Главная » Просмотр файлов » В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны

В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 12

Файл №1111878 В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны) 12 страницаВ.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878) страница 122019-05-06СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

(3.40) Шп О!1 «об Следовательно, частота о!о должна быть кратной частоте биений. В самом деле, при выполнении условия (3.40) каждая нз масс будет периодически останавливаться в положении равновесия (как следует из формул (3.17)). С течением времени колебания будут затухать, н будет экспоненциально уменьшаться энергия„запасенная в модах: (3.41 а) (3.41б) 1 Важно подчеркнуть, что через время тк = — энергия каждой из мод умень- 25 шится в е раз, при этом противофазная мода «потеряет» больше энергии, чем синфазная, поскольку начальная энергия Еп у нее была больше, чем Е1 (см, (3.39)).

Колебания и волны г . "ог У, = — ю, з, — 2бс3, — а1зг е — зш юб и~ г Уг = — агзс — согзг 2бгбг. Нетрудно догадаться, что 1с Р11) (3.42) решениями этой системы в уста- новившемся режиме являются гармонические функции Рис. 3.11. зсссс)с лиз)пссюс" 'Рс) зг(1)=лога"Ф~г+срг) (3.43) которые отражают тот факт, что обе массы колеблются на частоте вынуждающей силы.

Подставляя (3.43) в (3.42), можно вычислить амплитуды и фазы вынужденных колебаний. Мы ограничимся лишь обсуждением результатов. На рис. 3.12 изображена АЧХ для зм первого осциллятора, к которому приложена сила. Обращает на себя внимание наличие двух резонансов, которые при малом затухании наблюдаются на нормальных частотах ас и шл. При изменении частоты ю от шс до шл амплитуда зш падает и достигает минимума на второй парциальной частоте шг, ог~ огс юг сон Рис. 3.12.

Колебания систем со многими степенями свободы. Основные идеи, сформулированные при рассмотрении нэлебаний систем с двумя степенями свободы, теперь могут быть с успехом использованы для аначии колебаний систем с тремя, четырьмя, ..., 1т'степенями свободы, и в пределе, при 1т' — э, для анализа колебаний в сплошных средах, т.е. волн. Обратимся вначале к колебаниям трех одинаковых масс и, закрепленных на равных расстояниях а на натянутом легком резиновом шнуре, как показано на рис.

3.13а. Любое колебание этой системы может быть представлено как суперпозиция трех нормальных колебаний с частотами юс, шл и юш. Опуская навремя вопрос о величине частот, найдем конфигурацию этих мод. Примем во внимание, что квадрат частоты колебаний каждой массы в данной моде должен быть одинаков. Этого можно добиться в случае, когда отношения при этом с уменьшением затухания амплитуда на этой частоте стремится к нулю. Это обстоятельство используют для подавления отклика системы на действие внешней силы.

В радиотехнике, где используются связанные колебательные контуры, их применяют как фильтры и демпферы. Два резонанса имеют место и для смещения з второй массы. Если проанализировать отношение амплитуд ааг 1зи в зависимости от частоты ш, то оказывается, что это отношение вблизи частоты шс равно коэффициенту распределения амплитуд сс для первой моды, а вблизи частоты сел — коэффициенту распределения амплитуд бл для второй моды. Это используется для определения этих коэффициентов, поскольку прн вынужденных колебаниях это сделать проще, чем при собственных. ЛЕК14иЯ 3 а и а и а возвращающей силы к величине массы и и ее а) смещению х у всех грузов будут одинаковыми.

Такие условия реали- зуются при смещении масс тремя способами (б, в и г на рис. 3.13). При отпускании грузов нз положения (б) в системе будет происходить оэп юи первое нормальное колебание на частоте ю,; из положения (в)— х, Рис. 3.13. хЗ к 4а зв (х) = зо з(" 11 х 1 (3.44а) Для второй моды; кв (х) = юо з|п(лх; 1л —— 211. л (3.44б) Для третьей моды: з~ш(х) = з1п(шх; (ш = 3(п (3.44в) Роль безразмерных коэффициентов ь выполняет функция гйп Арх (р =1, 11,111), вычисленнаявточках х=х, =а, х=хз =2а, х=хз — — За.

Другими примерами связанных осцнлюпоров являнп ся щомы в молекулах СО, Н О и т. д. На рис. 3.14 изображены конфигурации мод и приведены значения частот нормальных колебаний молекул. Обратим внимание, что эти частоты имеют порядок величины (10~~ —:10~~) с ' и значительно превышают (на несколько порядков) частоты механических колебаний макроскопических систем.

Резонансные колебания этих (и других) молекул можно возбудить при взаимодействии разноименно заряженных ионов, составляющих эти молекулы, с электрическим полем световой электромагнитной волны инфракрасного (ИК) диапазона, имеющей близкую частоту. второе на частоте сал, из положения (г) — третье на частоте ющ. Очевидно, *по ю|л > юн > ю,. Конфигурация каждой из мод может быть описана с помощью двух коэффициентов распределения амплитуд. Забегая вперед, отметим, что для четырех масс таких коэффициентов должно быть три, и т.д. Однако ситуация может быть упрощена, если обратить внимание, что расположение масс в позициях (б), (в) и (г) на рис. 3.13 напоминает «синусоидальное» (пунктиром изображен фрагмент функции з)п 1х, где 1 — некоторый параметр, характеризующий период этой функции). Тогда конфигурация первой моды будет описана следующим образом: Колебания и волны 60 -® вз =4,16 10 с --®- -©-- О --ь во= 7,05 10'з с ' -О Ь в„,=г,00 10 с- зз О -® Дн з Дн Дн Дн гол=11,27 10" с ' во,=4,78 1О с Рис.

3.14. в,=11 10" с-' (3.47) где частоту го и распределение амплитуд предстоит определить. 0 х3 хз хз х„, х, Р . 3.75. В курсе «Оптика» мы познакомимся с таким взаимодействием, приводящим„в частности, к ослаблению (поглощению) энергии световой волны и ее рассеянию в среде с колеблющимися молекулами (комбинационному рассеянию). Будем увеличивать число масс„закрепленных на шнуре через равные промежутки а. Если М вЂ” число этих масс, то полная длина шнура равна т' = а(М -ь 1) (рис. 3.15). Рассчитаем нормальные часпзгы всех мод и их конфигурации. Будем считать, что невесомый шнур натянут с силой Е, и при малых отклонениях масс ог положения равновесия з << гз эта сила не меняется. Каждая масса испытывает действие сил натяжения шнура по обе стороны от нее.

На рис. 3.16 показано мгновенное положение фрагмента шнура и трех масс. Если углы О, и Оз малы, то возвращающая сила„действующая на среднюю массу, равна; (= — Г (мпО, +з|пОз) = — Г(9з о-О ). (3.45) Величины углов О, и Оз определяются взаимным расположением масс: (3.46) а а С учетом (3.45) и (3.46) уравнение движения средней массы примет вид: ау = — Г (ю — ю з х — ю з1 а а Если колебания являются нормальными, то т — (г ) = о, -з з1" вз „(г)= о,„з1пвй (3.48) з ьз(г) зо. ма1пвг Лекиия 3 61 Подставляя (3.48) в (3.47), получим (3.49) Поскольку и = 1, 2„3, ..., )т'„то (3.49) представляет собой систему Ж линейных однородных уравнений.

Из условия равенства нулю ее определителя можно рассчитать все 19 нормальных частот, а затем для каждой из этих частот определить рас- О пределение амплитуд в Рис. 3.1б. каждой моде. число которых, очевидно, будет равно й1. Мы же используем уже описанный ранее более легкий путь и будем искать конфигурацию каждой моды в виде «сниусоидальной» конфигурации: зо(х) =газ(п(х, или за„— — за(х„), (3.50) где х, =а,хз = 2а,...,х„е на,...„хл — — Фа. Убедимся, что конфигурация (3.50) удовлетворяет уравнению (3.49), которое перепишем в виде: зо,м + зк,-~ 2Й вЂ” ю г (3.51) где Й г гла Подставим (3.50) в левую часть (3.51): яп1(п 41)а "; яп 1(п — 1)а 2й~ — ш~ = 2соз(а = (3.52) яп 1на й~ Очевидно, что (3.

50) удовлетворит уравнению (3.49), если подобрать для данного 1 подходящую частоту ш. Параметр 1 назовем волновым числом. Объяснение этому будет дано в последующих лекциях, Этот параметр должен быть таким, чтобы на концах закрепленного шнура удовлетворялись граничные условия. Прн х= 0 эти условия выполняются: яп(1 0) = О. На другом конце, где к = а(7т' е 1), потребуем, чтобы з! и Яа( У -ь 1) = О, (3.53) откуда получаем: 1„а(М-ь1) = р л, или б (3.54) а(1т'-ь 1) ' где целое число р = 1, 11„..., М характеризует номер моды (количество мод, как было показано выше, равно М).

Каждой р-ой моде соответствует своя часюта, которая легко находится из уравнения (3.52): ш' =2а'(1-соз( а)=2П'(1-соз Р" 1 (3.55) ЛЕКЦИЯ 4 Распространение возиуи1ений в системе с болыиим числом степеней свободы. Скорость распространения Возбуждение волн. Группа волн и ее скорость. Волновое уравнение. Волны в сплошном имуре. Отражение волн. Возбуждение стоячих волн в шнуре. Моды колебаний. Волны в упругик телах. Поперечные волны. Энергия, переносимая волной. Вектор Умова.

Продольные волны Скорость волн в тонком и толстом отерэк. нях, Отражение и прохождение волн на границах двух сред. Удельное волновое сопротивление. Распространение возмущений в системе с большим числом степеней свободы. Рассмотрим колебания й» 1 масс на резиновом шнуре (рис. 4д а). Отклоним несколько масс в середине шнура от положения равновесия (рис.4.1б), и затем отпустим их в момент времени г = О. Как показывает опыт„эта начальная конфигурация, представляющая собой по форме импульс, с течением времени трансформируется в два одинаковых импульса, которые побегут в разные стороны с некоюрой конечной скоростью с (рис.4. 1в).

Эти импульсы добегут до концов шнура, иэченят свою полярность при отражении и побегут в обратном направлении (рис.4. 1г). Пос- ле встречи в середине шнура они отразятся еще раз, восстановят исход- ную полярность и спустя время Лг = 2г'!с вновьвстретятся всередине, сформировав исходный импульс. Затем этот процесс с периодом бг будет повторяться до тех пор„ О Рис, 4.1 пока импульсы не загухнут из-задис- сипации энерпш.

С точки зрения повседневного опыта в этом нег ничего удивительного, поскольку сме- щения группы лгасс ведут к возникновению упругих сил, стремящихся вернул* эту группу в полакение равновесия и одновременно вывести соседние частицы из положения равновесия. С точки зрения описания колебаний вна языке мод е также понятно, что отклонив, а затем отпустив группу частиц, мы возбуждаем мнопэ мод. Колебания всех Ф часпш происходят одновременно на нескольких нормальных частотах ш . Все эти частоты различны, и сумма нормальных колебаний представляет собой биения.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
58,1 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее