В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пусть в момент времени г = О он добежит до конца струны. В последующие моменты времени шнур будет воздействовать на кронштейн„к которому прикреплен его конец. с переменной силой, перпендикулярной направлению движения импульса. Эта сила в момент времени ~ > О начинает тянуть кронштейн вверх. В течении времени О < г < т„! 2 она остается постоянной, и в момент времени г = т„! 2 становится равной нулю.
По третьему закону Ньютона с такой же силой кронштейн действует вниз на конец шнура. В момент времени г = т„! 2 шнур с,т„ я л г=5 8 ь/ /ь с и ъ-)ь г=2 8 """м" l г=З 8 г=т л т„ Колебания и волны з(х, Г) = кв Ип(шà — Гх) + ка з1п[озà — 1(21 — х) + <Р (4.33) В (4. 33) учтено, что отраженная волна, во-первых. проходит расстояние «туда и обратноя, равное 1-ь (1 — к) = 21 — к, и„во-вторых, приобретает сдвиг фазы у при ее отражении. Проведем суммирование в (4.33) и получим: з(х, г) = 2з соз 1(1 — х) е — з1в озг — 11 ь — .
гр«~р, гр«ж о (4.34) Полагаем, что амплитуда волны кв остается постоянной при распространении н не меняется прн отражении. Это выражение является уравнением стоячей волны. Основные ее характеристики могут быть сведены к следующим: 1. В стоячей волне все участки шнура колеблются с одинаковой частотой го и в фазе, однако амплитуда этих колебаний меняется вдоль шнура, т е. стоячая волна является модой колебаний. 2.
Амплитуда колебаний в стоячей волне получается из (4.34) равной: А(х) = 2зв соз 1(1 — х) -ь — "~ . 2 (4.35) Из этого выражения видно, что некоторые участки шнура колеблются с амплитудой, равной 2кв . Это так называемые «пучности» стоячей волны. С другой стороны, существуют участки, которые остаются неподвижными, т.к, для них амплитуда А = О. Это так называемые «узлыя стоячей волны. становится прямым.
Однако часть шнура длиной ст„! 2 продолжает двигаться вниз по инерции. При г > т„! 2 шнур тянет кронштейн вниз, и это действие прекращается при г = т„. Естественно, что кронштейн воздействует на конец шнура с силой, направленной вверх, тормозя движение его элементов вниз. Окончательно поперечное действие шнура на кронштейн прекратится при Г > т„, когда сформируется отраженный импульс, имеющий противоположную (по отношению к падающему) полярность. Если по шнуру бежит гармоническая волна, то по достижении закрепленного конца шнура возникает обращенная отраженная волна.
Чтобы учесть изменение ее полярности, в аргумент уравнения отраженной волны добавляют фазовый сдвигу = ж. Поэтому говорят, что в этом случае прн отражении фаза волны скачком меняется на к, или «теряегся полволньвь В общем случае припроизвольных граничных условиях сдвиг фазы <р может меняться в интервале О «р „< к. Поясним сказанное простейшим расчетом. Пусть по шнуру бежит гармоническая волна. Достигнув конца шнура при х = 1 „она будет отражаться (рис.
4. 10). Смещение любого участка, имеющего координату х < 1, определяется как суперпоРиа 4.10. знцня бегущей и отраженной волн: Лекция 4 На рис 4.11 изображены смещения фрагмента струны для трех последовательных моментов времени 1п1з и 1з. Нетрудно пока- й Рис, 4,11.
зать„что расстояния между двумя соседними узлами, указанными точка- ми, равно расстоянию между двумя соседними пучностями, отмеченными крестиками„ к Х и составляет величину Ьх = — = —. Р 2 3. Все части шнура. лежащие между двумя соседними узлами, совершают колебания в фазе.
При переходе через узел фаза колебаний скачком изменяется на к, что соответствует изменению знака А(х). 4. На конце шнура (х = 1) амплитуда Возбуждение стоячих волн в шнуре. Моды колебаний. Пусть кронштейн, к которому привязан левый конец шнура, совершает гармонические колебания з(г) = «я гйп ю1, где «е — очень малаЯ амплитУда. ПоэтомУ левый конец шнУРа можно считать закрепленным. По шнуру побежит гармоническая волна (рнс. 4. 13), которая после отражения от правого закрепленного конца приобретет сдвиг фазы, равный л.
Добежав до левого конца, она еще раз отразится, а сдвиг фазы станет равным 2х. А(1) = 2зе соз (4.36) 2 Для закрепленного конца шнура А(1) = О и ф „= к . На рнс. 4. 10 показан участок в полволны, который «теряется» при таком отражении. Расположенная правее этсио участка часп волны„изображенная пунктиром в области х > 1, после поворота направления распространения как раз и будет являться волной, отраженной в закрепленной точке х = Х, Обратимся теперь к отражению волны от свободного конца шнура.
Технически это можно реализовать„если конец шнура привязать к тонкой и легкой нити, которая служит лишь для создания натяжения шнура с силой Г. Процесс отражения треугольного импульса от свободного конца шнура показан на рис. 4,12. Обращают на себя внимание два обстоятельства: 1. Отраженный импульс сохраняет ту же полярность, что и падающий. Это связано с тем, что при движении свободный конец будет тянуть вверх прилегающие к нему слева участки шнура, и, в результате, будет возбужден отраженный импульс, в котором элементы шнура также смещены вверх. В случае гармонической волны отраженная волна находится в фазе с падающей.
Образующаяся стоячая волна будет описываться уравнением (4.34), в котором <р = О . 2. Конец шнура совершает «взмах», величина которого вдвое превышает амплитуду импульса в его середине. Для гармонической волны на конце шнура (х = 1) образуется пучность стоячей волны. Это следует из формулы (4.3б), в которой следует положить <р = О. Колебания и волны /х ) /х / Рис.
4.12. Двукратно отраженная волна наложится на постоянно бегущую вправо гармоническую волну. Если сдвиг фазы колебаний у этих волн будет кратным величине 2к, то результатом наложения будет волна. амплитуда которой превышает амплитуду с в исходной бегущей волны. Таким образом, бегущая волна усилится. Если бы не было потерь энергии, то нарастание амплитуды при многократном отражении было бы неограниченным. Однако потери, как мы не раз видели.
также увеличатся с ростом амплитуды. Поэтому колебания установятся: в систему будет закачано некоторое количество энергии, а дальнейший приток ее будет равен дисснпации. Определ им частоту внешнего воздействия ю, с кото- рой следует двигать левый крон- штейн, побы обеспечить макси- мальное усиление волны. По- скольку бегушая гармоническая волна может рассматриваться как набор следующих друг за другом Рис.
4.13. Лекция 4 з(Л1) =Цоз1п(шЛ1) = О, х(л1) эовзсоз(сал1) +эою Поэтому частота оз должна удовлетворять условию (4.37) (4.38) шрЛ1 = АР, где р= 1, П, П[, „,, Отсюда ксо Ш Р (4.39) Конфигурацию колеблющейся струны иа частотах (4.39) можно легко нарисовать„ когда амплитуды бегущей и отраженной ю, ь 2 волн не меняются вдоль шнура и равны между собой. Очевидно, чго это будут стоячие волны„рассмотренные нами вьппе и соот- ветствующие одинаопвым граничным условиялк на обоих концах шнура должны быль узлы смещения. Для примера на рис. 4.14 изображены три возможные конфигурации шну- ра в момент времени, когда смещения элею~и ментов шнура максимальны.
Колебания, соответствующие этим конфигурациям, являются нормальными колебаниями (модамн), а частоты юв шп, аи — нормальными частотами. Если действие внешней силы прекратится, то эти колебания будут продолжаться как собственные, пока не затухнуг. Условие (4.39) можно переписать в более наглядном виде, если перейти от частоты шр к длине волны Х = 2лсо1оз; — о р Р (4.40) 2 Это условие означает, что при нормальных колебаниях на длине шнура должно укладываться целое число полуволн. Легко теперь видеть, что каждая из мод может быть возбуждена, если прикладывать силу нужной частоты к любому участку шнура, за исключением тех, которые совпадают с узлами данной моды. Ю 2 Рис. 4.14 со скоросъью со импульсов разной полярности, то мы проследим за усилением любого из них (например, заштрихованного на рис.4.13).
Время движения импульса (для определенности точки А в его начале) по шнУРУ тУда и обРатно Равно Л1 = 211со . Учтем далее, что после двух отражений этот импульс два раза обратится. Для ею усиления необходимо, чтобы в момент Г = Ж левый конец шнура проходил положение равновесия и двигался при этом вверх: Колебания и волны 78 Видоизменим граничные условия и сделаем оба конца шнура свободными (привяжем их к натянутым легким нитям). Подсчитаем частоты вынуждающей силы, на которых возбуждаются стоячие волны (моды). Учтем, что после двух отражений 2 импульс не меняет свою полярность, поэтому условие (4.40) останется прежним.
На рис. 4.15 показаны конфигурации мод для шнура со свободными концами. Видно, что при нормальных колебаниях на длине шнура также должно ук- двигался вниз. проходя положение равновесия; з(?и) =-г,с з1п(щЛ?) = О, я(Л?) = ~лисов(соЛ?) = -тощ (4.41) Поэтому частота со должна удовлетворять условию щ Л? =(2р — 1)к, где р = 1, П, ПТ, ... Отсюда (4.42) щ = ~ (2р — 1). (4.43) 2? Последнее условие становится более наглядным, если перейти к длине волны Х 2,, ? =(гр-1) — ', (4.44) 4 где р =1,П,П1, Соответствующие три низшие моды изображены на рис. 4.16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
