежесекундно протекающее через поперечное сечение трубы. Масса жидкости, ежесекундно протекающая через кольцевую площадку с внутренним радиусом г и внешним г + йг, равна й(с = 2ппЬ ро.
Подставляя сюда выражение для о и интегрируя, находим искомый расход жидкости я я=яр ' ' ~ яг — г')гйг, ра !гг 2ч! о или я=яр ' ' яа. ач! (97.4) Расход жидкости пропорционален разности давлений Р, — Р„ четвертой степени радиуса трубы и обратно пропорционален длине трубы и коэффициенту вязкости жидкости. Эти закономерности были установлены экспериментально и независимо друг от друга в 1839 г. Гагеном и в 1840 г. Пуазсйлем (1799 — 1869). Гаген исследовал движение воды в трубах, Пуазейль — течение жидкостей в капиллярах. Формула (97.4) называется формулой 77уазейля, хотя сам Пуазейль и не выводил ее, он исследовал вопрос только экспериментально.
На формуле Пуазейля основан один из экспериментальных методов определения коэффициентов вязкости жидкостей, Формулу (97.4) можно представить в виде Я = рп)га оа/2. С другой стороны, можно ввести среднюю скорость потока о, определив ее с помощью соотношения 9 = рпйаа. Сравнивая эти два выражения, получаем ! ч= оо.
2 (97.5) Формула Пуазейля справедлива только для ламинарных течений жидкости. Ламинарным называется такое течение, когда частицы жидкости движутся вдоль прямолинейных траекторий, пара,тлельных осн трубы. (Более общее определение, применимое для любых течений, дается в 2 98). При больших скоростях ламинарное течение становится неустойчивым и переходит в турбулентное течение, с которым мы познакомимся в 2 98. К турбулентным течениям формула Пуазейля неприменима. ФОРМУЛА ПУАЗЕйЛЯ 3. Кинетическая энергия, ежесекундно переносимая потоком жидкости через поперечное сечение трубы, определяется выражением я Г рсо К= ~ — 2пго Нг. 2 о Подставив сюда значение для о и выполнив интегрирование, получим К= 4 Ф3=9(п)'.
1 (97.6) Работа, ежесекундно производимая над жидкостью разностью давлений Р, — Р„определяется выражением А = ) о (Р, — Р,) к Х 2пго(г, или (97.7) Такую же по величине, но противоположную по знаку работу производят силы внутреннего трения, так как при стационарном течении кинетическая энергия жидкости остается неизменной: А' = — А. С помощью формулы (97.3) можно исключить разность давлений Р, — Р, и получить А, 4чсоо рдоо Полученные формулы позволяют ответить на вопрос, когда при течении жидкости по трубе можно пренебречь силами вязкости и, следовательно, применять уравнение Бернулли. Для этого, очевидно, необходимо, чтобы потеря кинетической энергии жидкости, обусловленная действием сил вязкости, была пренебрежимо мала по сравнению с кинетической энергией самой жидкости, т.
е. ~ А' ~ 4~ К. Это приводит к условию (97.9) Здесь буквой т обозначена так называемая кинвматическая вяз- кость, т. е. отношение (97. 10) Р' Величину 4), когда надо отличать ее от т, называют динамической вязкостью. 4. Законы, установленные Пуазейлем, могут быть в общем виде получены методом размерностей. Достоинство этого метода состоит в. том, что ои применим к прямолинейным трубам произвольного поперечного сечения, а не только к цилиндрическим трубам.
Требуется только, чтобы нормальные поперечные сечения всех труб 480 МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ игл. хп были геометрически подобны. Эти сечения могут отличаться друг от друга только размерами. Для каждого поперечного сечения можно установить характерный размер. За таковой можно принять, например, его периметр или квадратный корень из площади. Можно также поперечные сечения всех труб геометрически подобно рассечь иа две части прямолинейными отрезками.
Длины таких отрезков тоже могут служить характерными размерами. Например, в случае трубы эллиптического сечения за характерный размер можно взять длину большой или малой оси соответствующего эллиптического сечения. Но можно взять и другие отрезки, характеризующие размеры эллипса. Заданием характерного размера определяются и все прочие размеры поперечного сечения трубы. При выводе законов Пуазейля, равно как при исследовании любого вопроса методом размерностей, основной пункт состоит в том, чтобы установить физические величины, связанные между собои функциональной зависимостью.
При стационарном ламинарном течении жидкости по трубе силы вязкости уравновешиваются градиентами давлений. В уравнения движения входят эти градиенты, а потому разность давлений Р, — Р, и длина трубы ( могут войти только в комбинации (Р, — Р,)Д. Поскольку жидкость движется без ускорения, характер течения не может зависеть от плотности жидкости. Плотность р и расход жидкости Я могут войти лишь в комбинации 9! р, так как последняя есть чисто геометрическая величина и равна объему жидкости, ежесекундно протекающему через поперечное сечение трубы. Добавив сюда еще вязкость жидкости и и характерный поперечный размер трубы а, получим четыре величины ~1 Р2 р~ и, между которыми должна существовать функциональная связь.
Вместо а можно взять площадь поперечного сечения трубы Я. Применяя общий метод нахождения безразмерных комбинаций (см. 5 87, п. 6), нетрудно убедиться, что из рассматриваемых величин можно составить только одну независимую безразмерную комбинацию, а именно ч р Р,— Р, Я' Следовательно, такая комбинация должна быть постоянной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
