В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 9
Текст из файла (страница 9)
д. полупериодов колебаний, т.е. на частотах 2ю /л, где п — любое целое число. Возбуждение также возможно внутри некоторой области— вблизи каждой из этих частот„но пороговые значения глубины модуляции для разных частот будут различны. Автоколебаиия. Наблюдая колебания листьев деревьев. дорожных знаков над проезжей частью улиц, полотнищ на ветру и др., мы понимаем, что во всех перечисленных случаях незатухающие колебания происходят за счет энергии постоянно дующего ветра.
При этом сама колебательная система производит отбор энергии ветра в нужный момент времени и в количестве, требуемом для компенсации неизбежно присутствующих энергетических потерь, Колебания в этих системах начинаются самопроизвольно за счет начальных флуктуаций (дрожаний) колеблющихся предметов. Частота и амплитуда установившихся колебаний определяется как параметрами самой системы, так и параметрами ее взаимодействия с ветром. Такие колебания являются примерами автоколебаний, а сами системы — примерами автоколебательных систем. Отношение ба1а называют глубиной модуляции параметра а.
Из (2.61) видно, что для возникновения параметрических колебаний глубина модуляции должна превзойти некоторое минимальное (пороговое) значение, примерно равное величине, обратной добротности: Колебания и волны Рис. 2,9а, Рис. 2.9б. Классическим примером автоколебагельной системы служат механические часы с маятником и гирями. Этн часы периодически «черпают» энергию при опускании гирь, подвешенных к цепочке, перекинутой через шестерню часового механизма. Принцип работы всех автоколебательных систем можно понять, обратившись к схеме, изображенной на рис. 2.9а. Периодическим поступлением энергии в колебательную систему от источника энергии по каналу АВ управляет сама колебательная система посредством обратной связи. Схематически это изображено в виде некоторого запирающего канал АВ устройства (ключа), который управляется самой системой. Так, в зависимости от положения и скорости колеблющегося листа на ветру будет различной мощность сил аэродинамического давления.
В конструкции часового механизма (рис. 2.9б) присутсгвуег специальное устройство — анкер, выполняющий роль ключа. Этот анкер, представляющий собой коромысло„приводится в колебание самим маятником часов. При определенных положениях он «отпираетя одну из шестерен часового механизма. В этот момент времени шестер- ня проворачивается за счет момента сил, приложенного со стороны натянутой цепи с грузом. Груз при этом опускается на небольшую величину. Количество энергии„поступающей в часовой механизм, равно по величине уменьшению потенциальной энергии груза в поле силы тяжести. Важно отметить, что любая автоколебательная система нелинейна. На схеме это отражено наличием в системе обратной связи нелинейного ограничителя сигнала, управляющего ключом.
Нелинейность системы проявляется в том, что при начальном нарастании амплитуды колебаний, порожденных флукгуациями, поступление энергии в систему за каждгай последующий период колебаний увеличивается нелинейно, т.е. прирост поступающей энергии становится все меньше и меньше. Естественно, что амплитуда колебаний достигнет такой установившейся величины, при которой приток энергии и ее потери будут равны по величине. Маятник на вращающемся валу (маятник Фрудя).
Для более углубленного изучения принципа действия автоколебательной системы проанализируем колебания маятника, поднес которого скреплен с муфтой 1, одетой на горизонтальный вал 2 (рис. 2. 10). Лекция 2 Пусть вал вращается с постоянной угловой скоростью й по часовой стрелке. Если угол отклонения маятника от вертикали р(г) меняется с течением времени, то сила сухого трения в подвесе, нелинейно зависящая от относительной скорости муфты и вала П вЂ” Р, также будет меняться во времени ( Р— угловая скорость муфты). Момент этой силы М будет оказывать периодическое воздействие на маятник, поддерживая его колебания. На рис.
2.11 изображена нелинейная зависимость М, от относительной угловой скорости муфты и вала. На изображенной кривой имеется точка перегиба Р. Подберем скорость вращения вала й такой, чтобы в Рис. 2.10. отсутствие колебаний ( Р = О) попасть в эту точку. В этом случае к муфте маятника будет приложен постоянный момент силы трения: М, = М . Для дальнейшего анализа более удобно воспользоваться зависимостью М, ( Р )„изображенной на рис.
2.12. Следует подчеркнуть, что начальное (линейное) нарастание М с угловой скоростью Р обеспечивает условие для самопроизвольного нарастания колебаний из флуктуации, что эквивалентно наличию положительной обрапюй связи, а последующее замедление роста М, при увеличении Р являетсяпричинойнелинейногоограничениянарастанияколебаний:амплиту- да смешения маятника (а значит и амплитуда его скорости р,„) достигнет максимальной (установившейся) величины, что эквивалентно наличию нелинейного ограничителя. Отклоним осторожно маятник от вертикали иа угол Р такой, чтобы момент силы трения, действующий на неподвижный маятник, М„= М, (О), был уравновешен моментом силы тЯжести М(Ро) = тда гйп Ро: М, (О) =М(Рс), или Ма — — адаз1пРю (2.63) Здесь га — масса маятника, а — расстояние от вала до центра масс маятника На первый взгляд, может показаться, что маятник так и останегся висеть под углом Ро к вертикали.
На самом деле это положение будет неустойчивым. Представим, что в результате ничтожного толчка маятник приобретет небольшую угловую скорость Мо р.„о р,„р Рис. 2.12. Рис, 2.11. Колебания и волны > О. При этом возрастут моменты сил тяжести М и трения М, и условие (2.63) может нарушиться. Если начальный наклон кривой М ((3 ) на рис. 2. 12 достаточно велик (силь- ная положительная обратная связь), то Мт ()3 ) > М (р, ). Это означает„что угловая скорость (3 будет нарастать. Однако затем это нарастание прекратится, т.к, из-за нелиней- ного загиба кривой М, ((3 ) равенство моментов опять восстановится (сработает меха- низм нелинейного ограничения); М„А...) =МФ).
(2.64) Условию (2.64) соответствует точка Кз на кривой Мт ((3). После этого угловая скорость начнет уменьшаться, поскольку с ростом угла р момент Мф) продолжает рас- ти, а Мгр( ~3 ) — убывать. Следовательно, маятник спустя какое-то время остановится, а его угол отклонения достигнет максимальной величины ~3~м. Поскольку в этот момент М ( 1 3 м д ~ ) > М ч ~ М о то м а я т ни к н а ч нет д в ига и с я в об р атно м н а п р а в л е н и и . М о м е н г силы тяжести начнет уменьшаться, а момент силы трения будет также уменьшаться„но быстрее. чем момент силы тяжести (опять срабатываег положительная обратная связь). Сначала это движение будет ускоренным, пока М> М, (до точки К на рис.
2,12), а затем при М < М вЂ” замедленным (до точки Р на рис. 2. 12). Остановившись при векотр тором угле наклона ~~ко маятник опять движется влево, т.к, все еще М < М, . Наконец, он достигает стартовой позиции, однако приобретенная им скорость будет больше скорости начального толчка. Таким образом, в течение одного периода колебаний увеличилась энергия маятника за счет ее заимствования от устройства, вращающего вал.
В последующие периодыколебанийточкиК,иК накривой М, ф) будутсдвигаться в разные стороны, однако из-за нелинейности кривой этот сдвиг прекратится (срабатывает механизм нелинейного ограничения), и колебания установятся. Чтобы количественно проанализировать автоколебания маятника, запишем уравнение вращательного движения маятника с моментом инерции Х .1Р = Мир ф) — тКаЯп13. (2.65) В этом уравнении мы пока пренебрежем моментом силы вязкого трения, действующей на движущийся маятник. Момент силы сухого трения в подвесе, нелинейно зависящий от угловой скорости р (см. рис.
2.! 2), можно аппроксимировать следующим выражением М Ф)=Ма+111-М'. (2.66) где 1с, и Š— размерные коэффициенты, определяющие обратную связь и нелинейное ограничение соответственно. Если колебание описывать углом отклонения и от поло- жения неустойчивого равновесия, задаваемого углом ~3а (а = 33 — 3)а), то (2.67) яяаяп13 = тда(яп(3а созиз-соз)3я япа). Для малых углов сова = 1, яп а = а. Если учестьдалее, что 13 = а, то уравнение (2.65) примет вид: Лекция 2 /а+ т8асозр а =)г,а — )озаз. (2.68) Это уравнение является нелинейным дифференциальным уравнением и не имеет аналитического решения. В теории колебаний развиты методы, позволяющие решить его приближенно, исследовать условия, при которых возможно самовозбуждение колебаний, и найти амплитуду а, и частоту ш установившихся колебаний: а(г) = соо а1пша (2.69) Мы же поступим более просто и определим а из условия энергетического баланса.
Поскольку правая часть (2.68) мала„то частота колебаний приближенно равна; =о Г о.и Подсчитаем работу за период колебаний Т = 2л/щ совершаемую устройством (например, электродвигателем), вращающим вал. Она, очевидно. равна: т А = ~ М„файг = М„ат, о Здесь учтено„что интегралы по времени от 1) и )3~ равны нулю, поскольку (2.70) 1)=к= Потери энергии в скользящем подвесе за это время составят величину т ( о На рис. 2.13 изображены зависимости А и д от амплитуды ао. Видно, что при случайных флуктуациях, когдаа, мало, А > д. Это означает, что колебания будут нарастать. Однако с ростом амплитуды начинают расти потери д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
