В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Фазовый портрет не Колебания и волны 18 позволяет определить„как быстро движется точка Р по траектории. Однако период нелинейных колебаний математического маятника можно получить на основе приближенного решения уравнения (1.28). Пегармонические колебания математического маятника. Колебания математического маятника при больших амплитудах, как уже отмечалось, не будут гармоническими. Это происходит потому, что возвращающая сила в правой части уравнения (1.28) пропорциональна гйп а и при больших а становится меньше той «линейной» силы (пропорциональной и), которая возвращает колеблющуюся массу в положение равновесия за неизменное время, равное четверти периода колебаний. Такая «линейная» сила обеспечивает независимость этого времени от амплитуды со „т.е, изохронность колебаний. Для анализа колебаний при больших амплитудах а запишем разложение а(22 и в ряд: з(п а = а — — аз + ..., з (1.35) 6 в котором отброшены члены более высокого порядка: аз, аз и т.д.
Подстановка (1.35) в (1.28) приводит к нелинейному уравнению колебаний: 2 ШО 3 г 2 62~ 6 +юоп = (1.36) Решением этого уравнения уже не будет гармоническая функция. Действительно, допустим, что решением уравнения (1.36) будет гармоническое колебание вида а(г) = ио з(п(ш2 + ср ).
Подставляя это выражение в правую часть (1.36) и учитывая тригонометрическое тождество . з 3 з(п см ж — з(пол — — а(пЗол, (1.37) 4 4 приходим к противоречию. Получается так, что нелинейный член в правой части уравнения изменяется во времени не только с основной частотой ш, но также и с утроенной частотой Зю (частотой третьей гармоники). Чтобы устранить это противоречие, будем считать, что колебания маятника происходят одновременно на частотах ю и Зоз так, что и(2)=с0 а(п(ок+~р)ееа з(пЗ(шге<р), (1.38) где в — безразмерный параметр, Подставляя (1.38) в (1.36), снова обнаруживаем, что нелинейный член„помимо двух частот ш и Зсо, меняется во времени и на частоте 9ю.
Это говорит о том, что решение (1.38) не является полным (в нем отсутствуют высшие гармоники 9ю, 27ш и т,д.). Между тем, если амплитуда колебаний ао не очень велика, то параметр е « 1, и отсутствующие члены с высшими гармониками имеют амплитуды ези .
с~а и т. д.„которые много меньше амплитуды третьей гармоники еи . Теперь рассчитаем частоту оь Для простоты положим <ро = 0 (маятник получает начальный толчок в положении равновесия). Используя (1. 38), запишем каждый из трех членов уравнения (1,36), опуская слагаемые, имеющие порядок малости ез и выше: Лекция 1 да г 2 г — = — в аояпас — 9а еаояпЗок; 1 2 ага =а~аояпол+а~оеаоыпЗак (1.39) 2 2 2 1 2 3 Зао 3 соо 3 во 3 2 — — 03 а = — — а явок-~- — а 01пЗвг — — а езсп всо(пЗок.
6 24 24 2 Заметим, что в последнем равенстве треп е слагаемое в правой части, содержащее множитель аое, мало по сравнению с двумя предыдущими, и его также можно отбросить. 3 Сложим полученные три равенства. В силу (1.36), сумма левых частей равенств (1.39) равна нулю. Поэтому О=а ( — в +а — — в а )япсогеа ( — 9а е-;а в-ь — а а )япЗпк. (1.40) г г 3 г г 2 2 1 2 2 о О 24 0 0 0 0 24 0 0 Поскольку равенство (1.40) должно выполняться для любого момента времени, то каждое из выражений, стоящих в круглых скобках„должно равняться нулю. Из равенства нулю первого выражения легко определить квадрат частоты основной гармоники ао 1 ао (1.41) ос о Если — « 1, то для частоты получим 8 в=во '- — =во 1-1 (1.42) Последнее выражение показывает, что с возрастанием амплитуды колебаний их частота уменьшается (период увеличивается), т.е.
нарушается изохронность колебаний. Приравняем далее нулю второе выражение в круглых скобках в формуле (1.40): 2 — 9со еесоое+ — ао =О. 2 2 ао 2 24 (1.43) Считая, что со = в, находим величину малого коэффициента е: г ао е= —, 192 (1.44) Если положить ао = 15' = 0,26 рад. то е = 3,5.10 4„и вклад третьей гармоники в колебания ничтожно мал.
Отличие частоты а от частоты гармонических колебаний ао составит величину 2 сго 03 с"0,1 2 111-3 (1.45) ао 16 3 СОО Даже при а — 1 рад е= 510 3, а --. — --- — 6%. Таким образом, приближенным о 03 о решением уравнения (1.36) будет (1.38), где частота а определяется (1,41), а параметр е находится из (1.44). Колебания и волны 20 Заметим, что негармонические колебания могут возникать не только при больших отклонениях от положения равновесия системы. Например, если в разложении возвращающей силы Р;(з) по степеням з отсутствует линейный член, н оно начинается с члена, пропорционального зз, то колебания будут ангармоническимн при любых, даже сколь угодно малых, отклонениях. Р' Ю вЂ” -р взор = О, т (1.47) !1; где 020 = ~ — — собственная частота незатухающих гармонических колебаний.
Вначале мы рассмотрим затухающие колебания в случае, когда на колеблющееся тело действует сила вязкого трения, пропорциональная скорости: Е = — ГУ, Такая гр ситуация может иметь место, например„при колебательном движении тела в воздухе или жидкости, когда число Рейнольдса Яе — 1 или Яе < 1. Тогда уравнение (1.47) можно записать в виде: У -р 2 бр + 020~э = О, (1.48) Г где б = — — коэффициент, или показатель затухания. 2т Общая идея решения однородных линейных уравнений типа (1.48) заключается в следующем: в качестве функциональной зависимости я(1) надо выбрать такую, которая при дифференцировании по времени переходит в саму себя, то есть экспоненту; я(г) = з е"'.
Подставим ее в уравнение (1.48); з «21(2,2+282,+ озо) =0 (1.49) Поскольку ех' ~ О. получаем так называемое «характеристическое» уравнение: 287~+02' =О, которое в данном случае (для уравнения второго порядка) имеет два корня )"ь2 б об 020 ' (1.51) (1.50) Свободные колебании в диссипативных системах с визким трением. В реальных системах всегда происходит диссипация энергии. Если потери энергии не будут компенсироваться за счет внешних устройств, то колебания с течением времени будут затухать и через какое — то время прекратятся вообще.
Формально затухающие колебания описываются уравнением ту =Р;(з) рг, (з), (1.46) которое, в отличие от (1.2), помимо возвращающей силы Гр содержит и силу трения Г, . Сила сопротивления движению„вообще говоря„зависит как от направления скорости (например, при сухом трении), так и от величины скорости (при движении в вязкой среде). Если возвращающая сила пропорциональна смещению: Р;(к) = — Ь, где 12 — коэффициент пропорциональности (для пружинного маятника — жесткость пружины), то уравнение (! .46) можно переписать в виде Лекция 1 а само уравнение (1.48) — два независимых решения; а,(г) =лш е ' и лг(г) =з е '. В Х!! г.,! силу линейности уравнения (1.48) сумма любых его решений также является решением, то есть справедлив так называемый «принцип суперпозиции» решений, и общим реше- нием данного уравнения является (-а.,(Р: ',) (-а-,(Р:...)! Ф)=за!е ' .«логе (1.
52) Решение содержит две независимые константы лш и лаг, которые определяются из начальных условий з(0), о (О). В зависимости от соотношения б и ш возможны три случая. Гг г .Гг Если б < шо, то з(б — ога —— гз(ого — б, где !'= — з/ — 1 — «мнимая» единица. Решение является комплексным'1, но, поскольку начальные условия действительные, то с помощью формулы Эйлера: е'~ = соз<р ' !'з(п<р (1.53) нетрудно показать, что общее решение будет действительно и может быть записано в виде: з(г) = зое з(п(ол -ь <ро) ° (1. 54) то есть представляет собой затухающие колебания„частота которых ог меньше.
чем у собственных незатухающих колебаний: от= Д вЂ” б (1. 55) Колебания, описываемые (! .54), не являются гармоническими (рис. 1.14). Под их амплитудой будем понимать величину А(!) = кое (1. 56) которая монотонно убывает со временем. «Длительность» колебаний характеризуется временем затухания 1 б' Если подставить т в (1.5б) „то легко (1. 57) видеть, что по истечении времени затухания т амплитуда убывает в е раз.
Количество совершенных системой колебаний за время т равно отношению этого времени к периоду затухающих колебаний Т= 2л! оь Если затухание в системе мало (б « шо), то период колебаний Т 2л! шо, и число этих колебаний велико; Рнс, 1.14. У= -=-- — »1 шо Т 2кб (1.58) П Более подробно метод комплексных амплитуд будет обсуждаться ниже, при рассмотрении вы- нужденных колебаний. Колебания и волны 22 Экспоненциальный закон убывания амплитуды со временем позволяет ввести безразмерный параметр — логарифмический декремент затухания О, который равен логарифму отношения двух последовательных отклонений в одну и ту же сторону: В=)п =Ьт.
А(!) А(гч- т) Из (1.57), (1.58) и (1.59) находим; (1.59) 1 О=— М' (1.60) Логарифмический декремент затухания можно оценить, если подсчитать число колебаний, совершенных системой за время затухания т. то есть до уменьшения амплитуды колебаний примерно в 3 раза. Чем больше число этих колебаний, тем меньше поте- (1.62) тельно запишется в виде 3 2 — 2Ъ вЂ” 2Б! Е(г ) = — хв шсвве = Еле 2 (1.65) Полная энергия осциллятора, равная вначале Еа = — х тю, монотонно убывает со вре- 1 2 менем по экспоненциальному закону и уменьшается в е раз за время ! т те 2Ь 2 (1.66) кКачество» колебательной системы характеризуют безразмерным параметром Д„называемым добротностью.
Добротность пропорциональна отношению запасенной энергии Е(1) к энергии ЛЕ„теряемой за период (рис. 1.15): ,1ŠŠ— 2гх Š— айньг) 1 — 2ат ' =2л --=2л Е(() Еое ' 2 ( ) 1.67 се Если число колебаний велико, то Ьт = 1/Ф «1. Тогда 2л 2л к — — 1-(1-2Ьтч-...) Е ™ ' (1.68) ри энергии в системе. Проследим за убыванием энергии, запасенной осциллятором„с течением времени. Используя (1.54), запишем по аналогии с (1.24) и (1.25) выражения для потенциальной и кинетической энергий осциллятора; Е.„= — язв~с ~~ зш (ю1~-~рв), (1.61) 2 гяю ХОЕ СОЗ (Ю1+ЧО). 2 Заметим, что, строго говоря, скорость равна зобе зш(шг ь'Рв)+ 'оше соа(ок " 9в) .
(1.63) Очевидно, что если Ь «оз, то первым слагаемым в (1.63) можно пренебречь и записать выражение для кинетической энергии в виде (1.62). Суммарная энергия осциллятора убывает со временем: 2 зй ЕЯ = Е„„+ Е,„„= — „кое '"1х з(п'(шг" чэо) + и~ю' созз(шг + что)1. (1.64) Примем во внимание, что при Ь «ш„частота ш = ш .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
