В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Из (3.10) и (3.11) определяем амплитуды мод: зм — — ап =зщ 12; — кп = кп = — з !2. Поскольку фазы <р, = фи — — л!2 (тк. начальные скорости у грузов зщ =зпп п= хо~ отсутствуют)„то смещения Колебания и волны Видно, что колебания каждой из масс имеют форму биений. Период этих биений равен '! 2к 2л б вп в! '('" б (3.14) где частота биений ~б ~~в вп в! Если ввести среднюю частоту (3.15) в! +!оп во = 2 (3.16) 2д то с этой частотой связан период колебаний Т =- во Если частота биений ого «соо, как это изображено на рис. 3.6, то Те» Т .
В этом случае колебания обоих грузов будут почти гармоническими (квазигармоническими). Если переписать (3.13) с использованием средней частоты соо и частоты биений Йе в виде: , ~б з!(!) = за! соа — ! соя в>! = А,(!)соко! >г; 2 ~" б (3.17) за(!) =хо! а(п — '!созво! =А,(!)соявог; 2 то при йе «во колебания (3.17) можно трактовать как колебания с частотой во и медленно меняющейся амплитудой А(!). 2 зо 2 зо! 4 В теории колебаний и в других разделах физики для анализа колебательного процессаиспользуютспектральноепредставление, или спектр колебаний. Этот спектр изображают графически; по оси абсцисс указывают частоты колебаний, а по оси ординат откладывают квадраты их амплитуд.
Так, в частности.для колебаний, изображенных на рис. 3.6 ( з! или гз ) и описываемых форму- во ва лами (3.17), легко нарисовать спектр, поРис. 3.7. скольку уже известно спектральное разложение этого колебания (представление в виде суммы гармонических колебаний), задаваемое формулами (3.12).
Такой спектр изображен на рис, 3.7. ' Колебания (3,12), вообще говоря, не являются периодическими. т.е. нельзя указать такое время Т', спустя которое онн точно повторяются (отношение частот в, l оо„ вЂ” чаше всего иппаинональшв! = пвп будут исчезающе редай!. поэтому ное число,а слочаи.их папиоиального отношения: периодом'олений ! мй йазываем период 1з.!ч1 'повторения огибающей суммарного колебания, ,. вп в! гя равный половине периода колебания с частотой " ' йо —— — — во — в, . г,а Т, Лекция 3 Этот спектр содержит две спектральные компоненты. Его можно охарактеризовать средней частотой оза и шириной Лш. В соответствии с формулой (3.14) произведение Лш на период Те равно постоянной величине: Ьщ Те — — 2л.
(3.18) Формула (3.18) имеет глубокое физическое содержание. Так, если происходит некоторое квазигармоническое колебание вида х(1) = А(1) соз(шаг е ср(г)1, (3.19) оси ординат отложен квадрат амплитуды ла каждой из гар- монических составляющих, О причем между т и Лш существует связь: Лсо т-2л.
Количественная связь между колебательным процессом з(1) и его спектром предсга~етю (по аналогии с формулами (3.12)) в виде суммы конечного нли бесконечного числа гармонических составляющих (в виде ряда или интеграла Фурье). Такое представление будет широко использоваться в курсе «Оптиюл. Рис. 3.8. Методика анализа колебаний связанных осцилляторов. Выше мы рассмотрели колебания двух одинаковых связанных пружинных маятников, не прибегая к решению уравнений их движения. Однако, если жесткости пружин и массы тел имеют произвольные величины, то зачастую бывает трудно догадаться о конфигурации мод и их частотах.
Поэтому представляется важным вооружиться универсальным методом, позволяющим по единой схеме провести последовательный анализ любой колебательной системы с двумя степенями свободы, являющейся системой любых связанных осцилляторов. для которого амплитуда А и фаза у медленно меняются на масштабе времени т (рис. 3.8а), то спектр такого колебания может состоять из большого числа частот. Эти частоты группируются вблизи центральной (основной) частоты ше — — 2н1Т в пределах характерного интервала частот Лв„обратно пропорционального временному масштабу т.
На рис. 3.8б т изображен этот спектр, где по Колебания и волны Запишем уравнения движения двух связанных пружинных маятников в виде: Л11Х! /С!~1 /С~с ! /С~г Л!2Х2 ~2~2 /С~г +/'~1 (3.20) Разделив первое уравнение на и„ а второе — на тг и используя выражения (3.6) для парциальных частот, перепишем (3.20) следующим образом: пружинами (/с, = /сг = к) . Поскольку парциальные частоты совпадают (ш! = сот = со = (Г+Г 1~.' ), а также сс! = аг = а = — —, то система уравнений (3.21) становится более лс !П простой.
Сложив оба уравнения„получаем; г (3.22а) где с,-! = х! + хг — первая нормальная координата. Вычитая второе уравнение из перво- го„находим: 6=-(ш'- Кг, (3.22б) где Р,г —— хс — хг — вторая нормальная координата. Теперь уравнения (3.22) независимы.
Первое из них описывает колебание центра масс системы с частотой со! с ш 2 2 /" (3.23) !И меньшей парциальной частоты ш . Второе уравнение описывает изменение расстояния мелСду двумя массами с частотой 2 2 01П вЂ”вЂ” 01 !И превышающей парцнальную частоту. Решения уравнений (3.22) очевидны: (3.24) э1(/) = 51(/) ! эг(/) = Ц01 а!п(М!! ! ср1); (3.25а) (3.25б) чг(/) 51(/) хг(/) = )02 а1П(свП/-! 1РП) Возвращаясь к функциям хс и хг, получаем: хс(/) = о' яп(ш,/ ь ср,) ь 02 я(п(соп/-ь фп); хг(/) = яп(со,/+ср,) — яп(шп/-ьсрп), ЧО1 эог 2 2 (3.2ба) (3.26б) г ~1 001 ~1 СХ!" 2 г, (3.21) ~2 122~1 Ш2К2 где а! = -/с'/ лс„аг = — /с'/ иг — коэффициенты, зависящие от жесткости /с' пружины связи. Обратим внимание, что уравнения (3.21) не могут решаться по отдельности, т.к. каждое из них содеРжит х! и хг .
ПозтомУ целесообРазно пеРейти от смещений з! и хг к новым функциям Чс и Г 2, называемым нормальными координатами. Смысл перехода состоит в получении двух независимых уравнений движения, которые можно решать по отдельности. Однако„в общем случае эти координаты найти не просто. Поэтому для иллюстрации такого перехода рассмотрим систему с одинаковыми массами (т! = тг = и) и Лекция 3 ЧетыРе величины Ь01, Рог, 1Р! и 1Рп опРеДелЯютсЯ из начальных Условий: «! (! = 0), «2 (! = О) „«1 (! = 0), «2 (! = 0) .
Проиллюстрировав переход к нормальным координатам, вернемся к методике анализа колебаний в произвольных системах, описываемых уравнениями (3.21). Пусть в системе происходит нормальное колебание с неизвестной пока часто- той го и коэффициентом распределения амплитуд с= —: «о! «!(!) = «о! Я!п(ю! +1Р) «г(!) = «ог з)п(ю! + !Р) (3.27) Подставим (3.27) в систему уравнений (3.21). Тогда получим систему из двух алгебраическихуравнений: (ш! — ю )«01-~-с'1«02 =0; 2 2 2 2 (3.28) пг«о! т (озг ю )«ог = О. Система линейных однородных уравнений (3.
28) имеет отличные от нуля реше- еделитель равен нулю: ния только в том случае„если ее опр 2 2 ОЭ, — ОЭ Я! 2 2 ( 1 )( 2 ) 1' 2 Юг ,— О!' (3.29) проделать самостоятельно. Соотношение между марциальными и нормальными частотами. Для установления связи между парциальными и нормальными частотами перепишем (3.29) в виде (ю! ш )(шг о! ) у ш!шг =О (3.31) где с!!пг Т (3.32) Ю!Ш2 (1 )( 2+ ) Это — квадратное уравнение относительно оз, причем ю > О. Поэтому, решая уравнение (3.29), можно найти нормальные частоты ю и ю .
После нахождения частот не составляет труда найти конфигурацию мод„т.е, коэффициенты распределения ампли- туд 9 и 9 . Их можно определить, например, из первого уравнения (3.28), причем оче- видно, что для каждой нормальной частоты ( ш! или шл ) эти коэффициенты различны: =(:::1= ',' =(-:::1= ', ' Таким образом, уравнение (3.29) и равенство (3.30) позволяют полностью рас- считать параметры каждой из двух мод. Движение каждой из масс, как уже неоднократ- но отмечалось, является суперпозицией двух нормальных колебании; «1(!) = «о1, з!п(ш!! 0'Р!) +«м„в п(шп! +'Рл), «2(!) =9! «о1, вгп(ю!г+1Р!)+9п «01„«!п(шпг+!Рп), где амплитуды «о1, и «о1„и начальные фазы 1р! и 1рл определяются, как и раньше, из начальных условий: «!(0), «2(0), «,(0), Яг(0) .
Расчет мод для любой системы двух связанных осцилляторов читатель может Колебания и волны Безразмерный коэффициент связи Т О о11 а~ озг ал в Рис. 3.9. между двумя системами может принимать значения О < у < 1. Если из (3.31) определить нормальные частоты в, и ал, то они будут выражаться через парциальные частоты в, и вг и коэффициент у . Эти четыре частоты будут располагаться на оси частот в последовательности, изображенной на рис. 3.9.
При слабой связи (у « 1) нормальные частоты близки к парциальным, а при сильной связи (у < 1) различие в частотах становится сушественным. Это хорошо видно, если парциальные частоты совпадают (в1 = вг = ао). Тогда (3.31) примет вил: (во в ) Т во=О Отсюда в1 =ай(1 У) (3.33) (3.37) Последним результатом мы воспользуемся при рассмотрении диссипации энергии в связанной колебательной системе.
Энергия колебательной системы и ее диссипация. Рассмотрим колебания двух одинаковых масс (рис. 3.10а), закрепленных на растянутом легком резиновом шнуре. Затухание колебаний. Если энергия не подводится извне, то колебания связанных осцилляторов будут затухать. Поскольку сила вязкого трения пропорциональна скорости„то уравнения (3.21) с учетом затухания примут вид: 31 в1 з1 25131 121 2 2 (3.34) хг =. агз1 вгзг 25232 Здесь б, = Г, 12а1 и 52 = Гг /2тг — коэффициенты затухания для первого и второго осцилляторов. Если искать решение этой системы в виде нормальных затухаюших колебаний: з1(г) = зо1е з(п(ел+ ф) ° зг(г) = гоге а)п(ол-оф). (3.35) то после подстановки (3.35) в (3.34) можно найти нормальную частоту 1о, коэффициент затухания б и конфигурацию ч каждой из двух мод. Опуская промежуточные выкладки, отметим, что при в, »б, и вг»52 (слабое затухание) нормальные частоты и распределение амплитуд в модах будут близки к тем, что и в отсутствие затухания.
Для коэффициента затухания 5 получается выражение: (в1 ог )51+(вг оз )52 г (. ) 3.36 можно видеть, что при произвольном соотношении между а,, гог, 5, и 52 коэффициенты затухания мод б, и б„, получаемые из (3.3б) при в=а, и в = ал, будут различными. Если парциальные частоты совпадают (а, = аг), то 1 51 = бл = (51 +бп). 2 Если о11 Ф в2 а 51 52 б то 51 =бл =б. (3.38) Лекция 3 Если один из грузов оттянуть на расстояние 2хо (б) и затем одновременно отпустить обе массы, то их колебания будут иметь вцп биений. С другой стороны, при этих начальных условиях будут возбуждены две моды (в и г) с одинаковыми амплитудами колебаний обеих масс, а) б) в) Вынужденные колебания.
Рассмотрим основные закономерности вынужденных установившихся колебаний в системе, изображенной на рис. 3.11, если на левую массу и21 действует сила Г(!) = Ео гйп со!. Уравнения движения в этом случае будут отличаться от (3.34) наличием этой силы в правой части первого уравнения: равными хо . Энергия„запа- ло сенная в первой моде„ равна г) сумме кинетических энергий Рис. 3.10. 1 обеих масс пРи пРохолц1енни ими положениЯ РавновесиЯ со скоРостью и! — — хош1, тех Ео = 2 (!'о) = 2и'ош1, 1 И! „12 2 2 (3.39а) 2 а энергия второй моды, аналогично, равна Ео =2 (ио ) =и2хошп. П И1,П 2 2 2 2 (3.39б) Важно отметить, что энергообмен между модами отсутствует„а полная энергия системы равна сумме энергий ее мод. В то же время в процессе биений энергия первого осцнллятора за время, равное половине периода биений, «перетекает» ко второму осциллятору н затем за такое же время возвращается обратно. Полный энергообмен между осцилляторами возможен лишь тогда, когда обе массы одинаковы н отношение (го1 -> о2п ) /(озп — о1, ) Равно целомУ числУ и, т.е.: Оз! + О2п -О!о = — = и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
