В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(3.40) Шп О!1 «об Следовательно, частота о!о должна быть кратной частоте биений. В самом деле, при выполнении условия (3.40) каждая нз масс будет периодически останавливаться в положении равновесия (как следует из формул (3.17)). С течением времени колебания будут затухать, н будет экспоненциально уменьшаться энергия„запасенная в модах: (3.41 а) (3.41б) 1 Важно подчеркнуть, что через время тк = — энергия каждой из мод умень- 25 шится в е раз, при этом противофазная мода «потеряет» больше энергии, чем синфазная, поскольку начальная энергия Еп у нее была больше, чем Е1 (см, (3.39)).
Колебания и волны г . "ог У, = — ю, з, — 2бс3, — а1зг е — зш юб и~ г Уг = — агзс — согзг 2бгбг. Нетрудно догадаться, что 1с Р11) (3.42) решениями этой системы в уста- новившемся режиме являются гармонические функции Рис. 3.11. зсссс)с лиз)пссюс" 'Рс) зг(1)=лога"Ф~г+срг) (3.43) которые отражают тот факт, что обе массы колеблются на частоте вынуждающей силы.
Подставляя (3.43) в (3.42), можно вычислить амплитуды и фазы вынужденных колебаний. Мы ограничимся лишь обсуждением результатов. На рис. 3.12 изображена АЧХ для зм первого осциллятора, к которому приложена сила. Обращает на себя внимание наличие двух резонансов, которые при малом затухании наблюдаются на нормальных частотах ас и шл. При изменении частоты ю от шс до шл амплитуда зш падает и достигает минимума на второй парциальной частоте шг, ог~ огс юг сон Рис. 3.12.
Колебания систем со многими степенями свободы. Основные идеи, сформулированные при рассмотрении нэлебаний систем с двумя степенями свободы, теперь могут быть с успехом использованы для аначии колебаний систем с тремя, четырьмя, ..., 1т'степенями свободы, и в пределе, при 1т' — э, для анализа колебаний в сплошных средах, т.е. волн. Обратимся вначале к колебаниям трех одинаковых масс и, закрепленных на равных расстояниях а на натянутом легком резиновом шнуре, как показано на рис.
3.13а. Любое колебание этой системы может быть представлено как суперпозиция трех нормальных колебаний с частотами юс, шл и юш. Опуская навремя вопрос о величине частот, найдем конфигурацию этих мод. Примем во внимание, что квадрат частоты колебаний каждой массы в данной моде должен быть одинаков. Этого можно добиться в случае, когда отношения при этом с уменьшением затухания амплитуда на этой частоте стремится к нулю. Это обстоятельство используют для подавления отклика системы на действие внешней силы.
В радиотехнике, где используются связанные колебательные контуры, их применяют как фильтры и демпферы. Два резонанса имеют место и для смещения з второй массы. Если проанализировать отношение амплитуд ааг 1зи в зависимости от частоты ш, то оказывается, что это отношение вблизи частоты шс равно коэффициенту распределения амплитуд сс для первой моды, а вблизи частоты сел — коэффициенту распределения амплитуд бл для второй моды. Это используется для определения этих коэффициентов, поскольку прн вынужденных колебаниях это сделать проще, чем при собственных. ЛЕК14иЯ 3 а и а и а возвращающей силы к величине массы и и ее а) смещению х у всех грузов будут одинаковыми.
Такие условия реали- зуются при смещении масс тремя способами (б, в и г на рис. 3.13). При отпускании грузов нз положения (б) в системе будет происходить оэп юи первое нормальное колебание на частоте ю,; из положения (в)— х, Рис. 3.13. хЗ к 4а зв (х) = зо з(" 11 х 1 (3.44а) Для второй моды; кв (х) = юо з|п(лх; 1л —— 211. л (3.44б) Для третьей моды: з~ш(х) = з1п(шх; (ш = 3(п (3.44в) Роль безразмерных коэффициентов ь выполняет функция гйп Арх (р =1, 11,111), вычисленнаявточках х=х, =а, х=хз =2а, х=хз — — За.
Другими примерами связанных осцнлюпоров являнп ся щомы в молекулах СО, Н О и т. д. На рис. 3.14 изображены конфигурации мод и приведены значения частот нормальных колебаний молекул. Обратим внимание, что эти частоты имеют порядок величины (10~~ —:10~~) с ' и значительно превышают (на несколько порядков) частоты механических колебаний макроскопических систем.
Резонансные колебания этих (и других) молекул можно возбудить при взаимодействии разноименно заряженных ионов, составляющих эти молекулы, с электрическим полем световой электромагнитной волны инфракрасного (ИК) диапазона, имеющей близкую частоту. второе на частоте сал, из положения (г) — третье на частоте ющ. Очевидно, *по ю|л > юн > ю,. Конфигурация каждой из мод может быть описана с помощью двух коэффициентов распределения амплитуд. Забегая вперед, отметим, что для четырех масс таких коэффициентов должно быть три, и т.д. Однако ситуация может быть упрощена, если обратить внимание, что расположение масс в позициях (б), (в) и (г) на рис. 3.13 напоминает «синусоидальное» (пунктиром изображен фрагмент функции з)п 1х, где 1 — некоторый параметр, характеризующий период этой функции). Тогда конфигурация первой моды будет описана следующим образом: Колебания и волны 60 -® вз =4,16 10 с --®- -©-- О --ь во= 7,05 10'з с ' -О Ь в„,=г,00 10 с- зз О -® Дн з Дн Дн Дн гол=11,27 10" с ' во,=4,78 1О с Рис.
3.14. в,=11 10" с-' (3.47) где частоту го и распределение амплитуд предстоит определить. 0 х3 хз хз х„, х, Р . 3.75. В курсе «Оптика» мы познакомимся с таким взаимодействием, приводящим„в частности, к ослаблению (поглощению) энергии световой волны и ее рассеянию в среде с колеблющимися молекулами (комбинационному рассеянию). Будем увеличивать число масс„закрепленных на шнуре через равные промежутки а. Если М вЂ” число этих масс, то полная длина шнура равна т' = а(М -ь 1) (рис. 3.15). Рассчитаем нормальные часпзгы всех мод и их конфигурации. Будем считать, что невесомый шнур натянут с силой Е, и при малых отклонениях масс ог положения равновесия з << гз эта сила не меняется. Каждая масса испытывает действие сил натяжения шнура по обе стороны от нее.
На рис. 3.16 показано мгновенное положение фрагмента шнура и трех масс. Если углы О, и Оз малы, то возвращающая сила„действующая на среднюю массу, равна; (= — Г (мпО, +з|пОз) = — Г(9з о-О ). (3.45) Величины углов О, и Оз определяются взаимным расположением масс: (3.46) а а С учетом (3.45) и (3.46) уравнение движения средней массы примет вид: ау = — Г (ю — ю з х — ю з1 а а Если колебания являются нормальными, то т — (г ) = о, -з з1" вз „(г)= о,„з1пвй (3.48) з ьз(г) зо. ма1пвг Лекиия 3 61 Подставляя (3.48) в (3.47), получим (3.49) Поскольку и = 1, 2„3, ..., )т'„то (3.49) представляет собой систему Ж линейных однородных уравнений.
Из условия равенства нулю ее определителя можно рассчитать все 19 нормальных частот, а затем для каждой из этих частот определить рас- О пределение амплитуд в Рис. 3.1б. каждой моде. число которых, очевидно, будет равно й1. Мы же используем уже описанный ранее более легкий путь и будем искать конфигурацию каждой моды в виде «сниусоидальной» конфигурации: зо(х) =газ(п(х, или за„— — за(х„), (3.50) где х, =а,хз = 2а,...,х„е на,...„хл — — Фа. Убедимся, что конфигурация (3.50) удовлетворяет уравнению (3.49), которое перепишем в виде: зо,м + зк,-~ 2Й вЂ” ю г (3.51) где Й г гла Подставим (3.50) в левую часть (3.51): яп1(п 41)а "; яп 1(п — 1)а 2й~ — ш~ = 2соз(а = (3.52) яп 1на й~ Очевидно, что (3.
50) удовлетворит уравнению (3.49), если подобрать для данного 1 подходящую частоту ш. Параметр 1 назовем волновым числом. Объяснение этому будет дано в последующих лекциях, Этот параметр должен быть таким, чтобы на концах закрепленного шнура удовлетворялись граничные условия. Прн х= 0 эти условия выполняются: яп(1 0) = О. На другом конце, где к = а(7т' е 1), потребуем, чтобы з! и Яа( У -ь 1) = О, (3.53) откуда получаем: 1„а(М-ь1) = р л, или б (3.54) а(1т'-ь 1) ' где целое число р = 1, 11„..., М характеризует номер моды (количество мод, как было показано выше, равно М).
Каждой р-ой моде соответствует своя часюта, которая легко находится из уравнения (3.52): ш' =2а'(1-соз( а)=2П'(1-соз Р" 1 (3.55) ЛЕКЦИЯ 4 Распространение возиуи1ений в системе с болыиим числом степеней свободы. Скорость распространения Возбуждение волн. Группа волн и ее скорость. Волновое уравнение. Волны в сплошном имуре. Отражение волн. Возбуждение стоячих волн в шнуре. Моды колебаний. Волны в упругик телах. Поперечные волны. Энергия, переносимая волной. Вектор Умова.
Продольные волны Скорость волн в тонком и толстом отерэк. нях, Отражение и прохождение волн на границах двух сред. Удельное волновое сопротивление. Распространение возмущений в системе с большим числом степеней свободы. Рассмотрим колебания й» 1 масс на резиновом шнуре (рис. 4д а). Отклоним несколько масс в середине шнура от положения равновесия (рис.4.1б), и затем отпустим их в момент времени г = О. Как показывает опыт„эта начальная конфигурация, представляющая собой по форме импульс, с течением времени трансформируется в два одинаковых импульса, которые побегут в разные стороны с некоюрой конечной скоростью с (рис.4. 1в).
Эти импульсы добегут до концов шнура, иэченят свою полярность при отражении и побегут в обратном направлении (рис.4. 1г). Пос- ле встречи в середине шнура они отразятся еще раз, восстановят исход- ную полярность и спустя время Лг = 2г'!с вновьвстретятся всередине, сформировав исходный импульс. Затем этот процесс с периодом бг будет повторяться до тех пор„ О Рис, 4.1 пока импульсы не загухнут из-задис- сипации энерпш.
С точки зрения повседневного опыта в этом нег ничего удивительного, поскольку сме- щения группы лгасс ведут к возникновению упругих сил, стремящихся вернул* эту группу в полакение равновесия и одновременно вывести соседние частицы из положения равновесия. С точки зрения описания колебаний вна языке мод е также понятно, что отклонив, а затем отпустив группу частиц, мы возбуждаем мнопэ мод. Колебания всех Ф часпш происходят одновременно на нескольких нормальных частотах ш . Все эти частоты различны, и сумма нормальных колебаний представляет собой биения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
