В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 3
Текст из файла (страница 3)
При возбуждении колебаний в такой системе при произвольном соотношении собственных частот вв и аог траектория колеблющегося груза может быть чрезвычайно сложной. Ее, в принципе, можно проанализировать, принимая во внимание тот факт, что результирующее движение груза является суперпозицией двух взаимно перпендикулярных независимых колебаний.
Х1 — = япв01соз1р, ьсозвогяп1р,„ ЭО1 (1.21) ~г — = Б!пвогсоз1рг -';соявогз!п192. ~02 Уыножим первое уравнение (1.21) на соз 1р . а второе — на соя гр, и вычтем второе урав- нение из первого. В результате получим: 1 "г — соя 1рг — — соя гр1 = соя вог яп(191 — грг ) .
ЭО1 ког (! .22а) ТепеРь Умножим пеРвое УРавнение на Яп 1Р, а втоРое — на Яп 1Рп повтоРим вычитание и получим — з1п1рг — — згп1р1 = з1пвогзгп(гр2-191). 2 ЗО1 ~02 (1.22б) Наконец, возведем в квадрат каждое из равенств (1.22) и сложим их. В результате время будет исключено, а уравнение траектории движушегося груза будет уравнением эллипса; с 22 1 гг — ') +~ г ) — 2 — ' — ~соя(грг — гр1) = яп~(102 — 191).
~01 ~02 ~01 ~02 (1.23) Таким образом, в обшем случае груз будет совершать периодические движения по эллиптической траектории. Направление движения вдоль траектории и ориентация эллипса относительно осей Оэг и Оэ зависят от начальной разности фаз Лгр = 1р — 1рг Рассмотрим вначале движение груза, если в, = в = во (жесткости всех пружин одинаковы). Чтобы получить траекторию движения, исключим из (1.19) текущее время. Для этого перепишем (1.19) в виде: Лекция 1 ЯО1 ао1 Зоз О < 2тгр < л/2 ~02 Лр=о 1 ХО1 ЯО1 ~02 Лр=кюг ~02 к~г с Лгр с О 1 — Я О1 ЗО1 В02 л < Л1р < 3!2 л ~02 2ЗГР = Л 1 ЗО1 ЗО2 2згр = 3/2 л ~02 3/2 к < 2згр < гк На рис.
1.8 изображены траектории движения груза при различных значениях 2ир. Все траектории заключены в прямоугольник со сторонами гзщ и гг . При 2ир = О и Ь1р = л груз движется по прямой ливии. При Ь1р = л~г и Ь1р = Зк!2 полуоси эллипса совпадают с Оз1 и Оз (при зм = з эллипс вырождается в окружность). При разности фаз О с 2ир < к груз движется по часовой стрелке, а при л < 2.'ир < 2к — против часовой стрелки. Колебания и волны 14 т=1,п=З т = 19, и = 20 т= З,в=4 Рис. 1.9. Типичным примером двумерного осциллятора (маятника) является электрон в атоме, который движется вокруг ядра по эллиптической орбите с периодом обращения Т- 10 '«с.
Можно считать, что такой электрон одновременно совершает два взаимно перпендикулярных колебания с частотой ш = 2л(1Т вЂ” 10'ь с '. Если частоты двух взаимно перпендикулярных колебаний не совпадают, но яв- ляются кратными; тш = пшш, где т н п — целые числа, то траектории движения представляют собой замкнутые кривые, называемые фигурами Лиссажу 1'рис. 1.9). Отметим, что отношение частот колебаний равно отношению чисел точек касания фигуры Лиссажу к сторонам прямоугольника, в который она вписана.
Если кратность между частотами отсутствует, то траектории не являются замкнутыми и постепенно заполняют весь прямоугольник, напоминая нить в клубке. Фазовый портре.г колебательной системы. В любой колебательной системе с одной степенью свободы смещение «(1) и скорость с(1) = <Ыбг меняются со временем. Состояние системы в каждый момент времени можно характери- зовать двумя значениями «и ш и на плоскости этих переменных это состояние однозначно определяется положением изображающей точки Р с координатами «и ц С течением времени изображающая точка Р будет перемещаться по кривой, которую называют фазовой траекторией движения (рис.
1. 10). Рис 1.10. Лекция 1 оз л ь(1) = — = зошав(п(ш г + <ро + — ) опережает смещение по фазе на л!2, то фазовая траектория будет эллипсом. Точка Р будет двигаться по эллигпнческой траектории по часовой стрелке (при е > О смещение з Рис. 1.1Е увеличивается, а прис ( Π— уменьшается (рис. 1. 11)). Параметры эллипса определяются энергией. запасенной гармоническим осциллятором. Потенциальная энергия пружинного маятника пропорциональна квадрату смещения: 2 Еп~ ~~ ~~О зпз (шег 'ре)' (1,24) Кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости: 1 1 Е„„„= 1п~ = иш~ла соз (гее1 «фо).
(1.25) Если принять во внимание равенство 1г = тшм то легко видеть, что взаимопревращения 2 одного вида энергии в другой за период происходят дважды. При этом полная энергия системы остается постоянной: Е =Е„+Е„я„= — ~(~У~э+ оз), (1.26) Равенство (1.26) как раз и является уравнением эллипса, которое можно переписать в более удобном виде: 2 и 2ЕО 2 шо глюо (1.27) Фазовый портрет гармонического осциллятора представляет собой семейство эллипсов, каждому из которых соответствует энергия Е, запасенная осциллятором. Положение равновесия в точке О на фазовой плоскости является особой точкой и называется особой точкой типа «центрв. С увеличением энергии Е возрастают амплитуды колебаний смешения за и скорости заш .
Колебания, как правило, перестают быть гармоническими, а фазовые траек- торин — эллипсами. Плоскость переменных з и е называется фазовой плоскостью. Семейство фазовых траекторий образует фазовый портрет колебательной системы. Анализ фазового портрета дает хотя и не полную, но обширную информацию о колебательной системе. К построению такого портрета прибегают тогда, когда не удается решить аналитически уравнение, описывающее сложные излебания. В первую очередь это относится к нелинейным колебаниям, анализ юторых затруднен из-за отсутствия точных решений нелинейных уравнений. Вначале проиллюстрируем сказанное на Ю примере простейших гармонических колебаний вида з(е) =з гйп(ш 1+ да).
ПосколькУ скоРость Колебания и волны Проанализируем на фазовой плоскости колебания математического маятника при произвольных углах а отклонения от положения равновесия. При этом будем счи- г~а — 2 — -соо сапа, асс (1.28) Это нелинейное уравнение не имеет простого аналитического решения, поэтому позднее мы приведем его приближенное решение. Однако многие закономерности таких колебаний можно проанализировать с!а с использованием фазового портрета на плоскости (а; а = — ).
Ф С этой целью уравнение (1.28) надо преобразовать к такому виду, чтобы в нем остались только эти переменные. а время было бы исключено. Для этого угловое ускорение в левой части (1.28) преобразуем к 0 Рис. Е!2. бза с(а да йа с(а , 1с((а') с(с' с(с с(а с)2 с(а 2 с(а (1.29) Подставляя (1.29) в (1.28), получим — с((а ) =-соо а(па 1а. 2 2 2 (! .30) Уравнение (1.30) отражает тот факт, что приращение кинетической эвери ш маятника равно убыли его потенциальной энергии в поле силы тяжести, Интегрируя (1.30), получим г — — соо сова = солод 2 (1.31) Если принять, что потенциальная энергия маятника в положении равновесия г 2 равна нулю, то константа выражается через запасенную маятником энергию Е = — псс 2 а о 2 о (ао — угловая скорость маятника в положении равновесия): Ео г сонг! = —, — соо, псс (1.32) Уравнение фазовой траектории (1.31) окончательно запишется в виде: 1 а~ Š— — о(! — сова) = 2 со2 о ау2Ш2 о (1.33) При этом потенциальная и кинетическая энергии задаются выражениями Е = — тбза; 2 кнн Е„„„= тс' шо(1 — сова).
2 2 (1.34) тать, что точечная масса пс прикреплена не к нити, а к жесткому невесомому стержню длины Е Первое из уравнений (1.2) запишем в виде Лекция 1 О, , 'и Рис. 1.13. Используя (1.33), построим фазовый портрет системы (рис. 1,13). Отчетливо видны два типа фазовых траекторий, соответствующие двум типам движения. Замкнутые траектории, окружающие особые точки типа «центр» с координа- тами а = О, а = 2лл (л — целое число), соответствуют колебаниям маятника относительно устойчивого нижнего положения равновесия.
Такие колебания имеют место, если энергия системы Е„< ага в~~ = 2тдХ (см. рнс. 1.13). При этом, если Е << 2т81', то колебания будут гармоническими, а фазовые траектории — эллипсами. Если Š— 2тф, то колебания будут негармоническими. При увеличении энергии, а„значит, и амплитуды колебаний осциллятора, их период будет возрастать, поскольку возвращающая сила в уравнении (1,28) меньше, чем в случае гарлюнического осциллятора. Верхнему положению равновесия с координатами й = О, а = (2л — 1)л соответствуют особые точки типа «седло». Фазовые кривые, проходящие через «седла», соответствуют энергии Е„= 2т82 и называются сепаратрисами.
Если, наконец, Е > 2т81', то получаются незамкнутые (убегающие) траектории„ соответствующие вращательному движению маятника. Таким образом, сепаратрисы разделяют фазовую плоскость на две области: область замкнутых траекторий и область траекторий, приходящих из бесконечности и уходяших в бесконечность. Отметим„что для негармонических колебаний нельзя употреблять термин «круговая частота», поскольку, как будет показано ниже, такие колебания являются, как правило, суперпозицией гармонических колебаний с различными частотами. Период же является по — прежнему одной из главных характеристик колебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
