В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В результате добротность крутильных маятников достигает величины -) 07. В настояшее время в нескольких странах строятся лазерные гравитационные антенны для регистрации гравитационного излучения от космических объектов. Принцип действия антенны основан на том, что гравитационная волна действует на свобод- ные массы, помещенные в разные точки пространства, изменяя расстояние между ними. Это изменение пропорционально интенсивности волны и расстоянию между массами. По этой причине в гравитационных антеннах пробные массы располагают в нескольких километрах друг от друга в специальных вакуумных камерах, а расстояние между ними измеряют уникальным лазерным интерферометром. Каждая пробная масса подвешива- 38 Колебания и волны ется на тонких нитях, образуя маятник качания.
С массами связывают два зеркала, отражающие лазерный луч, распространяющийся вдоль прямой, соединяюшей зги массы. По сдвигу интерференционной картины, даваемой такой сложной оптической системой, можно кпочувствоватьв взаимное смещение масс на величину порядка 10 '7 см, что на 7 порядков меньше размеров атома! Чувствительность гравитационной антенны ограничена тепловыми флуктуациями колебаний такого маятника, а значит, также определяется его добротностью. В отличие от крутильных.
добротность маятников качания зависит не только от потерь в упругом элементе — нити подвеса, но и от ее натяжения. За счет этого эффекта можно значительно увеличить добротность маятника качания. Так, доб- ротность маятников качания, целиком изготовленных из плавленого кварца, может превышать 108„т.е, время затухания их колебаний достигает нескольких лет. Конечно, при столь малой диссипации энергии маятника на его добротность влияют весьма слабые внешние воздействия, например, электрические и магнитные поля, или частицы пыли, осевшие на нити подвеса, и т. д. При таких высоких значениях добротности и соответствующем подавлении сейсмических возмущений проявляются квантовые свойства маятника. В этом случае поведение вполне макроскопического объекта будет определяться принципом неопределенности Гейзенберга.
Правда, необходимые условия реализуются пока для малых временных интервалов (около 10'з с), и для наблюдения квантовых особенностей поведения маятников требуются очень чувствительные регистрирующие устройства, но именно такие маятники, обладаюшие предельно высокой добротностью. предполагается использовать в будущих гравитационных антеннах.
Камертон, служащий для настройки музыкальных инструментов, также является высокодобротным осциллятором. Звук, издаваемый вибрирующими ножками камертона, затихает за достаточно длительное время по сравнению с периодом их колебаний. Если, например, собственная частота камертона лежит в диапазоне ч = ЗОΠ—: 400 Гц, а продолжительность звучания (весьма грубо) составляет время порядка т — ! 0 с, то камертон совершит чт - 3000 —:4000 колебаний. Это означает, что его добротность по порядку величины равна Π— 1О~.
Как это нн покажется парадоксальным, электрический колебательный контур является менее добротной системой, хотя частота его собственных колебаний имеет порядок величины у — (10 —:10 ) Гц. Добротность контура ограничена, главным образом„ 5 . 8 омнческими потерями н имеет порядок величины Д вЂ” !О~. Это„в свою очередь, означает, что полоса пропускания Лу = Д у, введенная ранее при рассмотрении вынужденных колебаний,равна Лу-(1О зь10 ) Гц. Если частота радиопередающей станции ч, высока (ч, >108 Гц), то ее преобразовывают в радиоприемных устройствах до низкой (называемой промежуточной) частоты ч, - 10 Гц. Тогда колебательный контур радиоприемника будет иметь очень малую полосу пропускания Лу — О ч„— 5.
! 0 Гц. Это значит, что если частоты двух станций ч „ Лекция 2 и ум соответственно различаются более, чем на величину полосы пропускания ф' „— ч м ~ > ~п), то, перестраивая собственную частоту колебагельного контура приемника, можно по отдельности настроиться на каждую нз этих передающих станций. Оптический электрон в атоме, осуществляя переходы с одной орбиты на другую, в соответствии с постулатами Бора излучает квант света с энергией лго= Ез — Ег С классической точки зрения это можно интерпретировать таким образом, что электрон совершает колебания на этой частоте щ, т.е, является оптическим осциллятором.
Поскольку электрон теряет энергию на излучение, то амплитуда его колебаний должна затухать в течение некоторого характерного времени т. Для уединенного атома (не взаимодействующего с соседними атомами) это время определяется зарядом и массой электрона н зависит от частоты о7. Однако для всех атомов оно имеет один и тот же порядок величины: т — 10 —:10 с. Учитывая, что в видимом оптическом диапазоне период колебаний -3 ° — 9 Т = 2х/го — 10 ~9 с, легко подсчитать число колебаний до их затухания. Оно имеет порядок 6 . 7 величины — — 1О е10 . Поэтому добротность оптического осциллятора (Д вЂ” 10 ), буду- Т чи высокой, все же уступает добротности прецизионных кварцевых маятников. Параметрические колебания. В повседневной жизни мы сталкиваемся с незатухающими колебаниями, для поддержания которых требуется периодически менять какой-либо параметр колебательной системы.
Одним из ярких примеров являются колебания качелей. Хорошо известно, что можно поддерживать колебания длительное время, если быстро приседать в момент наибольшего отклонения качелей и также быстро вставать при прохождении положения равновесия. Благодаря этому параметр физического маятника (качелей) — расстояние а между осью вращения и центром масс — меняется скачкообразно на величину +Ла (Ла « а). Величина 71а должна быть такой, чтобы обеспечить баланс энергии системы: О Рис. 2.8 потери энергии маятника за период должны компенсироваться за счет совершения работы, осуществляемой при приседании и вставании.
Напишем условие энергетического баланса для простейшего случая колебаний математического маятника с длиной нити а, которая меняется на величину ~да (рис. 2.8.). Это можно осуществить, если пропустить нить маятника через отверстие в точке Р (точке подвеса) и затем, прикладывая внешнюю силу Е к концу нити, периодически менять ее длину. Рассмотрим установившиеся параметрические колебания маятника с ие слишком большими амплитудами и будем считать, что затухание мало (б « со,7).
Поскольку 7эа « а, то приближенно можно считать, что угол а отклонения маятника от положения равновесия меняется во времени по гармоническому закону а(г) = ао з(п шц (253) Колебания и волны 40 А =-л28 1 — — ~4- — 0 а. (2.54) 2 24 При прохождении маятником положения равновесия (а = О) Е = Л' = 2 тео = тд4- —, где е, = аооза. Поэтому положительная работа при укорачивании нити с а точностью до членов порядка ао равна: 4 4 А =(т8ьтпов а)Ла = тя 14 по — — а, 2 2 2 ПО 8 (2.55) где учтено„что воа = д, 2 Полная работа, совершаемая за период внешней силой Г, будет положительной и равной 4 2 А = 2(А, 4- А ) = Зт8020Ла — Ла = Зтаи оЬо 1 —— 2 тасоо 2 шо 3 9 (2.56) Потери энергии за период численно равны работе силы трения: г т А = ~Р' 2412 = — ~ГО~412, о о где Г = — Ги тр При гармонических колебаниях (2.53) скорость (2.57) с(г)=ай(г) =аа юсов вь Подставляя (2.58) в (2.57) и выполняя интегрирование, получаем: (2.58) г А = — Га аов-) соа врой = — Га аов — = — Гиояа 1 — — — „(2.59) 2 2 2Г 2 2 2 2Т 2 шо ТО 2 ~ 16~2 поскольку вТ= в Т, =2ж Следовательно, условие баланса энергии состоит в равенстве нулю суммы работ: А-'; А, = О, или Зтда~йа 1 — — 0 =Гасла — 0 1 — — 0 (2.60) 9 2 16 Проводя сокращения и используя определение выражение для добротности Л Д = —, получаем приближенное выражение для амплитуды а установившихся пара- ЬТО метрических колебании: 2 где согласно(1.42) в= во 1 — —, а во — — 4)д, а.
'"о ~ 16 ! В момент наибольшего отклонения на угол ао сила натяжения нити равна М2 = те сов со . Поэтому, удлиняя нить на величину Ьа, внешняя сила Г, = М, совершает отрицательную работу А =-тдсоаао Ьа. Раскладывая сов по в ряд 2 4 соаао = 1 — — 0-'; — 04-... „получим 2 24 Лекция 2 41 12 л ,/7 Зд(Л ~ ) ' (2.61) (2.62) Чем более добротна система, тем меньше пороговая глубина модуляции. С повышением величины ба!а амплитуда колебаний ао, как это следует из формулы (2.61), будет увеличиваться, Однако при больших амплитудах (ао > 1) формула (2.61) становится мало приемлемой, поскольку сделанные нами приближения становятся непримени- мыми.
Следует отметить, что параметрическое возбуждение является существенно нелинейным эффектом. Это видно, в частности, из уравнения (2.60): если пренебречь в нем малыми слагаемыми — по, которые описывают нелинейность, то ао из уравнения Ла л выпадает, и получается соотношение — = — . Физически это означает, что при таком а ЗД значении глубины модуляции энергетический баланс в системе обеспечивается при любых амплитудах цо, что неверно. Заметим, что возбуждение параметрических колебаний, вообще говоря, может происходить не только иа удвоенной частоте собственных колебаний системы, когда параметр меняется один раз за каждые полпериода, но и при более редком воздействии: через один, два, три и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
