И.Е. Иродов - Задачи по общей физике (1111903), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Заряженная частица с удельным зарядом д/лт начинает двигаться в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля. Магнитное поле постоянно и имеет индукцию В, электрическое же меняется во времени как Б=Е соз «т/, где тз=дВ/т. Найти для нерелятивистского случая закон движения частицы х(/) и у(1), если з момент 1=-0 она находилась в точке О (см. рис. 3.109). Какой примерно вид имеет траектория частицы? ЗА11. Частота генератора циклотрона ч =10 МГц.
Найти эффективное ускоряющее напряжение на дуаитах этого циклатрона, при котором расстояние между соседними траекториями протонов с радиусом г=0,5 м не меньше, чем Ьт=1,0 см. ЗА12. Протоны ускоряются в циклотроне так, что максимальный радиус кривизны их траектории г=50 см. Найти: а) кинетическую энергию протонов в конце ускорения, если индукция магнитного поля в циклатроне В=1,0 Тл;- б) минимальную частоту генератора цнклотрана, прн 160 катар~ й в конце ускорения протоны будут иметь кинетичесттую энергию Т=20 МэВ.
3,418, Однократно ионнзозанные ионы Не+ ускоряют в ци -иклатроне так, что максимальный радиус орбиты т= 60 см. Частота генератора циклатрона т 10,0 МГц, зфф ктивнае ускоряющее напряжение между дуантами (/=- 50 кВ. Пренебрегая зазором , „ду дуантами, найти: а) полное время процесса ускорения иона; б) приближенноезначениепути, пройденного ионом за весь цикл ускорения. 3.414. Так как период обра- Рис, 3,1!О щения электронов в однородном магнитном поле с ростом энергии быстро увеличивается, циклотрон оказывается непригодным для их ускорения.
Этот недостаток устраняется в мття/тот/тане (рис. 3.110), где изменение периода обращения электрона ЬТ делают кратным периоду ускоряющего поля Т,. Сколько раз электрону необходимо пройти через ускоряющий промежуток микротроиа, чтобы приобрести энергию 13'=4,6 МэВ, если ЬТ=Т„индукция магнитного поля В 107 мТл й частота ускоряющего поля я=3000 МГц? 3.415. Чтобы в циклотроне не возникала расстройка, связанная с изменением периода обращения частицы прн возрастании ее энергии, медленно изменяют (модулируют) частоту ускоряющего поля. По какому закону надо изменять эту частоту ат(/), если индукция магнитного поля равна В и частица приобретает за один оборот энергию Ь)Р? Заряд частицы д, масса пт. 3.416. Частица с удельным зарядом 4/ят находится внутри соленоида круглого сечения на расстоянии г от его аси.
В обмотке включили ток, и инхук ция магнитного поля стала равной В. Найти скорость частицы и радиус кривизны ее траектории, если за время нарастания тока в соленоиде ее смещение пренебрежимо мало. 3.41?. В бетатроне магнитный поток внутри равновесной орбиты радиуса г=25 см возрастает за время ускорения практически с постоянной скоростью ©=5,0 Вб/с. При этом электроны приобретают энергию 13'=25 МэВ. Найти число оборотов, совершенных электроном за время ускорения, н соответствующее значение пройденного нм пути. 8.418.
Показать, что электроны в бетатроне будут двигаться по круговой орбите постоянного радиуса прн 181 Часть 4 1(ОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ (4.1е) (4,1ж) 1ЗЗ условии, что индукция магнитного поля на орбите равна половине среднего значения индукции поля внутри орбиты (бетатронное условие). 3.419. Найти с помощью бегатронного условия радиус круговой орбиты электрона, зная зависимость иццукцни магнитного поля от расстояния г до оси поля. Рассмотреть этот вопрос на примере поля В=В, †', где В, н а — положительные постоянные. 3.420. Показать с помощью бетатрониого условия, что напряженность вихревого электрического поля в бетатрор. не имеет экстремум на равновесной орбите.
3.421. В бетатроне индукция магнитного поля на равновесной орбите радиуса г=20 см изменяется за время,М= =1,0 мс практически с постоянной скоростью от нуля до В=-0,40 Тл. Найти энергию; приобретаемую электроном за 1 дй сбор 3.422. Индукция магнитного поля в бетатроне на равно.- весной орбите радиуса г изменяется за время ускорения от нуля до В практически с постоянной скоростью. Считая начальную скорость электрона равной нулю, найти: в) энергию, приобретенную электроном за время ускорения; 6) соответствующее значение пройденного электроном пути, если время ускорения равно Ж.
4Л. Механические колебания 43 Уравнение гармонических колебаний н его решение: к+вол=б, х= а сов (мог+а), (4.1а) где ыо — собственная частота колебаний. ф Уравнение ватухахвцях колебаний и ею решение: х+23х+ооох=о, х=аое-М соа (юг+а), (4дб) где () — коэффициент затухания„е — частота аатухахнцнх колебаний: ы=р'~О.:Г (4.1в) Е Логарифмический декремент аатухания Х и добротность 0: )о=йт 0= ~)ь (4.1г) тде 'Г=йн/ы †пери затухающих колебаний. ® Уравнение вынужденных колебаний и его установившееся решение: я+23х+вох = го сов ыг, х = а сов (мФ вЂ” ~р), (4.1д) 1о 23ы а= 1к ор= о )/(озо о— ыо)о+43оыо ыо ° ) Максимум амплитуды смешения достигается при .роз=)/'ы.-Ж~.
4.1. Точка совершает колебания вдоль осн х по закону х А соз(ег — я/4). Построить примерные графики: а) смещения х, проекции скорости вв и проекции ускорения он как функций времени г; б) проекций скорости па(х) и ускорения а„(х). 4.2, Некоторая точка движется вдоль оси х по закону х= 4 в)по(ш( — и/4). Найти: а) амплитуду и период колебаний; изобразить график хЩ; б) проекцию скорости вв как функцию координаты х; изобразить график ин(х).
4.3. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х около положения равновесия х=0. Частота колебаний е=4,00 с '. В некоторый момент координата частицы х,= =25,0 см и ее скорость о„,=!00 см/с. Найти координату х и скорость о„ частицы через 1=2,40 с после этого момента. 4,4. Найти круговую частоту и амплитуду гармонических колебаний частицы, если на расстояниях х, и х, от положения равновесия ее скорость равна соответственно э, и ое 4.5.
Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом Т=0,60 с и амплитудой а= =!0,0 см. Найти среднюю скорость точки за время, в течение которого она проходит путь а/2: а) из крайнего положения; б) из положения равновесия. 4,6.
Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х по закону х=а созе/. Считая вероятность Р нахождения частицы в интервале от — а до +а равной единице, найти зависимость от х плотности вероятности ЕР~йх, где г/Р— вероятность нахождения частицы в интервале от х до х+«(х. Изобразить график аРЫх в зависимости от х. 4.7.
Найти графически амплитуду А колебаний, которые возникают при сложении следующих колебаний одного направления: а) х,=З,О соз(в/+и/3), х,=8,0 яп(е1+я/6); б) х,=З,О соз в/, х,=5,0 соз(е1+и/4), х,=6,0 яп е/. 4.8. Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного направления, которые происходят по законам х,=а соз е1 и х,=а соз 2в1. Найти максимальную скорость точки.
4.9. При сложении двух гармонических колебаний одного направления результирующее колебание точки имеет вид х=а соз 2,11 соз 50,01, где 1 — в секундах. Найти круговне частоты складываемых колебаний и период биений. 4.10. «Зайчик» колеблется гармонически с некоторой неизменной частотой относительно шкалы, которая в свою очередь совершает гармонические колебания по отношению к стенке. Оба колебания происходят вдоль одного и того же направления. При частотах колебаний шкалы э,=20 Гц н ч«=22 Гц частота биений зайчика относительно стенки оказывается одинаковой. При какой частоте э' колебаний шкалы частота биений зайчика станет вдвое больше7 4.11. Точка движется в плоскости ху по закону х= = А яп в1, у=В соз вг, где А, В, е — постоянные.
Найти: ) уравнение траектории точки у(х) и направление ее' а) УР вяжени ййя ло этой траектории; б) ускорение а точки в зависимости ог ее радиус-век- относительно начала координат. т р4 12, Найти уравнение траектории у(х) точки, если она ижется по законУ: а) х=а з!и в1, у=а яп 2в1; б) х=аз!и в/, у=асоз2е/. Изобразить примерные графики этих траекторий. 4, И. Частица массы т находится в одномерном силовом „ле где ее потенциальная энергия зависит от координаты х как (/(х)=(/,(! — совах), (/«и а — постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.
4.14. Тот же вопрос, что и в.предыдущей задаче, но потенциальная энергия имеет вид (/(х)=а/х» — э/х, где а н Ь вЂ” положительные постоянные. 1.15. Найти период малых поперечных колебаний шарика массы т=40 г, укрепленного на середине натянутой струны длины 1=1,0 м. Силу натяжения струны считать постоянной и равной Р=10 Н. Массой струны и силами тяжести пренебречь.
4.16. Определить период малых колебаний шарика, подвешенного на нерастяжимой нити длины 1 20 см, если он находится в жидкости, плотность кото. рой в «1=3,0 раза меньше плотности шарика. Сопротивление жидкости пренебрежимо мало. ! 4.!7. Шарик подвесили на нити длины 1 к точке 0 стенки, составляющей небольшой угол а с вертикалью (рис. 4.1). Затем нить с шариком отклонили на небольшой угол (!.~а и отпустили.