Главная » Просмотр файлов » В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны

В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 3

Файл №1111878 В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны) 3 страницаВ.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878) страница 32019-05-06СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

При возбуждении колебаний в такой системе при произвольном соотношении собственных частот вв и аог траектория колеблющегося груза может быть чрезвычайно сложной. Ее, в принципе, можно проанализировать, принимая во внимание тот факт, что результирующее движение груза является суперпозицией двух взаимно перпендикулярных независимых колебаний.

Х1 — = япв01соз1р, ьсозвогяп1р,„ ЭО1 (1.21) ~г — = Б!пвогсоз1рг -';соявогз!п192. ~02 Уыножим первое уравнение (1.21) на соз 1р . а второе — на соя гр, и вычтем второе урав- нение из первого. В результате получим: 1 "г — соя 1рг — — соя гр1 = соя вог яп(191 — грг ) .

ЭО1 ког (! .22а) ТепеРь Умножим пеРвое УРавнение на Яп 1Р, а втоРое — на Яп 1Рп повтоРим вычитание и получим — з1п1рг — — згп1р1 = з1пвогзгп(гр2-191). 2 ЗО1 ~02 (1.22б) Наконец, возведем в квадрат каждое из равенств (1.22) и сложим их. В результате время будет исключено, а уравнение траектории движушегося груза будет уравнением эллипса; с 22 1 гг — ') +~ г ) — 2 — ' — ~соя(грг — гр1) = яп~(102 — 191).

~01 ~02 ~01 ~02 (1.23) Таким образом, в обшем случае груз будет совершать периодические движения по эллиптической траектории. Направление движения вдоль траектории и ориентация эллипса относительно осей Оэг и Оэ зависят от начальной разности фаз Лгр = 1р — 1рг Рассмотрим вначале движение груза, если в, = в = во (жесткости всех пружин одинаковы). Чтобы получить траекторию движения, исключим из (1.19) текущее время. Для этого перепишем (1.19) в виде: Лекция 1 ЯО1 ао1 Зоз О < 2тгр < л/2 ~02 Лр=о 1 ХО1 ЯО1 ~02 Лр=кюг ~02 к~г с Лгр с О 1 — Я О1 ЗО1 В02 л < Л1р < 3!2 л ~02 2ЗГР = Л 1 ЗО1 ЗО2 2згр = 3/2 л ~02 3/2 к < 2згр < гк На рис.

1.8 изображены траектории движения груза при различных значениях 2ир. Все траектории заключены в прямоугольник со сторонами гзщ и гг . При 2ир = О и Ь1р = л груз движется по прямой ливии. При Ь1р = л~г и Ь1р = Зк!2 полуоси эллипса совпадают с Оз1 и Оз (при зм = з эллипс вырождается в окружность). При разности фаз О с 2ир < к груз движется по часовой стрелке, а при л < 2.'ир < 2к — против часовой стрелки. Колебания и волны 14 т=1,п=З т = 19, и = 20 т= З,в=4 Рис. 1.9. Типичным примером двумерного осциллятора (маятника) является электрон в атоме, который движется вокруг ядра по эллиптической орбите с периодом обращения Т- 10 '«с.

Можно считать, что такой электрон одновременно совершает два взаимно перпендикулярных колебания с частотой ш = 2л(1Т вЂ” 10'ь с '. Если частоты двух взаимно перпендикулярных колебаний не совпадают, но яв- ляются кратными; тш = пшш, где т н п — целые числа, то траектории движения представляют собой замкнутые кривые, называемые фигурами Лиссажу 1'рис. 1.9). Отметим, что отношение частот колебаний равно отношению чисел точек касания фигуры Лиссажу к сторонам прямоугольника, в который она вписана.

Если кратность между частотами отсутствует, то траектории не являются замкнутыми и постепенно заполняют весь прямоугольник, напоминая нить в клубке. Фазовый портре.г колебательной системы. В любой колебательной системе с одной степенью свободы смещение «(1) и скорость с(1) = <Ыбг меняются со временем. Состояние системы в каждый момент времени можно характери- зовать двумя значениями «и ш и на плоскости этих переменных это состояние однозначно определяется положением изображающей точки Р с координатами «и ц С течением времени изображающая точка Р будет перемещаться по кривой, которую называют фазовой траекторией движения (рис.

1. 10). Рис 1.10. Лекция 1 оз л ь(1) = — = зошав(п(ш г + <ро + — ) опережает смещение по фазе на л!2, то фазовая траектория будет эллипсом. Точка Р будет двигаться по эллигпнческой траектории по часовой стрелке (при е > О смещение з Рис. 1.1Е увеличивается, а прис ( Π— уменьшается (рис. 1. 11)). Параметры эллипса определяются энергией. запасенной гармоническим осциллятором. Потенциальная энергия пружинного маятника пропорциональна квадрату смещения: 2 Еп~ ~~ ~~О зпз (шег 'ре)' (1,24) Кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости: 1 1 Е„„„= 1п~ = иш~ла соз (гее1 «фо).

(1.25) Если принять во внимание равенство 1г = тшм то легко видеть, что взаимопревращения 2 одного вида энергии в другой за период происходят дважды. При этом полная энергия системы остается постоянной: Е =Е„+Е„я„= — ~(~У~э+ оз), (1.26) Равенство (1.26) как раз и является уравнением эллипса, которое можно переписать в более удобном виде: 2 и 2ЕО 2 шо глюо (1.27) Фазовый портрет гармонического осциллятора представляет собой семейство эллипсов, каждому из которых соответствует энергия Е, запасенная осциллятором. Положение равновесия в точке О на фазовой плоскости является особой точкой и называется особой точкой типа «центрв. С увеличением энергии Е возрастают амплитуды колебаний смешения за и скорости заш .

Колебания, как правило, перестают быть гармоническими, а фазовые траек- торин — эллипсами. Плоскость переменных з и е называется фазовой плоскостью. Семейство фазовых траекторий образует фазовый портрет колебательной системы. Анализ фазового портрета дает хотя и не полную, но обширную информацию о колебательной системе. К построению такого портрета прибегают тогда, когда не удается решить аналитически уравнение, описывающее сложные излебания. В первую очередь это относится к нелинейным колебаниям, анализ юторых затруднен из-за отсутствия точных решений нелинейных уравнений. Вначале проиллюстрируем сказанное на Ю примере простейших гармонических колебаний вида з(е) =з гйп(ш 1+ да).

ПосколькУ скоРость Колебания и волны Проанализируем на фазовой плоскости колебания математического маятника при произвольных углах а отклонения от положения равновесия. При этом будем счи- г~а — 2 — -соо сапа, асс (1.28) Это нелинейное уравнение не имеет простого аналитического решения, поэтому позднее мы приведем его приближенное решение. Однако многие закономерности таких колебаний можно проанализировать с!а с использованием фазового портрета на плоскости (а; а = — ).

Ф С этой целью уравнение (1.28) надо преобразовать к такому виду, чтобы в нем остались только эти переменные. а время было бы исключено. Для этого угловое ускорение в левой части (1.28) преобразуем к 0 Рис. Е!2. бза с(а да йа с(а , 1с((а') с(с' с(с с(а с)2 с(а 2 с(а (1.29) Подставляя (1.29) в (1.28), получим — с((а ) =-соо а(па 1а. 2 2 2 (! .30) Уравнение (1.30) отражает тот факт, что приращение кинетической эвери ш маятника равно убыли его потенциальной энергии в поле силы тяжести, Интегрируя (1.30), получим г — — соо сова = солод 2 (1.31) Если принять, что потенциальная энергия маятника в положении равновесия г 2 равна нулю, то константа выражается через запасенную маятником энергию Е = — псс 2 а о 2 о (ао — угловая скорость маятника в положении равновесия): Ео г сонг! = —, — соо, псс (1.32) Уравнение фазовой траектории (1.31) окончательно запишется в виде: 1 а~ Š— — о(! — сова) = 2 со2 о ау2Ш2 о (1.33) При этом потенциальная и кинетическая энергии задаются выражениями Е = — тбза; 2 кнн Е„„„= тс' шо(1 — сова).

2 2 (1.34) тать, что точечная масса пс прикреплена не к нити, а к жесткому невесомому стержню длины Е Первое из уравнений (1.2) запишем в виде Лекция 1 О, , 'и Рис. 1.13. Используя (1.33), построим фазовый портрет системы (рис. 1,13). Отчетливо видны два типа фазовых траекторий, соответствующие двум типам движения. Замкнутые траектории, окружающие особые точки типа «центр» с координа- тами а = О, а = 2лл (л — целое число), соответствуют колебаниям маятника относительно устойчивого нижнего положения равновесия.

Такие колебания имеют место, если энергия системы Е„< ага в~~ = 2тдХ (см. рнс. 1.13). При этом, если Е << 2т81', то колебания будут гармоническими, а фазовые траектории — эллипсами. Если Š— 2тф, то колебания будут негармоническими. При увеличении энергии, а„значит, и амплитуды колебаний осциллятора, их период будет возрастать, поскольку возвращающая сила в уравнении (1,28) меньше, чем в случае гарлюнического осциллятора. Верхнему положению равновесия с координатами й = О, а = (2л — 1)л соответствуют особые точки типа «седло». Фазовые кривые, проходящие через «седла», соответствуют энергии Е„= 2т82 и называются сепаратрисами.

Если, наконец, Е > 2т81', то получаются незамкнутые (убегающие) траектории„ соответствующие вращательному движению маятника. Таким образом, сепаратрисы разделяют фазовую плоскость на две области: область замкнутых траекторий и область траекторий, приходящих из бесконечности и уходяших в бесконечность. Отметим„что для негармонических колебаний нельзя употреблять термин «круговая частота», поскольку, как будет показано ниже, такие колебания являются, как правило, суперпозицией гармонических колебаний с различными частотами. Период же является по — прежнему одной из главных характеристик колебаний.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
58,1 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6358
Авторов
на СтудИзбе
311
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее