В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Предоставляем читателю проделать это самостоятельно. Е Если длительности импульса т„«212 = — (стержень толстый), то в (4.78) сле2с дует учесть а2 и и . Чтобы найти связь а1 и о',, вместе с уравнением (4.78) запишем Колебания и волны 88 Явления на границе раздела двух сред. Рассмотрим подробнее прохождение продольной волны через границу раздела двух упругих сред при нормальном падении волны на эту границу. Пусть продольная волна распространяется со скоростью с, =,~Е, 1р, в среде с модулем Юнга Е, и равновесной плотностью р, (рис.
4.28). Опыт показывает, что эта волна на границе раздела двух сред (х = 0 на рисунке) частич- но отражается и частично проходит во вторую среду, которая характеризуется параметрами Е, и р г. Следовательно, можем записать Рис. 4.28. 1-я среда (надвющая + огпражешгая волна) 2-я среда (прошедгаая волна) в,(хд) =вы ойг(гог — Ф,х)+во1 з(п(аггеей,х) вг(хд) =ею з|п(вя — (ггх) (4.87) в, (О, г) = вг (О, г) . (4.88) Второе — равенство напряжений: п,(О,г) =пг(0,1), или Е,а,(О,г) = Егьг(0,с). (4.89) С учетом (4.87) из этих условий получаем: во1 +во1 =лог во1Е111 +вогЕА = вогЕгрг (4.90) В акустике фундаментальным является понятие импеданса, или удельного волнового (акустического) сопротивления материала.
Эта величина з определяется как: сжимающее напряжение -о г— (4.91) колебательная скорость и Импеданс легко можно выразить через характеристики материала, воспользовавшись формулой (4. 73): и р в = — = — —. Е с (4.92) Отсюда — сг Е г= — = — =рс. и с (4.93) Здесь со — частота, вш,,го1 и вш — амплитуды падающей, отраженной и прошедшей волн соответственно, (., = ю!с, и Рг = ю1сг — соответствующие волновые числа. Чтобы найти соотношения между амплитудами трех волн, определяющие отражательную н пропускательную способность (впрозрачность») границы раздела, запишем два условия, которые должны выполняться на границе раздела при х = О.
Первое — это условие неразрывности вещества: Лекция 4 С использованием этой величины и выражений для 1! и 12 условия (4 90) примут внд; ~0! ~ ~01 ~02 (4.94) -хо!2! Ьзо22! =-Хо!22. Отсюда получаем искомую связь между амплитудами волн; 22 ' г! 2 хо! = хо! ~02 ~0! (4.95) 1 ! 22'г! 1! 22!в! Для практических целей пользуются коэффициентами отражения 11 и пропускания Т, характеризующими отношение интенсивностей отраженной и прошедшей волн к интенсивности падающей волны. Эти коэффициенты получаются из (4 95) с учетом (4.65): 2 я ~ о! 2! !, Т г 2(~о~ (2~!) (4 А !(хо! 1+22~2! ' А! г! !(хо! (1+гг/г!) где использовано то обстоятельство, что интенсивность бегущей волны (см.
формулу (4.65)) г г Сраг ХО = гю ХО 2 2 (4.97) зависит не только от амплитуды хо и частоты аг, но и пропорциональна акустическому сопротивлению г. Следует отметить, что формулы (4.96) справедливы и для поперечных колебаний. Из рисунка 4.29, Л, Т на котором изображены 1 зависимости (4.96) „видно, что если 2, = 22, отражения не происходит. Поэте- 0,5 му на практике, когда надо уменьшить отражение, стараются согласовать (сделать практически одинаковыми) волновые со- 0 0,01 0,1 1 1О 100 1000 2,!2, Рис.
4,29 тически полное отражение волны„что мы и использовали выше при рассмотрении отра- жения в этих предельных случаях. противления двух сред. Заметим также, что при гг с< г,, как в случае свободного конца стержня(гг— сопротивление воздуха), илн гг » г, (закрепленный конец), и = 1,т.е. происходитпрак- Колебания и волны 91 ЛЕКЦИЯ 5 Акустические фананы. Объемные сейсмические волны. Современная модель Земли. Волны Рэлея и Лава. Волны в жидкостях и газах. Звук. Интенсивность звука.
Паглои1ение звуки Излучатели звука. Применение акустических методов. Основные характеристики звука. Закон Вебера — Фехнера. Диаграмма слуха. Акустические резонаторы, Музыкальные инструменты..Эффект Даплера и бинауральный эффект. Интерференция и дифрахиия волн, Тепловые колебания кристаллической решетки твердых тея.
Акустические фонемы. В твердом теле ионы совершают тепловые колебания около положений равновесия в узлах кристаллической решетки. Поскольку они взаимодействуют друг с другом, то система ионов должна рассматриваться как совокупность связанных осцилляторов. Такие тепловые колебания ионов можно представить в виде суперпозиции стоячих звуковых волн, частоты которых ш лежат в диапазоне 0 < оэ < оэн, где оэн — максимальная частота колебаний, обусловленная дискретностью среды (см. предыдущую лекцию). При нагревании кристалла энергия тепловых колебаний увеличивается.
Естественно, что информацию об этих колебаниях можно получить, измеряя теплоемкость кристаллов. Если каждый ион рассматривать как классический осциллятор, колеблющийся в трех взаимно перпендикулярных направлениях, то, в соответствии с теоремой о равно- распределении энергии по степеням свободы, он обладал бы энергией е, = 6хТ12, где й — постоянная Больцмана. а Т вЂ” абсолютная температура. Здесь учтено, что колеблющийся ион обладает средней кинетической и равной ей средней потенциальной энергией хТ12 по каждой из трех степеней свободы. Поскольку энергия кристалла, состоящего из А' атомов, У = №1 —— ЗШТ, то его теплоемкость при постоянном объеме равна; (5.1) сг = — =ЗА% и не зависит от температуры (закон Дюлонга и Пти).
Между тем, формула (5. 1) согласуется с экспериментом лишь при высоких температурах, а при приближении температуры к абсолютному нулю, как поюзывает опыт, сг — Т . 3 Чтобы обьяснить такое поведение теплоемкости, А. Эйнштейн предложил рассматривать ионы как независимые осцилляторы, обладаюшие дискретным набором значений энергии. Ранее подобная идея была высказана М. Планком при выводе формулы для теплового излучения твердого тела. Однако„А. Эйнштейну не удалось получить закон Т'.
На самом деле, как уже говорилось, тепловые колебания ионов могут быть представлены как суперпозиция нормальных колебаний, или мод системы связанных осцилляторов. Каждая мода частоты го обладает энергией, кратной йоэ, где В=В/2к ( й = 6,67 10 Дж!с — постоянная Планка). Если принять во внимание, что в твердом теле возможно распространение продольной волны частоты ш и двух поперечных волн той же частоты, имеюших два раз- Колебания и волны 92 личных взаимно перпендикулярных направления смещения атомов (две различные поляризации)„то с учетом размеров кристалла и его дискретной структуры можно подсчитать число мод в кристалле.
Такой подсчет был впервые выполнен П. Дебаем, и поэтому эти волны получили название дебаевских. Следует подчеркнуть, что, в отличие от классического представления, при вычислении энергии кристалла мода представляется как квантовый объект, обладающий дискретным набором значений энергии (набором энергетических уровней) (5.2) где и — целое число, При термодинамическом равновесии вероятность Р„возбуждения моды убывает по мере увеличения ее энергии е„(или числа л) в соответствии с распределением Больцмана: У'„- е м~м~.
При нагревании кристалла вероятность Р„растет, а значит увеличивается и запасенная кристаллом энергия. Прн подсчете последней Дебаем была введена характерная температура (температура Дебая) 9д с помощью равенства к0д =лшл (5.3) Обычно Од лежит в интервале ()бз —;) бз ) К.
При Т » 0д справедлив закон Дюлонга и Пти, а при Т « 0д теплоемкость сг — Т з Соотношение (5.2) для энергии колебаний в моде частоты ез аналогично выражению для энергии фотонов (квантов света). Это позволяет рассматривать моду как квазичастицу, называемую тепловым фононом. Введение этого нового понятия является весьма плодотворным и, с математической точки зрения„значительно облегчает анализ тепловых колебаний кристаллической решетки. Представление о фононном газе в твердом теле широко используется при описании таких свойств, как теплоемкость, теплопроводность, тепловое расширение, электрическое сопротивление и др.
В физике используются и другие квазичастицы; плазмои (волна электронной плотности). магион (волна перемагничивания), полярон (электрон + упругая деформация), экситон (волна поляризации среды). Эти квазичастицы являются модами соответствующих колебаний. Объемные сейсмические волны. Чрезвычайно важным примером волн в упругом твердом теле являются сейсмические волны, возникающие в ограниченной области пространства (очаге) размером в несколько километров и распространяющиеся на огромные расстояния под поверхностью Земли. Эти волны бывают поперечными (волны сдвига) и продольными (сжатия и разрежены) и могут пронизывать всю нашу планету.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
